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視頻標簽：用樣本估計總體

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：部編新教材人教版數(shù)學(xué)必修第二冊第九章統(tǒng)計9.2 用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計

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部編新教材人教版數(shù)學(xué)必修第二冊第九章統(tǒng)計9.2 用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計教學(xué)設(shè)計

總體集中趨勢的估計教學(xué)設(shè)計
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
（一）內(nèi)容
平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念和統(tǒng)計含義，總體平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計。
（二）內(nèi)容解析
總體集中趨勢的估計是高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊第九章第二節(jié)第三課時的內(nèi)容。本單元內(nèi)容的安排以數(shù)據(jù)處理的基本過程為線索，教學(xué)中選取一些典型案例，讓學(xué)生在具體實例中經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全過程。本節(jié)內(nèi)容是在具體案例中，對已獲取數(shù)據(jù)進行分析，理解計算樣本集中趨勢參數(shù)的必要性與合理性，再利用有關(guān)參數(shù)對總體進行估計，具有承上啟下的作用。
根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的學(xué)習重點為：會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，并對總體進行估計。
二、目標和目標解析
（一）目標
1、結(jié)合實例，學(xué)會用樣本估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。
2、根據(jù)已知條件，會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。
3、能夠運用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)進行判斷，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。
4、通過分析頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。
（二）目標解析
達成上述目標的標志是：會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，并對總體的集中趨勢進行估計。
三、數(shù)學(xué)問題診斷分析
學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過一組簡單數(shù)據(jù)的眾數(shù)，平均數(shù)中位數(shù)積累了一定的計算分析，統(tǒng)計問題的能力。本節(jié)需要在大量實例中抽象出數(shù)學(xué)模型計算樣本集中趨勢的參數(shù)，再利用相關(guān)參數(shù)解決實際問題，學(xué)生可能會分不清該到底哪個或哪些參數(shù)對總體進行估計更為合適。
本節(jié)課的教學(xué)難點是：利用相關(guān)參數(shù)對總體進行估計。
四、教學(xué)支持條件分析
本節(jié)課需要運用多媒體播放軟件。
五、教學(xué)過程
（一）談話導(dǎo)入
同學(xué)們好，為了了解總體的情況，前面我們學(xué)習了用樣本的分布規(guī)律，估計總體的分布規(guī)律。但是有時候我們并不關(guān)心總體的分布，而關(guān)心總體在某方面的特征，比如說要估計今年我縣水稻的產(chǎn)量 ，我們更關(guān)心今年水稻的總產(chǎn)量或每公頃水稻的產(chǎn)量，并不關(guān)心水稻的分布情況 。為此我們在初中學(xué)習了眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)這些反應(yīng)總體集中趨勢的量。本節(jié)課我們將進一步了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，并用它們對總體進行估計 。
（二）回顧概念，引入新課
指名學(xué)生回答概念。
眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。
中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小的順序排列，處在中間位置（或中間兩個數(shù)的平均數(shù)）的數(shù)。
平均數(shù)：如果有n個數(shù)， ，那么 叫做這 個數(shù)的平均數(shù)。
（三）結(jié)合實例，分析探索
   在初中的學(xué)習中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。
下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢。
例1.   利用下表中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)。
9.0     13.6    14.9    5.9     4.0     7.1     6.4     5.4    19.4    2.0
2.2     8.6     13.8    5.4     10.2    4.9     6.8     14.0    2.0   10.5
2.1     5.7      5.1    16.8    6.0     11.1    1.3     11.2    7.7    4.9
2.3     10.0     16.7   12.0    12.4     7.8     5.2    13.6    2.4    22.4
3.6     7.1      8.8    25.6    3.2     18.3    5.1     2.0     3.0    12.0
22.2    10.8     5.5     2.0     24.3    9.9     3.6    5.6     4.4     7.9
5.1     24.5     6.4     7.5     4.7     20.5    5.5    15.7    2.6     5.7
5.5     6.0     16.0    2.4      9.5     3.7     17.0   3.8     4.1     2.3
5.3     7.8     8.1      4.3     13.3    6.8     1.3    7.0     4.9     1.8
7.1    28.0     10.2    13.8     17.9   10.1   5.5    4.6     3.2     21.6
該市某個小區(qū)有200戶，你能估計該小區(qū)的月用水量嗎？
1、教師用Excel軟件演示計算過程，并展示結(jié)果。
2、教師錯將7.7錄成了77和2.0錄成了200后，并用Excel分別計算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)。
追問1:并與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較。哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？
平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t,中位數(shù)沒有變化.這是因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值, 并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變,因此,與中位數(shù)較,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息,對樣本中的極端值更加敏感。
中位數(shù)和平均數(shù)的大小與數(shù)據(jù)分布形態(tài)的關(guān)系

平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種頻率分布直方圖形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？
（1）單峰，直方圖圖形對稱：平均數(shù)≈中位數(shù)
（2）右邊“拖尾”：平均數(shù)>中位數(shù)
（3）左邊“拖尾”：平均數(shù)<中位數(shù)
結(jié)論：和中位數(shù)相比，平均數(shù)總在“長尾巴”那邊。
追問2. 你能說一說生活當中有哪些減少極端值對平均數(shù)的影響的事例嗎 ？
（評委打分，去掉一個最高分和一個最低分，取剩下得分的平均分）
過渡: 我們既然計算了平均數(shù)，為什么還要計算中位數(shù)、眾數(shù)呢？下面我們來看一看例二。
例2.某學(xué)校要定制高一年級的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格，據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示，

校服規(guī)格	155	160	165	170	175	合計
頻  數(shù)	39	64	167	90	26	386

如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性。
解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)（下圖)可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適。
由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學(xué)校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理。

眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較

名稱	優(yōu)點	缺點
平均數(shù)	與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感	任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大
中位數(shù)	不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響	對極端值不敏感
眾數(shù)	體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點	眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感

鞏固：列舉一些具體事例，讓學(xué)生選擇利用眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)進行估計。
用水量 校服規(guī)格 性別 產(chǎn)量 質(zhì)量等級 收入
小結(jié)：
分類型數(shù)據(jù)，用眾數(shù)估計更合理。
數(shù)值型數(shù)據(jù)用中位數(shù)平均數(shù)估計更合理。
探究:樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，例如，我們在報紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？
例3：

你能以下圖居民用水的頻率分布直方圖提供的信息，估計出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)嗎?
分析：
1.給足學(xué)生討論時間。
2. 經(jīng)過師生討論得出:在頻率分布直方圖中丟失了原始數(shù)據(jù)，所以我們默認數(shù)據(jù)在頻率分布直方圖的小矩形中是均勻分布的因此我們用每個小矩形中點的橫坐標代表小矩形中的數(shù)字。
3.學(xué)生思考討論計算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算方法。
眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數(shù)的估計值，如圖所示，眾數(shù)常用在描述分類型數(shù)據(jù)中，在這個實際問題中，眾數(shù)“5.7”讓我們知道月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民用戶最多，這個信息具有實際意義。
中位數(shù)：根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。
這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)6.6相差不大。
中位數(shù)即第50百分位數(shù)。
由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552.
因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi).
設(shè)中位數(shù)為x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得到x≈6.71.
因此，中位數(shù)約為6.71,如圖所示.

平均數(shù)：因為樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替。

這個結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算的樣本平均數(shù)8.79相差不大。
小結(jié)：
平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形面積乘以各個小矩形底邊中點的橫坐標的和。
中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成面積相等的左右兩部分。
眾數(shù)：最高矩形的底邊中點的橫坐標。
過渡：剛才我們估計的是在分為九組的頻率分布直方圖下，100戶居民用水量大眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，下面我們來估計一下將100戶居民用水量分為三組時的頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。
跟蹤練習：

	原始數(shù)據(jù)	9 組	3 組
眾  數(shù)	2.0	5.7	5.7
中位數(shù)	6.8	6.7	7.8
平均數(shù)	8.79	8.96	9.39

 
在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).
頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個估計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān)，有隨機性。
跟蹤訓(xùn)練：計算不同分組下頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，再將數(shù)值進行對比，了解計算數(shù)值的隨機性，明白統(tǒng)計方法沒有好壞之分，只有合適與不合適之分。
（四）拓展延伸，學(xué)以致用
某工廠人員及月工資構(gòu)成如表：

人員	老  板	管理人員	高級技工	工人	合計
月工資/元	220000	20000	10000	8000	550000
人數(shù)	1	6	5	20	32

該廠職工年平均收入能達到20萬嗎？我能建議表弟去該廠入職嗎？
（五）總結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習，你有什么收獲。
    眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，其中以平均數(shù)最為重要，其應(yīng)用也最為廣泛。
（六）布置作業(yè)
1、課本208頁練習1、2、3。
2、

人員	老  板	管理人員	高級技工	工人	合計
月工資/元	220000	20000	10000	8000	550000
人數(shù)	1	6	5	20	32

請改動表中的數(shù)據(jù)，在工廠平均工資為20萬的前提下，能讓表弟入職。
（七）板書設(shè)計：
總體集中趨勢的估計
 
1、眾數(shù)  中位數(shù)  平均數(shù)
2、在頻率分步直方圖中求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。

視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn -----更多視頻請在本頁面頂部搜索欄輸入“用樣本估計總體”其中的單個詞或詞組，搜索以字數(shù)為3-6之間的關(guān)鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標題為“部編新教材人教版數(shù)學(xué)必修第二冊第九章統(tǒng)計9.2 用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計”，所屬分類為“高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻”，如果喜歡或者認為本視頻“部編新教材人教版數(shù)學(xué)必修第二冊第九章統(tǒng)計9.2 用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計”很給力，您可以一鍵點擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) 的成長和發(fā)展，離不開您的支持，感謝您的關(guān)注和支持！有問題請【點此聯(lián)系客服QQ：9899267】 -----

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