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視頻標簽：橢圓及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修2-1 2.2.1橢圓及其標準方程_廣東省優課
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高中數學人教A版選修2-1 2.2.1 橢圓及其標準方程_廣東省優課
人教版選修2-1《2.2.1 橢圓及其標準方程（1）》教學設計
教學
目標
理解橢圓的定義并掌握橢圓的標準方程及其推導.
培養邏輯思維能力和綜合能力，滲透坐標法、曲線與方程、數形結合、類比、
分類討論等數學思想方法.
通過自主探索，合作交流，體驗成功的樂趣，體會數學的精妙，感受數學的形式美、對稱美、簡潔美. 重點 橢圓的定義及其標準方程. 難點 橢圓定義的得出和標準方程的推導. 教法 啟發引導、合作探索. 教具 多媒體、紙板、圖釘、細繩.
教學環節
教師活動
學生活動
設計意圖
情境導入
多媒體展示多張橢圓形的圖片.
問題1：你能列舉一些生活中橢圓形的
例子嗎？
展示將圓壓扁成橢圓的過程.
學生舉例回答.
讓學生思考橢圓可以由圓上的每一個點沿垂直于直徑的方向按某個比例壓縮得到.
通過對圖片及將圓壓扁成橢圓的展示，使學生對橢圓有一個整體和感性的認識. 橢圓定義的得出
1．探究 取一條定長的細繩、一張紙板、一支鉛筆和兩個釘子；
（1）把細繩的兩端固定在紙板的同一點O處，用筆尖把細拉緊，移動筆尖，筆尖畫出的軌跡是什么曲線？
（2）把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在紙板的兩點F1，F2處；用筆尖把細繩拉緊，移動筆尖，筆尖畫出的軌跡是什么曲線？
2．幾何畫板演示橢圓的形成過程.
問題2：在畫出橢圓的過程中哪些量是變的，哪些量不變的？
問題3：類比圓的定義，你能總結出橢圓的定義嗎？
讓學生動手畫出兩種不同情況下的曲線即圓和橢圓.
此過程中讓學生自主合作探索且類比歸納出橢圓的定義，由不完整到完整.并且讓學生自己辨析繩的長度與兩定點 F1，F2 間的距離之間的關系.
以圓為基礎，通過類比，學生在教師的引導下，通過自己觀察、猜想、動手操作得到橢圓的定義，由傳統的一定義三項注意轉變為自己探究，加深了對橢圓的理解，體會
《2.2.1 橢圓及其標準方程（1）》 教學設計 深圳科學高中 唐金波
2
橢圓的定義：平面內與兩個點 F1，F2
的距離的和等于常數（大于| F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓. 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩點間的距離叫做橢圓的焦距.
學生總結出橢圓的定義.
數學的完備性，極大地提高了學生的學習熱情和效率. 橢圓標準方程的推導
問題4：類比研究圓的方法， 如果想進一步研究橢圓，我們應該做什么？
問題5：要求出橢圓的方程，我們可以怎樣建系呢？你認為哪些方法比較好（追問）？
如圖，建立直角坐標系，設M(x,y)為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是2c（c>0）,則F1，F2 的坐標分別為（-c，0），（c，0）.又設M與F1，F2距離之和等于a2.
即 |MF1|+|MF2|=2a， 所以2222()()2,xcyxcya+++-+=
移項后，得2222()2(),xcyaxcy++=--+
兩邊平方整理，得
222(),acxaxcy-=-+
再平方整理，得
22222222()(),acxayaac-+=-
兩邊同時除以a2（a2—c2），得 22
222
1xy
aac+=-. 學生回顧坐標法和求圓的方程的一般步驟，讓學生自己提出：建系、設點、列出限制條件、代數化、化簡得出橢圓的方程.
學生提出不同的建系方法.
根據橢圓的對稱性，學生可能提出幾種建系方法：
（1）以焦點 F1，F2所在的直線為x軸， F1，F2的垂直平分線為y軸；
（2）以焦點 F1，F2所在的直線為x軸， F1或 F2點為坐標原點建立直角坐標系；
（3）以焦點 F1，F2所在的直線為y軸， F1，F2的垂直平分
線為x軸.
此時將學生分成三組就不同的
坐標系求出對應的橢圓的方程.
當教師提出對于根式化簡，我
們會用到什么技巧呢？學生都
能回答出平方，有部分預習過
的學生，會進一步提出移項后平方，然后再平方就可以. 這時教師追問，直接平方可以嗎？
學生通過計算嘗試得出，如果直接平方，就會變得相當復雜，
讓學生通過類比圓得到求橢圓方程的一般步驟，明確做法，為后面求橢圓的標準方程作鋪墊.
把問題拋給學生，通過學生自己的思考，使學生能明確為什么要這樣做.
讓學生通過嘗試比較得出推導方法的優劣，突破難點.
《2.2.1 橢圓及其標準方程（1）》 教學設計 深圳科學高中 唐金波
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問題6：觀察下圖，你能從中找出表示a，c，22ac-的線段嗎？并且進一步整理上式讓其更簡潔和美觀.
令22bac=-，上式就是
22
221(0).xyabab
+=>> 由曲線與方程的關系，這就是焦點
在x軸上的橢圓的標準方程.
有部分學生可能想用第二種或第三種建系方法來推導橢圓的方程，教師給予鼓勵并分組實施. 然后通過推導過程讓學生自己比較此種建系方法所得橢圓方程的優劣.
思考：如果焦點F1，F2在y軸的橢圓，且F1，F2的坐標分別為F1(0, -c)，F2(0, c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？
得出焦點在y軸上的橢圓的標準方程.
22
2
21(0).yxabab
+=>> 觀察橢圓圖形及其標準方程，你能得出它們之間的相同點和不同點嗎？ （1）兩種標準方程中，都有a>b>0； （2）橢圓的焦點由標準方程中分母大的確定；
（3）a，b，c始終滿足2
2
2
cab=-.
很難化簡. 此時可讓學生上白
板上板書推導過程. 教師可以演示化簡過程，比較兩種方法的優劣.
通過問題6，學生可以經過自己的觀察、發現a，c，22ac-的焦點三角，從而自然地想到引入22bac=-，達到了化簡的目標.
通過分組，利用第二種建系方法的學生也可以推導出橢圓的方程，但是會覺得計算比較復雜，方程不如前面一種的美. 此時教師提出不同的建系會得到橢圓不同的方程.
通過思考和之前的推導過程，學生很容易得出焦點在y軸上的橢圓的標準方程.
學生觀察橢圓的形狀與坐標軸的關系，比較總結出兩種標準方程之間的相同點與不同點，然后填表總結.
把問題直接拋給學生，從而自然地把方程化簡到標準方程的形式.
橢圓的兩種標準方程具有非常好的對稱性和優美的結構，借此機會滲透數學之美，培養學生的數學興趣.
《2.2.1 橢圓及其標準方程（1）》 教學設計 深圳科學高中 唐金波
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練習
根據下列橢圓方程，寫出a，b，c
的值，并指出焦點的坐標.
（1）
221,106xy+=（2）22
1.1610
yx+= 學生迅速完成
熟悉橢圓
的兩種標準方程.
例題
例1 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(2,0),(2,0)-，并且經過點
(0,6)，求它的標準方程.
變式（1）若例1中橢圓的焦點不變，并且經過點(5,0)-，求它的標準方程；
（2）若例1中橢圓的焦點不變，并且經過點53(,)22
-，求它的標準方程.
例1中學生可以觀察出點
(0,6)為橢圓與y軸的交點，從而直接得出6,2bc==，于是出得橢圓方程. 變式也可
以通過定義法，待定系數法分別計算出答案.
讓學生掌
握用不同方求橢圓的標準方程.
思考 思考 在圓224xy+=上任取一點P，過P點作x軸的垂線段PD，D為垂足，M為PD上一點. 點P在圓上運動，當
12MDPD=時，M的軌跡是什么？為什么？
變式（1）當
1
3
MDPD=時， M的軌跡是什么？
（2）
(01)MD
kkPD
=<<時， M的軌跡是什么？
學生通過設點求出M點的軌跡方程，從而從另一個角度認識橢圓：橢圓可以看成是壓扁的圓.
開闊學生的眼界，
從不同的角度理解橢圓.
總結 通過這節課的學習，你有哪些收獲？請同學自己談談在知識、數學思想方法、技巧等方面學到了哪些新東西？ 學生回憶整節課的過程，
對其中涉及的數學知識、數學
思想和方法及感受進行總結. 讓學生學會總結，欣賞數學之美. 板書
設計
2.2.1橢圓及其標準方程
1. 橢圓的定義 例1
2. 橢圓的標準方程 例2
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
