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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學蘇教版選修2-3第1章1.5.1 二項式定理_江蘇省- 昆山
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高中數學蘇教版選修2-3第1章1.5.1 二項式定理_江蘇省- 昆山
教學目標
1.知識與技能：
(1)理解二項式定理是代數乘法公式的推廣.
(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理.
2.過程與方法：
通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式．
3. 情感、態度與價值觀：
培養學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹．
2學情分析
本班學生是高二理科班中比較優秀的，接受能力較強。對排列組合知識的掌握也比較到位，課堂上能接好的配合老師，對較難問題的解決也有一定的突破能力。
3重點難點
重點：用計數原理分析 的展開式，得到二項式定理．
難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各項系數的規
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【練習】（一）提出問題，引入課題
在n=2,3,4時，研究(a+b)n的展開式.
(a+b)2= ,
(a+b)3= ,
(a+b)4= .
那么 的展開式是什么？
【設計意圖】把問題作為教學的出發點，直接引出課題．激發學生的求知欲，明確本課要解決的問題.
活動2【練習】（二）引導探究，發現規律
展開式的再認識
探究1：不運算 ，能否回答下列問題（請以兩人為一小組進行討論）：
(1) 展開式中有哪些不同的項？
(2) 各項的系數為多少？
(3) 從上述兩個問題，你能否得出 的展開式？
探究2：仿照上述過程，請你推導 的展開式.
因為 展開式的各項都是 次式，
即展開式應有下面形式的各項： ， ， ， ，
展開式各項的系數：上面 個括號中，每個都不取 的情況有 種，即 種， 的系數是 ；恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，有 個都取 的情況有 種， 的系數是 。
【設計意圖】通過幾個問題的層層遞進，引導學生用計數原理對 的展開式進行再思考，分析各項的形式、項的個數，這也為推導 的展開式提供了一種方法，使學生在后續的學習過程中有“法”可依．
活動3【活動】(三) 形成定理，說理證明
探究3：仿照上述過程，請你推導 的展開式．
⑴ 的展開式的各項都是 次式，即展開式應有下面形式的各項：
， ，…， ，…， ，
⑵展開式各項的系數：
每個都不取 的情況有 種，即 種， 的系數是 ；
恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，……，
恰有 個取 的情況有 種， 的系數是 ，……，
有 都取 的情況有 種， 的系數是 ，
∴ ，
這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫 的二項展開式，
【設計意圖】通過仿照 、 展開式的探究方法，由學生類比得出 的展開式．二項式定理的證明采用“說理”的方法，從計數原理的角度對展開過程進行分析，概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數，從而得出用組合數表示的展開式．
活動4【測試】(四) 熟悉定理，簡單應用
二項式定理的公式特征：（由學生歸納，讓學生熟悉公式）
1. 項數：共有 １項.
2. 次數：字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n．
各項的次數都等于n．
3. 二項展開式的通項: 式中的 叫做二項展開式的通項. 用 表示.
即通項為展開式的第 １項: =
4. 二項式系數: 依次為 ，這里 稱為二項式系數. 5.二項式定理中，設 ，則
應用1 利用二項式定理展開下列各式：
（1） （2） .
應用2 在 的展開式中，求：
第4項的二項式系數；
含 的項的系數.
應用3 求 的二項展開式中的常數項.
【設計意圖】熟悉二項展開式，培養學生的運算能力．
活動5【active.type.pj】(五) 課堂小結，課堂練習
小結（由學生歸納本課學習的內容及體現的數學思想）
公式：
思想方法：1.從特殊到一般的思維方式. 2.用計數原理分析二項式的展開過程.
練習
1、展開
2、求 的展開式中的倒數第 項
解： 的展開式中共 項，它的倒數第 項是第 項，
．
3、已知 的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，
（1）證明展開式中沒有常數項；（2）求展開式中所有的有理項
解：由題意： ，即 ，∴ 舍去）
∴
①若 是常數項，則 ，即 ，
∵ ，這不可能，∴展開式中沒有常數項；
②若 是有理項，當且僅當 為整數，
∴ ，∴ ，
即 展開式中有三項有理項，分別是： ， ，
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