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視頻標(biāo)簽：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1 2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程_華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)
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高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1 2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程_華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)目標(biāo):
(1)理解橢圓定義及焦點(diǎn)、焦距的概念;
(2)能正確推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)明確標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)的幾何意義,能解決簡(jiǎn)單的求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的問題。
能力目標(biāo):
(1)培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的思想分析解決問題,滲透從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的抽象橢圓圖形特征的過程;
(2)通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),進(jìn)一步掌握求曲線方程的方法;
(3)學(xué)會(huì)利用代數(shù)方法解決幾何問題的基本手段和一般過程,提高運(yùn)用坐標(biāo)法的自覺性以及解決幾何問題的能力。
情感目標(biāo):
(1)感性認(rèn)識(shí)理性化,通過自己動(dòng)手作圖觀察來辨析和完善概念,通過對(duì)比產(chǎn)生頓悟,通過對(duì)于這種學(xué)習(xí)方式的積極心向感受數(shù)形結(jié)合的思想,并養(yǎng)成好的探究學(xué)習(xí)習(xí)慣。
(2)通過內(nèi)類和知識(shí)升華,關(guān)注學(xué)生思維起點(diǎn)和思維的發(fā)展點(diǎn),使學(xué)生養(yǎng)成勤于思考、勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
2新設(shè)計(jì)
倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式,力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)和探究活動(dòng)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。這是高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的重要理念之一。本節(jié)課將落實(shí)這一理念,重在引領(lǐng),注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本節(jié)課采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法,使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、觀察、交流、分析、概括等理性思維的基本過程,切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。由于本節(jié)課涉及到數(shù)形結(jié)合和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程,幾何畫板、課件等多媒體手段的使用也會(huì)大大提高課堂效率,使學(xué)生在生動(dòng)形象的教學(xué)過程中更清晰地認(rèn)識(shí)圖形。信息技術(shù)將為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。
3學(xué)情分析
學(xué)生在必修2第二章里已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程,并初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟,具備主動(dòng)探究橢圓知識(shí)的基礎(chǔ);教材的這種安排也遵循了知識(shí)接受過程循序漸進(jìn)的特點(diǎn),遞進(jìn)式學(xué)習(xí)為學(xué)生分散了難點(diǎn)。從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看,通過一年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生具備了一定的觀察事物的能力,積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn),在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。學(xué)生根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn),雖然對(duì)橢圓圖形有一定的直觀認(rèn)識(shí),但沒有借助嚴(yán)密的思維過程將其上升到“概念”的水平。感性認(rèn)識(shí)理性化將會(huì)是學(xué)生的挑戰(zhàn)之一;另外,在以前的學(xué)習(xí)中,多半只涉及一個(gè)根式的方程化簡(jiǎn)問題,含兩個(gè)字母、兩個(gè)根式的方程化簡(jiǎn)也將會(huì)是學(xué)生面臨的操作難題。
4重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
教學(xué)難點(diǎn):橢圓定義中焦距與長(zhǎng)軸的大小關(guān)系;橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、坐標(biāo)系的選擇;橢圓焦點(diǎn)分別在X軸和Y軸上時(shí)的方程形式的區(qū)別與聯(lián)系。
5教學(xué)過程
5.1第一學(xué)時(shí)
5.1.1教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【導(dǎo)入】1.復(fù)習(xí)圓的定義及圖形特征； 2.將原有定義進(jìn)行修改，探索是否可以得到新圖形，并明確新圖形的幾何要素
【引言】從這一章起我們進(jìn)入圓錐曲線的學(xué)習(xí)研究。在書本的章節(jié)介紹中我們知道,接下來要研究的幾種曲線都是由垂直于圓錐的軸的平面截取圓錐得到,這一點(diǎn)啟發(fā)我們思考,不同種類的圓錐曲線具有什么樣的不同點(diǎn),而它們又是否有共通點(diǎn)呢。
【提問】之前我們利用解析的手段研究過一種大家在初中就已經(jīng)學(xué)習(xí)過的圖形——圓。現(xiàn)在請(qǐng)大家回顧一下圓的幾何定義。
【提問】圓的幾何要素是什么?
【提問】再此基礎(chǔ)上,我們能否人為地改變定義的條件,試試看能不能構(gòu)造出新的圖形呢?
(由于一個(gè)定點(diǎn)有限,我們可以把條件改為?兩個(gè)定點(diǎn)也許就會(huì)涉及距離的和或差,我們先來研究距離和)
活動(dòng)2【活動(dòng)】合作畫出新圖形的軌跡。
【提出要求】
請(qǐng)同學(xué)們利用課前下發(fā)的毛線,同桌兩人一組,嘗試看是否可以合作畫出剛剛我們得到的新定義下圖形的軌跡。
請(qǐng)一組同學(xué)到黑板上演示畫出的圖形。
教師巡視并給與意見。
【幾何畫板演示】
教師利用幾何畫板工具展示橢圓軌跡的行程過程。
(先人為動(dòng),再通過設(shè)置讓點(diǎn)自行運(yùn)動(dòng))
活動(dòng)3【講授】類比圓的幾何定義，給出橢圓的幾何定義。
【提問】
其實(shí)新圖形在大家的生活中隨處可見,比如衛(wèi)星運(yùn)行的軌道等等。生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們,它的名字是?
【提問】
我們知道,圓的幾何要素是圓心和半徑,那么新圖形的幾何要素是什么?
【提問】
請(qǐng)同學(xué)們仿照?qǐng)A的定義方式,結(jié)合我們剛剛的畫圖過程,給出橢圓這種圖形的幾何定義。
活動(dòng)4【講授】通過對(duì)概念深入理解，提煉出橢圓定義中需要注意的地方，使其對(duì)定義更清晰。
【提問】
這個(gè)定義里大家一起想一想,需要主要的地方有哪幾點(diǎn)。
【提問】
若改變條件,使得距離之和不是大于,而是等于兩定點(diǎn)距離之和或者小于兩定點(diǎn)距離之和,我們將會(huì)得到什么樣的圖形呢。
活動(dòng)5【講授】1.橢圓的不變量的名詞介紹 2.橢圓點(diǎn)的軌跡的數(shù)學(xué)語(yǔ)言（集合語(yǔ)言）表述； 3.理解橢圓的幾何條件
【提問】
橢圓里有哪些不變量?
由于這兩個(gè)不變量對(duì)于橢圓來說非常重要,我們將它們名詞化。這兩個(gè)點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn),用F1 ,F2來表示,焦點(diǎn)間距離稱為焦距,用2c來表示。
【提問】
請(qǐng)大家用數(shù)學(xué)集合語(yǔ)言表示出橢圓點(diǎn)的軌跡
【強(qiáng)調(diào)】
若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)滿足上述條件,則其軌跡為橢圓;橢圓上的點(diǎn)均滿足上述條件。
活動(dòng)6【活動(dòng)】推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
現(xiàn)在我們開始用解析方法研究橢圓
【提問】求圓的方程的方法是什么?
【提問】直譯法求軌跡方程分為哪幾步?
【提問】
根據(jù)簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則,如何建立平面直角坐標(biāo)系?
【具體過程】
建系設(shè)點(diǎn)。
1)設(shè)M(x,y)為橢圓上的任意一點(diǎn);
2)橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件(前已講)為:|MF1|+|MF2|=2a,2a>2c
3)將上述幾何條件翻譯為坐標(biāo)語(yǔ)言:√(x−c)2+y2+√(x+c)2+y2=2a
4)對(duì)上述代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)。
【提問】
處理根式的方法是什么?
涉及到兩個(gè)根式需要幾次平方?
怎樣可以使得計(jì)算更加簡(jiǎn)便一些?
活動(dòng)7【講授】引入?yún)?shù)b;并解釋b的含義。 引導(dǎo)學(xué)生完成完備性和純粹性的檢驗(yàn).
【教師于黑板上板書】
√(x−c)2+y2+√(x+c)2+y2=2a ;
√(x+c)2+y2=2a−√(x−c)2+y2 ;
(x+c)2+y2=4a2−4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2 ;
4a√(x−c)2+y2=4a2−4cx ;
【學(xué)生自行完成】
請(qǐng)同學(xué)們將上式整理化簡(jiǎn)并寫出化簡(jiǎn)結(jié)果。
【提問】
請(qǐng)大家觀察這個(gè)式子,由于a>c,兩邊可以同時(shí)除以
a2(a2−c2),則可以得到:
x2a2 +x2a2−c2 =1 ,由于數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)潔美和對(duì)稱美, a2−c2 這個(gè)參量我們可以引入一個(gè)新的變量b>0,使得b2=a2−c2 。
活動(dòng)8【講授】通過對(duì)形式的要求和提升，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)式子的美觀性有深刻的認(rèn)識(shí)而得到焦點(diǎn)在x軸上的“橫躺”橢圓的標(biāo)方
【提問】
現(xiàn)在剛剛化簡(jiǎn)得到的式子就變成了x2a2 +y2b2 =1(a>b>0) ;
從形式上看非常簡(jiǎn)潔漂亮;但是現(xiàn)在我們來想想,為什么這里的參數(shù)b的引入是可行的呢。請(qǐng)大家從代數(shù)與幾何兩方面考慮。
【總結(jié)】
焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(課件)
【思考】
若使得焦點(diǎn)落在y軸上,重新建立直角坐標(biāo)系又會(huì)有什么樣的標(biāo)準(zhǔn)方程形式呢。
活動(dòng)9【講授】得到焦點(diǎn)在y軸上的“豎立”橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
從圖形直觀來看,橢圓有“橫躺”和“豎立”之分;
若以兩定點(diǎn)的連線為Y軸,其垂直平分線為X軸,則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: y2a2 +x2b2 =1,(a>b>0)
活動(dòng)10【活動(dòng)】總結(jié)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)，初步得到對(duì)橢圓定形條件和定位條件的理解。
【提問】
兩種形式的橢圓方程學(xué)習(xí)完畢以后,請(qǐng)同學(xué)們一起對(duì)比橢圓兩種形式的異同點(diǎn),我們一起討論。
【課件展示表格】
【標(biāo)準(zhǔn)方程小結(jié)】
橢圓的定形條件和定位條件分別是什么,怎樣才能快速判斷焦點(diǎn)位置?
啟發(fā)我們?cè)谇髽?biāo)準(zhǔn)方程時(shí)具體要注意哪些問題?
活動(dòng)11【練習(xí)】對(duì)典型例題進(jìn)行講解；請(qǐng)學(xué)生自練，并歸納出求解橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法。
例1:(請(qǐng)學(xué)生口答)
若橢圓x225 +y216 =1 上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6,則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為多少?
例2:求焦點(diǎn)為(0,-2),(0,2),經(jīng)過點(diǎn)(4, 3√2 )的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(待定系數(shù)法)(幾何法)
例3:求經(jīng)過兩點(diǎn)(2, −√2 ),(-1, √142 )的橢圓方程。
(待定系數(shù)法)
【總結(jié)】
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式,思考所總結(jié)的統(tǒng)一形式與兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
活動(dòng)12【活動(dòng)】發(fā)現(xiàn)圓與橢圓的關(guān)系
【提出問題】
這節(jié)課我們以圓的學(xué)習(xí)類比橢圓,最后我們從橢圓回到圓上來。請(qǐng)大家一起看這樣一個(gè)情境:用幾何課件展示教材41面例2的情境:在圓上任取一點(diǎn),過該點(diǎn)作x軸的垂線段,觀察當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),垂線段中點(diǎn)的軌跡。并要求學(xué)生下課后給出嚴(yán)密證明。
活動(dòng)13【作業(yè)】布置本節(jié)課隨堂作業(yè)。
本節(jié)課的作業(yè):
1. 完成橢圓與圓所給情境的思考和嚴(yán)密證明;
2. 《紅對(duì)勾》上本節(jié)的相應(yīng)內(nèi)容;
類似的,將橢圓的直觀圖形推廣至三維空間,想象橢球面的直觀圖形;將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推廣至三維空間,形式化類比給出橢球面標(biāo)準(zhǔn)方程。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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