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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高二數學選修2-3第一章《二項式定理》建設
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人教A版高二數學選修2-3第一章《二項式定理》建設兵團省級優課
《二項式定理》教學設計
1教學設計思想
現代教學的核心是“以學生的發展為本”，注重學生的學習狀態和情感體驗，注重教學過程中學生主體地位的體現和主體作用的發揮，強調尊重學生人格和個性，鼓勵發現、探究與質疑，鼓勵培養學生的創新精神和實踐能力．
我采用啟發探究式教學方式：
一是從實際應用問題引入課題。這里體現了新課程的數學應用意識的理念，使學生體會到數學不僅是為了學數學，還可以學以致用，用來解決現實生活的問題．
二是從特殊到一般。面對一般問題，學生會想到從特殊情況入手，讓學生自己探究n=1，2，3，4，…時二項展開式的規律，觀察發現二項式定理的基本內容．
三是采用小組合作、探究的方式。小組內的同學共同歸納二項式定理的內容，由特殊推廣到一般．
四是教師的啟發與學生的探究恰當結合。本節課的難點在于確定二項展開式中，每一項的二項式系數，通過觀察歸納建立系數與組合數之間的聯系，有一定的困難，教師在此時的引導啟發，就顯得尤為重要． 2教學目標
知識與技能：理解二項式定理及其推導方法，識記二項展開式的有關特征，能對二項式定理進行簡單應用．
過程與方法：通過教師指導下的探究活動，經歷數學思維過程，熟悉理解“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養成合作的意識，獲得學習和成功的體驗．
情感、態度與價值觀：通過對二項式定理內容的研究，體驗特殊到一般發現規律，一般到特殊指導實踐的認識事物過程；通過對二項展開式結構特點的觀察，體驗數學公式的對稱美、和諧美．
本節課時高中數學第二冊（下A）1.3.1二項式定理第一節課．
本節課的學生起點：學生已經學習了組合的基本知識，初中學習了多項式乘法． 本節課是在組合和多項式乘法的基礎上，進一步研究學習二項式定理的內容．這一內容我共安排兩課時，這是第一課時
3教材分析
二項式定理是初中學習的多項式乘法的繼續，它所研究的是一種特殊的多項式——二項式的乘方的展開式．這一小節與很多內容都有著密切的聯系，特別是它在本章的學習中起著乘上啟下的作用．學習本小節的意義在于：①二項式定理與概率理論中的三大概率分布之一的二項分布有其內在聯系，本小節是學習概率知識及概率統計的準備知識；②二項式系數都是一些特殊的組合數，利用二項式定理可以得到關于組合數的一些恒等式，從而深化對組合數的認識；③基于二項展開式與多項式乘法的聯系，本小節的學習可對初中學習的多項式的變形起到復習、深化的作用；④二項式定理是解決某些整除性、近似計算等問題的一種方法．
教材的安排：教材中是通過n取一些特殊值（1，2，3，4）的基礎上，觀察歸納出二項式定理，強調要分析清楚式子展開并進行同類項合并后有哪些項及各項系數的一些規律，教
材采用的是不完全歸納法，沒有進行嚴謹的證明．教材隨后安排了四道例題，是對二項式定理的簡單應用． 4學情分析
學生為實驗班學生，有一定的數學基礎．學生理解組合及組合數的概念，掌握了多項式乘法的運算法則，有一定的歸納猜想能力，能順利完成課時計劃內容．
重點：二項式定理的內容及應用 難點：二項式定理的推導過程及內涵 內容分析：
)N(CCCCC)(*222110nb
bababaaban
nnrrnrnnnnnnnn
對二項式定理的理解和掌握，要從項數、系數、指數、通項等方面的特征去熟悉它的展開式． 教學過程
一、探索研究二項式定理的內容
問題：n
ba)(的展開式有什么特點？你能將它展開嗎？試一試． [學生分組探究]
學生可能的探究方法1：
由bCaCbaba11011)(
22212202222CCC2)(bababababa
33322321330332233CCCC33)(babbaababbaaba
44433422243144044322344464)(bCabCbaCbaCaCbabbabaaba
……
學生可能通過具體的例子來展開說明， 如：3
2
2
3
3
33)(babbaaba 或4
3
2
2
3
4
4
464)(babbabaaba 學生歸納過程可能如下：
以4)(ba為例的展開式的分析過程：
4322344464))()()(()(babbabaabababababa
容易看到，等號右邊的積的展開式的每一項，是從每個括號里任取一個字母的乘積，因而各項都是4次式，即展開式應有下面形式的各項：432234,,,,babbabaa．
[學生可能歸納出來：（1）每一項中字母a，b的指數之間的關系（2）項的個數有1n項]
在上面4個括號中：
每個都不取b的情況有1種，即04C種，所以4a的系數是0
4C；
恰有1個取b的情況下有14C種，所以ba3
的系數是1
4C； 恰有2個取b的情況下有24C種，所以22ba的系數是2
4C；
恰有3個取b的情況下有34C種，所以3
ab的系數是3
4C； 4個都取b的情況下有4
4C種，所以4
b的系數是4
4C；
因此4
4433422243144044CCCCC)(babbabaaba．
[歸納、猜想?)(nba]
)N(CCCCC)(*222110nb
bababaabannnrrnrnnnnnnnn
教師根據情況進行指導和引導，尤其是各項二項式系數的確定，教師要從各項中a，b指數的含義如baa34,來引導，并要求學生說明怎么得到這些項？教師可以通過電腦演示各形式項的形成過程，將學生的思維過程展示．
學生可能的探究方法2：
)())()(()(bababababan，共n個)(ba，依據多項式乘法，直接寫
出各項．
[學生成果展示，可通過具體實例：通過投影、板書或口述] 問題：希望學生得到的規律 （1） 項數：1n項；
（2） 指數：字母a，b的指數和為n，字母a的指數由n遞減至0，同時，字母b的指數由0遞增至n；
（3） 二項式系數是nnrnnnnCCCCC,,,,,210 （4） 通項：rrnrnrbaCT1
[板書（1），（2）]
[規律（3）得到后，板書nrrnnnn
bbabaaba1)
(]
[規律（4）得到后，補全二項式定理板書] 教師引導中，可能用到的引導問題： （1） 將n
ba)(展開，有多少項？
（2） 每一項中，字母a，b的指數有什么特點？ （3） 字母a，b的指數的含義是什么？是怎樣得到的？ （4） 如何確定rr
nba
的系數？
教師引導學生觀察二項式定理，從以下幾方面強調： （1） 項數：1n項；
（2） 指數：字母a，b的指數和為n，字母a的指數由n遞減至0，同時，字母b的指數由0遞增至n；
（3） 二項式系數：下標為n，上標由0遞增至n； （4） 通項：rr
nr
nrba
CT1指的是第r+1項，該項的二項式系數是r
n
C （5） 公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做n
ba)(的二項展開式，上面的定理是用不完全歸納法得到的，將來可以用數學歸納法進行嚴格證明． 三、二項式定理的應用
例1．.
126
的展開式求
xx
練習1
4
11
x展開
通過練習熟悉二項式定理的應用，對展開式中每一項的組成，二項式系數、系數及項數的寫法有一個認識。
例2（1）求(1+2x)7的展開式的第4項的系數
.1239
的系數的展開式中
求xxx
注：1)注意對二項式定理的靈活應用
2)注意區別二項式系數與項的系數的概念二項式系數：Cnr；項的系數：二項式系數與數字系數的積
3)求二項式系數或項的系數的一種方法是將二項式展開 練習求（x+a)12的展開式中的倒數第4項
的展開式常數項求9
33
xx
求
9
3(
)3
x
x 的展開式的中間兩項
四、歸納小結
1．學生的學習體會與感悟； 2．教師強調：
（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法
（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發現事物規律的重要方法之一，要養成“大膽猜想，嚴謹論證”的良好習慣．
（3）二項式定理每一項中字母a，b的指數和為n，a的指數從n遞減至0同時b的指數由0遞增至n，體現數學的對稱美、和諧美．二項式系數還有哪些規律呢？希望同學們在課下繼續研究、能夠有新的發現． 五、作業P31 課堂練習1.2.3.4
【自評反饋與反思】
1．探究與合作是本節課的亮點
本節課采用探究式教學方式，注重學生的學習狀態和情感體驗，注重教學過程中學生主體地位的體現和主體作用的發揮，尊重學生人格和個性，鼓勵發現、探究與質疑，符合“以學生的發展為本”新課程理念．
本課采用小組合作、探究的方式，學生從特殊情況入手，探究n=1，2，3，4，…時二項展開式的規律，觀察發現二項式定理的基本內容，再推廣到一般．（強調證明，但不要求證明）
這樣，本課做到了以學生為主體，學生通過自主與合作的探究學習，經歷從特殊到一般的學習過程．在接受、掌握知識的同時，學生的學習能力與思維方法得到發展，科學思維修養獲得了提高，合作的意識得到加強．
2．德育滲透恰當，適時適度
通過對二項式定理內容的研究，學生體驗了從特殊到一般發現規律，從一般到特殊的指導實踐的認識事物過程．通過對二項展開式結構特點的觀察，學生體驗到數學公式的對稱美、和諧美．
本課有意識的培養學生的數學應用意識．新課程理念中強調“培養學生的數學應用意識”，本節課正是由實際問題的引入為開始，又以問題的最終解決為結局，數學的應用貫穿整個課堂，突出了“應用意識”的培養，符合新課程理念．
突出數學思維方法與學習方法的指導．數學有兩類猜想，一是歸納（不完全歸納），一是類比．本節課充分體現數學的“觀察――歸納――猜想――證明”的思維方法：首先由學生探究n=1，2，3，…時二項展開式的特點，發現二項展開式的項數、指數及系數的基本規律；然后進一步歸納、猜想出當n為任意正整數時二項展開式的基本規律（強調應該證明，由于知識的局限，以后再證明），這樣體現了從特殊到一般的辯證過程．
3．課后反思
（1）二項式系數的確定，對平行班的學生來說，如果沒有教師的適時，適度的引導，學生如何探究歸納，能否獨立研究出來？
（2）學生交流成果呈現方式問題，本節課中并沒有使用實物展臺，而是將學生的成果通過口述方式呈現在黑板上，若使用實物展臺，由學生上講臺來展示，課堂效果會不會更好？課堂效率是否有提高？另外，投影和黑板板書之間如何更有機的結合？這些都需要做進一步的探討．
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
