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視頻標簽：用樣本估計總體
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：部編新教材人教版數學必修第二冊第九章統計9.2 用樣本估計總體9.2.4總體離散程度的估計教學設計
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部編新教材人教版數學必修第二冊第九章統計9.2 用樣本估計總體9.2.4總體離散程度的估計教學設計
教學設計
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課程基本信息 |
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| 學科 | 高中數學 | 年級 | 高一 | 學期 | 春季 |
| 課題 | 9.2.4總體離散程度的估計 | ||||
| 教科書 |
書 名：數學必修第二冊教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年7月 |
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| 教學目標 | |||||
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1、結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(極差、方差、標準差)； 2、會求樣本數據的方差、標準差、極差； 3、理解離散程度參數的統計含義。 經歷系統的數據處理過程，在解決問題的過程中強化“數學抽象”、“數學運算”、“數據分析”的核心素養。 |
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| 教學內容 | |||||
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教學重點：方差和標準差的意義與計算；已知兩組數據的觀測個數、平均數和標準差或方差時，兩組數據合并后所有數據的平均數和標準差的計算方法與思想。 教學難點： 已知每組數據個數、平均數和方差，獲得各組數據合并后全部數據的方差的計算公式，及計算中的遞推思想。 |
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| 教學過程 | |||||
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一、呈現實例 問題1：有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射擊10次，每次命中的環數如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊成績做出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何選擇？ 核心問題1：通常比較兩組成績的優劣是比較它們的什么值？ 追問：考察運動員的射擊水平還需要關注什么因素？ 核心問題2：如何判斷兩名運動員誰的發揮更穩定？ 追問：為什么可以運用方差分析兩個運動員的射擊成績？ 二、探究規律 幾何分析1： 請同學們動手作出兩組數據的散點圖。用橫坐標表示第x次射擊，用縱坐標表示環數，作圖如下，這是甲的射擊成績散點圖，乙的射擊成績散點圖。  結論：甲的射擊成績比較分散，波動幅度或變化范圍比較大，乙的成績相對集中，變化范圍相對于甲較小。 代數分析2： 一種簡單的度量數據離散程度的方法是求極差：甲命中環數的極差=10－4＝6 乙命中環數的極差=9－5＝4，可以發現甲的成績波動范圍比乙大。 極差是一種簡單的度量數據離散程度的方法，極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度．但因為極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，對其它數據的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少 對比觀察甲乙兩組成績數據和平均數之間的關系   根據散點圖依次求差、差的和、差的絕對值（即“距離”）、差的絕對值的和、差的絕對值的平均數（即“平均距離”） 我們知道如果射擊的成績很穩定，那么大多數的射擊成績離平均成績不會太遠；相反，如果如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數的射擊成績離平均成績會比較遠；因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。 三、構建模型 方差定義：一組數據  ， ， ， ，用 表示這組數據的平均數，則這組數據的方差為  =  一般形式、加權形式 上述例題在計算過程中，我們提煉出方差公式的加權形式，接下來我請同學們思考：方差公式的計算還有沒有其他的變形形式？  思考問題中的方差的單位是什么？進而給出標準差的定義。 師生活動：學生發表意見，教師進行評價，引導學生認識到方差的單位是原始數據單位的平方，與原始數據不一致，給使用帶來不便。 在實際問題中，總體平均數和總體標準差都是未知的。就像用樣本平均數估計總體平均數一樣，通常我們也用樣本標準差去估計總體標準差。在隨機抽樣中，樣本標準差依賴于樣本的選取，具有隨機性。那么什么是總體方差，什么是樣本方差呢？得到總體方差和樣本方差的定義。 分層隨機抽樣樣本方差的計算 例6：在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，樣本的平均數和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，樣本的平均和方差分別為160.6和38.2.你能由這些數據計算出樣本的方差嗎？并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？ 師生活動：教師引導學生明確題目的條件和結論，引導學生獨立計算多組數據匯總后的方差。 核心問題1：問題中計算總樣本的方差和我們前面學習中求解方差的問題從已知條件看有什么不同呢？ 核心問題2：對于這樣的問題我們是否依然可以用方差公式求解呢？ 核心問題3：如果可以用方差公式求解，用數學符號該這么表示呢？  核心問題1：怎樣求解總樣本方差？ 核心問題2：怎樣將總樣本方差和已知條件聯系到一起呢？  最后，核心問題：能否計算  ？ 追問1：比較總樣本方差與男生組及女生組的方差，你能發現什么？你能解釋在估計全校學生平均身高時，按性別分層隨機抽樣的理由嗎？ 師生活動：學生可以看到總樣本方差既大于男生組的方差，也大于女生組的方差。教師解釋相同樣本量條件下，總樣本方差越小，樣本均值估計總體均值效果越好。男、女生的均值相差越大，即兩組差別越大，總樣本方差比男、女生的方差均大得越多，分層隨機抽樣效果越好。 追問2：一般地，如果知道兩組數據各自的數據個數、平均數和方差，如何計算全部數據的平均數和方差呢？ 師生活動：教師引導學生由具體例子進行一般化歸納。 一般地，如果已知第一組數據的個數是m,平均數和方差分別為  和 ，第二組數據的個數是n,平均數和方差分別為  ，那么，總樣本平均數 總樣本方差為  設計意圖：將總樣本均值和總樣本方差的計算公式從問題5推廣到一般，讓學生體會由具體到一般的思想。 平均數反映數據的集中趨勢，標準差刻畫了數據離平均數的波動大小，那么將平均數和標準差綜合在有一起。 例如，考察以平均數為中心的區間  ， ，觀察數據分別落在這兩個區間的百分比，你能發現什么規律？師生活動：以100戶居民月均用水量數據為例，教師用電子表格軟件計算出樣本平均數  和標準差 ，并計算 ， 和 ， .可以發現，100個數據中大部分都集中在內，在區間外的只有7個數據，也就是絕大部分的數據落在內.通過平均數和標準差兩個統計量，就可以得到大部分數據的取值范圍。方差越大，則這個區間越大；方差越小，則這個區間也越小。 課堂小結：本節課你有什么收獲？并問你還存在哪些疑問？有疑問的舉手提問。 布置作業： 練習2、5，習題第4、5題 |
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