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視頻標簽：基本不等式及其應用
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學滬教課標版高一上冊第2章不等式2.4基本不等式及其應用_寧夏 - 銀川
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高中數學滬教課標版高一上冊第2章不等式2.4 基本不等式及其應用_寧夏 - 銀川
《 基本不等式 》
一、學習重點：
（1）理解基本不等式，從不同角度探索其證明過程，體會其結構模型。 （2）學會用基本不等式來解決問題，體會其工具性。 二、學習目標：
理解兩個不等式的結構特征及其幾何解釋、適用條件，能合理選擇公式并正確地運用公式解決有關問題。 三、學習難點：
（1）如何利用基本不等式的模型求解函數最值。 （2）類比兩個不等式的學習過程，學會研究不等式模型。 四、教學策略設計
以下是本節課的結構安排：
五、教學過程設計 1.引入重要不等式: （1）幾何背景：
如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，
例題示范到解決實例
布置作業
課時小結歸納整理
重要不等式證明 基本不等式證明
教材趙爽弦圖引入
基本不等式幾何意義
由幾何題目到基本不等式 留下伏筆
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代表中國人民熱情好客。
提問：你能畫出趙爽的弦圖嗎？能用這個圖形證明勾股定理嗎？圖中有哪些不等關系？
設計意圖：
教材中重要不等式的幾何背景引入，面對第24界國際數學家大會的會標，如何使學生從圖案中找出一些相等或不等關系？這一探究過程會出現一個思維的障礙點或盲點，就是向哪個方向上尋找“相等和不等關系”。如果由畫出趙爽的弦圖到用這個圖形證明勾股定理，再去找圖中有哪些不等關系,分解提問，用一些小問題鏈突破難點，也能發現得到重要不等式的代數形式。我國古代的數學家趙爽是歷史上最早用弦圖證明勾股定理，根據面積相等，通過計算證明勾股定理的。弦圖構圖巧妙、精致，既強調邏輯推理，又注重幾何直觀，是數與形的完美統一。勾股定理有著“千古第一定理”之稱。今天，我們用數學欣賞的眼光再次審視勾股定理，會感到別有一番風味。
（2） 重要不等式代數形式：
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ab
babababaabbabaabbaa2,0b-a, ,
0b-a,,0b-a, 2:)
"",( 2R,b, 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
即所以時當時當因為證明號取時當且僅當那么如果提問：重要不等式可以解決什么問題?
首先從弦圖中可以看出，隨著直角三角形直角邊的變化四個直角三角形面積和在變大,當直角三角形變為腰直角三角形時，和面積取到了最大值。那么僅從不等式看，當2ab為定值時，a2+b2 取到最小值，當a2+b2為定值時，2ab 取到最大值。 設計意圖：
借助幾何畫板做出直觀的變化與不變的圖形及數量關系，直觀的反映面積變化到隱含的數值關系，發現用重要不等式可以求解最值問題。 2.講解基本不等式:
（1）引入基本不等式：
引例 先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩對三角形拼接成兩個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余的部分折疊），這兩個正方形的面積分別為a和b，考察圖中兩個直角三角形的面積和矩形面積你能發現一個不等式嗎？ 有：直角邊長分別為a和b,矩形面積為ab
2
為
兩個直角三角形面積和ba
顯然，兩個直角三角形面積和不小于矩形的面積
因此：2
ab
ab
設計意圖：
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教材中基本不等式的幾何意義是“半徑不小于半弦”，不便聯想和觀察。我增加一個例子，先將兩張正方形紙片分別沿它們的對角線剪成兩對等腰直角三角形，再用這兩對三角形拼接成兩個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余的部分折疊），這兩個正方形的面積分別為a和b，考察圖中兩個正方形的面積和矩形面積的不等式關系，進而在探究“半徑不小于半弦”。
法二：仍然回到趙爽的弦圖，作為基本不等式的切入點，
當直角三角形直角邊為a和b時，不難得到不等式abba2，此時變量范圍由全體實數變為正實數。其次從代數角度也可以得到基本不等式。
得到abba2
評述： （1）如果把
2
b
a看作是正數a、b的等差中項，ab看作是正數a、b的等比中項那么該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項。
（2）在數學中，我們稱2
b
a為正數a、b的算術平均數，稱ab為a、b的幾何平均數。
本節定理還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 提問：你能類比重要不等式來學習基本不等式嗎？
ab
ba222
ab
ba2
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從三個方面探究：代數證明（作差法）、 幾何解釋（弦圖）、 解決問題（最值問題）
（2）基本不等式的證明：
從不等式的性質推導基本不等式2
ab
ab 設計意圖：
運用分析法證明基本不等式，證明的格式及為什么可以這樣證明，是學生思維的障礙點。一是學生不會發現其中隱含的道理，二是學生照此模仿往往會出錯。其原因是學生不能弄清楚這里推理的根據，但這里要說清楚全部的根據，就要涉及到許多內容，如：推理的可逆性問題，命題的唯一性問題，什么情況下才能夠運用此法等等。因此我提出仍然可以用作差法，也不妨用新的方法，引導學生從數學結構的變化上去處理，觀察題目的結論，找出可以支撐其成立的條件，如“兩邊同時乘以某個式子，兩邊同時平方”等，給學生指明探索方向，在不等式的數學語言表達上和證明上進行引導，不必要求用標準的格式和語言表達。 用分析法證明： 要證
2
ab
ab ① 只要證 a+b ② 要證②，只要證 a+b- 0 ③ 要證③，只要證 （ - ）20 ④ 顯然，④是成立的。當且僅當a=b時，④中的等號成立
（3）理解基本不等式2
ab
ab的幾何意義 探究：課本第98頁的“探究”
在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，
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AC=a,BC=b。過C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。 你能利用這個圖形得出基本不等式2
ab
ab
的幾何解釋嗎？ 易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD 2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab.這個圓的半徑為2
b
a，顯然，它大于或等于CD， 即
abb
a2
，其中當且僅當點C與圓心重合，即a＝b時，等號成立。因此：基本不等式2
ab
ab幾何意義是“半徑不小于半弦”
用幾何畫板做出兩個變化半徑及半弦的動圓
設計意圖：
教材中基本不等式幾何意義是在同一半圓中，半徑不小于半弦，對基本不等式還可以有很多種不同的幾何解釋，或者認為是：直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。但不管取哪一種意義，關鍵是要求學生理解其意義，在教學中可以鼓勵學生去發現各種不同的幾何解釋。我曾經苦苦思考如何讓學生自然而然地從基本不等式的代數證明過渡到幾何解釋，但后來領悟到巧妙的幾何證明更多的意圖不在于此，而是要讓學生從圖中體會幾何意義，問題的重點是通過幾何圖形進一步認識基本不等式。在此，我用幾何畫板做出兩個變化半徑及半弦的動圓，從中體會基本不等式的模型應用。 3.模式分析，應用公式:
提問：比較重要不等式與基本不等式異同點,說說它們能解決什么問題?
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例1（1）用籬笆圍一個面積為100 m 的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？
（2）一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少? 設計意圖：
在解決題目時，能靈活用不等式模型不是件容易的事，因為首先要明白基本不等式的用途，其次在以往求函數值域時大多是從函數圖象入手的，幾乎沒有借助其他模型的方法，所以在例題選講時要做到更透徹地理解模型。選擇恰當的例題是數學教學基本策略之一。例1既是生活中經常遇到的數學問題也是直接反應基本不等式本質兩個正數和一定，積取最大值，積一定，和取最小值。 4.歸納小結:
提問:你是怎樣獲得基本不等式的?它能解決什么問題?用它怎樣解決問題? 知識要點：
（1）重要不等式和基本不等式的條件及結構特征 （2）基本不等式在幾何、代數及實際應用三方面的意義
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思想方法技巧：數形結合、比較法、分析法整體與局部的思想。 品數學之美： 感受我們積累了知識，于枯燥之中見奇妙，于迷茫之中得豁朗。懂得靈活運用公式樂在成功之中，就能領略到公式平靜的美。 5.布置作業：
A.研讀課文、整理筆記 B.課后練習P100 1—4
C.在基本不等式的推導過程中，數與形的結合開拓了我們的研究思路，你能結合基本不等式的學習談談對數形結合的思想的認識嗎？ 設計意圖：
本環節首先考慮檢測全體學生是否都達到了“課標”的基本要求，因此安排了作業A和B，目的是讓學生繼續熟悉，鞏固基本不等式的結構模型及應用條件為后繼學習打好基礎。同時為了能讓不同層次的學生在得到深入發展，又安排了作業C供學有余力得學生選作。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
