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在線播放:人教B版高中數學選修2-3第二章1.3.1二項式定理-山東省 - 濟南

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視頻簡介：

視頻標簽：二項式定理

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教B版高中數學選修2-3第二章1.3.1二項式定理-山東省 - 濟南

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1.3.1 二項式定理
一、教學目標
1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用
2．過程與方法：培養學生觀察、歸納、猜想能力，發現問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。
3．情感態度和價值觀：培養學生勇于探索，勇于創新的個性品質，感受和體驗數學的簡潔美、和諧美和對稱美。二、教學重點、難點
重點：二項式定理的發現、理解和初步應用及通項公式難點：用計數原理知識探索發現二項式定理。三、教學過程（一）問題引入
問題1  abcd的展開式有多少項？
這個是最簡單的多項式乘法，學生能夠快速的說出答案。問題2  
2019
ab展開式中會有多少項？你能寫出它的展開式嗎？
這是個稍微難點的問題，難在2019次數太高，直接分析很難進行下去，這時我們不妨以退為進。
設計意圖：由易到難拋出問題，再由難到易解決問題，激發學生的求知欲。
下面看幾個次數比較低的情況

1
abab

2
222abaabb這是完全平方式




                            3
2
ababab學生處理基本上是按照先平方，再去乘以ab 
4
3
ababab四次方的處理，學生可以先算出3次方的，再乘
以ab ……

2019
?ab 2019次方的也按照上面的算法來算的話，就比較困難了。
順勢讓學生思考如何用剛學過的計數原理知識來推導這些公式？帶著這個問題，進入下面的引例。
引例：這里有3個盒子，每個盒子里都放有一個a球和一個b球，現從每個盒子里各取出一個球，你能取出什么樣的球？想要得到2個a球、1個b球，你有多少種取法？
利用課件直觀展示取球的各種情況，并對這些情況加以分類，用組合知識解釋每一類的取球方法數。
設計意圖：在學生推導3
ab的展開式之前，先建立一種直觀、形象的思維模式，為下一步的類比打好基礎、做好鋪墊。（二）活動探究
探究1：類比取球過程，推導3
ab的展開式

3
ababababaaaaabababaaabbbabbbabbb
它的展開過程是從3個括號里各取一個字母，類比從3個盒子里各取一個小球。
（1）若每個括號都不取b，只有一種取法得到3a，即03C種
（2）若只有一個括號取b，共有1
3C種取法得到2ab
（3）若只有兩個括號取b，共有23C種取法得到2ab




                            （4）若每個括號都取b，共有33C種取法得到3b
引導學生發現：原始展開式中確有同類項存在，且確實可省去“合并”
因此303122233
33
33abCaCabCabCb 探究2：仿照上述過程,推導4
ab的展開式。
在有了3
ab展開式的推導，學生不難得出4
ab展開后會有5項，
分別為432234,,,,aabababb，對應系數分別為01234
44444
,,,,CCCCC，所以
4
0413222
33
4
44444
4
abCaCab
CabCab
Cb 探究3：歸納猜想n
ab的展開式

1
01
11abCaCb 2
02122222abCaCabCb 3
031222333333abCaCabCabCb 
4
0413222334444444abCaCabCabCabCb
我們已經推導了3
ab和4
ab的展開式，再把1
ab和2
ab的展開式也寫成這種形式，讓學生觀察這4個式子，回歸剛才遺留下的

2019
ab的展開問題，繼續觀察這4個特殊的式子，讓學生猜想更一
般的?n
ab
（三）概念形成讓學生自己動手寫出

011222*
n
nnnnrnrr
nn
nnnnnabCaCabCabCabCbnN
寫的同時，讓學生思考該公式展現了哪些規律？
設計意圖：通過3個探究，讓學生一步步去發現二項式定理的內容，讓學生體驗知識的形成、發展和演變過程。




                            這里研究的是兩項nab的展開式，所以等號右邊的式子叫做n
ab的二項展開式，該公式所表示的規律叫做二項式定理。問題  該公式表示了哪些規律？公式規律：
（1）項數：共有1n項（2）指數規律：
① 各項的次數都等于二項式的系數n（關于a與b的齊次多項式）
② 字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n
我們說字母a按降冪，字母b按升冪。實際上這是一種約定。因為我們展開式從左到右依次按照取出b球個數0個，1個，2個……n個進行分類的，如果按照取出a球的個數0個，1個，2個……n個進行分類的話，展開式的形式將會出現a升冪，b降冪，即

011222
*
n
nnnrrnr
nn
nnnnnabCbCabCabCabCanN
這樣，展開式的最后結果是沒問題的，但是每一項的位置將發生
改變，比如11nn
nCab是展開式的第二項，在按照a升冪，b降冪的展
開式的話就不再是第二項了，所以為統一要求，我們約定a降冪，b升冪。
（3）二項式展開式的通項：1rnrrrnTCab，0,1,2,,rn 問題：為什么不用rT作為展開式的通項？
有了通項之后，我們便可以處理任何一個式子二項展開之后的任何一項了。結合題目，幫助學生理解項，系數，二項式系數




                            的概念。
（4）二項式系數：依次為012,,,,r
n
nnnn
n
CCCCC。這里rnC（0,1,2,,rn）
稱為二項式系數。（四）鞏固練習
例1  （1）求5
1x的展開式；
      （2）求4
13

xx的展開式。
方法一：直接展開
方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。
思考：展開式中的第4項的系數是多少？展開式中的第4項二項式系數是多少？
設計意圖:幫助學生進一步區分系數與二項式系數是兩個不同的概念。
注意：二項式系數和系數是兩個不同的概念，二項式系數就是一個組合數，與,ab無關；系數與,ab有關。
例2 已知在21
12
n
xx的展開式中，第9項為常數項，求：
(1) n的值；
(2)展開式中x5的系數； (3)含x的整數次冪的項的個數。
找學生爬黑板，學生做完以后，教師總結這類題目的一般步驟。（五）歸納總結




                            一、知識層面
1.掌握一個定理（二項式定理）

011222*
n
nnnnrnrr
nn
nnnnnabCaCabCabCabCbnN
2.區分兩個概念（二項式系數與系數） 3.做題三個步驟（通項→求n→求特征問題）二、思想方法層面
1.轉換、類比的思想。
2.從特殊到一般的數學思維方式。（六）作業布置： 1、鞏固型作業：
  課本28頁練習A組 2、3、4 2、思維拓展型作業：（查閱相關資料）
  （1）查閱有關楊輝一生的主要成就。
  （2）探究二項式系數012,,,,n
nnnn
CCCC有何性質。

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