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視頻標簽：橢圓及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修2-1 2.2.1 橢圓及其標準方程_河南省優課
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高中數學人教A版選修2-1 2.2.1 橢圓及其標準方程_河南省優課
教學設計表
授課題目 橢圓及其標準方程
教學目標
1．知識與技能目標：
（1）掌握橢圓定義和推導橢圓的標準方程；
（2）能由橢圓的標準方程求長軸、短軸、焦距、焦點坐標； （3）在給定條件下會求橢圓的標準方程. 2．過程與方法目標：
（1）通過橢圓定義的歸納和標準方程的推導，培養學生發現規律、認識
規律并利用規律解決實際問題的能力.
（2）在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導過程中進一步滲透數形結合
等數學思想和方法
3．情感態度與價值觀目標：
（1）通過橢圓定義的獲得培養學生探索數學的興趣.
（2）通過標準方程的推導培養學生求簡意識并能懂得欣賞數學的“簡潔
美”.
（3）通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強
主動與他人合作交流的意識.
教學重難點
1．重點：橢圓定義及其標準方程 2．難點：橢圓標準方程的推導
教學過程
課前視頻播放圓錐曲線名字的由來，吸引學生注意力，增強學生學習的興趣. （一）創設情境，引入概念
通過演示有關橢圓的圖片，讓學生從感性上認識橢圓，說明橢圓在我們的生活、生產和科研中非常重要.
思考：如何畫橢圓呢？ （二）實驗探究，形成概念
1、動手實驗：學生分組動手畫出橢圓，老師用幾何畫板演示軌跡生成過程. ①取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在同一點處，套上鉛筆，移動筆尖畫出的軌跡是什么？
②如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？
③保持繩長不變，改變兩個圖釘之間的距離，畫出的橢圓有什么變化？
思考：根據上面探究實踐回答，橢圓是滿足什么條件的點的軌跡？ 引導學生概括橢圓定義
橢圓定義：平面內與兩個定點12,FF距離的和等于常數（大于12FF）的點的軌跡叫橢圓。
即滿足
()121222MFMFaaFF+=>
這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。 特殊情況：
① 當定長 = 焦距時，軌跡為線段； ② 當定長 < 焦距時，無軌跡； ③ 當焦距 = 0時，軌跡為圓． （三）研討探究，推導方程
1、知識回顧：利用坐標法求曲線方程的一般方法和步驟是什么？
2、思考：如何建立坐標系，使求出的方程更為簡單？
M
2
F
1
F
問題：如圖已知焦點為12,FF的橢圓，且12=2FFc,對橢圓上任一點M，有
122(22)MFMFaac+=>，嘗試推導橢圓的方程。
將各組學生的討論方案歸納起來評議，選定以下兩種方案，由各組學生自己完成設點、列式、化簡。
方案一 方案二
按方案一建立坐標系，師生研討探究得到橢圓標準方程
22
221(0)xyabab
+=>>，其中222(0)bacb=->； 選定方案二建立坐標系，由學生完成方程化簡過程，可得出
22
221(0)yxabab
+=>>，同樣也有222(0)bacb=->。 教師指出：我們所得的兩個方程22
221(0)xyabab+=>>和
22
22
1(0)yxabab+=>>都是橢圓的標準方程。 （四）歸納概括，方程特征
觀察橢圓圖形及其標準方程，師生共同總結歸納
（1）橢圓標準方程形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1； （2）橢圓標準方程中三個參數a,b,c關系：222(0)bacab=->>； （3）橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定；
（4）求橢圓標準方程時，先定型再定量，可運用定義法或待定系數法求出a,b的值。
（五）例題研討，變式精析
例1.用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓. （口答）
x
y
1
F
2
F
M
O
x
y
1
F
2
F
M
O M
2
F
1
F
(1)平面內，到)0,2(),0,2(21FF-的距離之和為6的點的軌跡.（是） (2)平面內，到)2,0(),2,0(21FF-的距離之和為4的點的軌跡.（不是） (3)平面內，到)0,2(),0,2(21FF-的距離之和為3的點的軌跡.（不是） 例2.判斷下列各橢圓的焦點位置，并說出焦點坐標、焦距以及,ab的值（口答）
①
22
110036
xy+= ②22416xy+= ③22981xy+= 例3. 若方程
11
22
2=-+-kxky表示橢圓，則k的范圍是______; 表示焦點在y軸上的橢圓，則k的范圍 . 例4.求滿足下列條件的橢圓的標準方程
（1）已知橢圓兩個焦點的坐標分別為(2,0),(2,0)-，并且經過點53
(,)22
-
(2) 經過兩點35
(,)22
-，35（，）
（六）變式訓練
課本P42 1、2、3
（七）小結歸納，提高認識
1、以提問形式
（1）橢圓是怎樣的點的軌跡？
（2）橢圓的標準方程是怎樣的？ （3）橢圓的兩個標準方程有什么區別？ 2、在歸納總結的基礎上，填下表 標準方程
22
221(0)xyabab
+=>> 22
221(0)xyabab
+=>> 圖形
a,b,c關系 222cab-= 222cab-= 焦點坐標 )0,(c±
),0(c±
焦點位置 在x軸上 在y軸上
（八）、板書設計
橢圓及其標準方程 一、 定義 橢圓：„
焦點：„ 焦距：„ （1）„ （2）„ （3）„
橢圓的圖形
二、 標準方程 （1）焦點在x軸上的
„„
（2）焦點在y軸上的
„„
橢圓標準方程的推導過程（先）
例題（后）
（九）作業訓練，鞏固提高 必做題：
1、課本P49 1、2、6、7
2、 已知B，C是兩個定點，ABCBCD=且,6周長為16，求頂點A的軌跡方程。 3、 已知橢圓10025982222=+=+yxymx與的焦距相等，求實數m的值。 思考題：
1、在橢圓上
120
452
2=+yx上求一點，使它與兩個焦點連線互相垂直。 x
y
1
F
2
F
M
O
x
y
1
F 2
F M
O
2、已知P是橢圓
164
1002
2=+xy上一點，其中21,FF為其焦點且°=Ð6021PFF，求三角形21PFF面積。
3、設A，B的坐標分別是(5,0),(5,0),-直線AM，BM所在直線的斜率之積等于
9
4
-
，求頂點M的軌跡方程。 4、如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段1PP，求線段1PP中點M的軌跡。
信息技術與教學融合點
1、本節課使用圓錐曲線一章的思維導圖，對學生形成知識網絡有很大幫助。
2、本節課一開始使用微課形式引入圓錐曲線的由來，使學生對本章內容
有個整體的認識。
3、本節課使用幾何畫板來突破橢圓定義的生成過程。
4、本節課的課本例題，課后習題等都有對應的微課講解，學生課后可隨時在相關位置下載查閱。
5、對于課后習題，可以使用掃描全能王將其掃描下來，傳至電腦，這樣可以提高備課效率，節約時間；
信息技術創新教學心得
經過多年的教學積累以及對數學相關教學軟件的研究，我發現： 1、幾何畫板畫的函數圖像對解決個別復雜解析式的函數的解題有很大幫助，學生理解起來也很方便，函數復習課時把常見函數圖像的標準圖像給學生展示，有助于學生加深對函數性質的理解；
2、用立體幾何畫板、math3D、超級畫板畫立體幾何圖像和圓錐曲線圖像較快，可以上課時直接操作，對于習題課的上課效率及直觀性有很大幫助，還可以旋轉立體圖像；
3、對于個別難以輸入電腦的文件或習題，可以使用掃描全能王將其掃描下來，傳至電腦，這樣可以提高備課效率，節約時間；
4、課件除了用PPT外，有時也可使用斧子演示這個新興的多媒體演示軟件把思維導圖和教學內容完美融合；
O
x
y
P 1
PM
5、使用天天象上相關軟件隨時制作微課，如例題、習題講解、試卷處理等，經過精心備課及后期加工，可大大提高課堂效率；
6、課堂上讓學生做習題時，如果發現學生共性問題時，可以采用將這位學生的作業投屏到班級電視上，或者所媒體大屏幕上，實時快捷；
7、最后所有課件、課堂實錄、微課等教學元素都上傳至班級QQ群,學生課余時間可以針對性的對夾生問題進行再學習。
8、遺憾的是：由于課堂條件的限制，無法將課上的所有內容與學生進行單獨互動，實現課堂反轉。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
