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視頻標(biāo)簽：笛卡爾,解析幾何
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第三章閱讀與思考笛卡爾與解析幾何-安徽
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必修二第三章閱讀與思考笛卡爾與解析幾何-安徽省廬江中學(xué)
人教A版必修2第三章閱讀與思考
笛卡爾與解析幾何
一、 教材分析
“笛卡爾與解析幾何”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》人教A版必修二第三章第3.3節(jié)的內(nèi)容，是閱讀與思考的內(nèi)容。在本節(jié)內(nèi)容之前依次是空間幾何體、點(diǎn)線面的位置關(guān)系、直線與方程，它的后面是圓與方程，本節(jié)之前是幾何，本節(jié)之后也是幾何，同時(shí)在必修一中學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了函數(shù)問題，必修四中學(xué)過向量知識，初中已經(jīng)學(xué)過在坐標(biāo)系中研究代數(shù)問題；因此，本節(jié)課的意圖是要學(xué)生明確解析幾何的來龍去脈，同時(shí)要讓學(xué)生意識到幾何與代數(shù)之間是有深刻聯(lián)系的；同時(shí)還要讓學(xué)生意識到解析幾何中的思想方法，始終貫穿在整個(gè)高中階段，在我們的解題或者是生活中都是必不可少的，另外，本節(jié)課的內(nèi)容也為學(xué)生學(xué)習(xí)后面的圓、圓錐曲線和極坐標(biāo)以及大學(xué)所學(xué)的空間解析幾何提供最基本的學(xué)習(xí)策略和解決問題的方向。
本節(jié)閱讀材料“笛卡爾與解析幾何”先分析了笛卡爾創(chuàng)建解析幾何的背景和原因，然后簡單敘述了笛卡爾創(chuàng)建解析幾何的過程，最后說明了解析幾何的意義和它的結(jié)構(gòu)特征。同時(shí)指出費(fèi)馬也是解析幾何創(chuàng)建人之一，因此本節(jié)課的設(shè)計(jì)安排是要讓學(xué)生明確解析幾何的來龍去脈，理解解析幾何中數(shù)形結(jié)合的基本思想，體會(huì)解析幾何創(chuàng)建的意義，知道學(xué)習(xí)解析幾何的基本方法。另外這種設(shè)計(jì)還要讓學(xué)生從系統(tǒng)、全面的角度去了解解析幾何，感受笛卡爾在創(chuàng)建解析幾何中所體現(xiàn)出來的精神品質(zhì)。
本節(jié)閱讀材料是對解析幾何進(jìn)行了宏觀、全面的描述，并沒有突出解析幾何基本的方法—坐標(biāo)法。另外學(xué)生學(xué)習(xí)了本節(jié)閱讀材料，知道笛卡爾創(chuàng)建解析幾何，但是學(xué)生不知道笛卡爾具體是怎么創(chuàng)建解析幾何的。因此，我把笛卡爾創(chuàng)建解析幾何用一道經(jīng)典高考題進(jìn)行了重點(diǎn)突出。
二、 學(xué)情分析
本節(jié)課的授課對象是高二（8）班，根據(jù)合肥地區(qū)的教學(xué)順序安排，學(xué)生已經(jīng)已經(jīng)先后學(xué)習(xí)了必修一，必修四，必修五，必修三，必修二前面章節(jié)，對解析幾何有了一個(gè)宏觀的認(rèn)識，但是對解析幾何的認(rèn)識還不夠深刻，學(xué)生僅僅停留在單純做題的角度，尤其缺乏對解析幾何文化和建立解析幾何過程的了解，更談不上對數(shù)形結(jié)合的思想在解析幾何中深刻的認(rèn)識。因此，本節(jié)課很有必要讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。
本節(jié)閱讀材料雖然比較系統(tǒng)和全面，但是學(xué)生閱讀材料之后并不能對背景和意義產(chǎn)生深刻的認(rèn)識，同時(shí)對笛卡爾創(chuàng)建解析幾何的過程會(huì)產(chǎn)生不清晰的困惑，也不能理解為什么恩格斯對解析幾何有如此高的評價(jià)。
雖然高二學(xué)生具有一定的綜合分析解決問題的能力，但整體的思辨能力還不強(qiáng)。因此，為了解決
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以上全部問題，讓學(xué)生課前上網(wǎng)查閱笛卡爾與解析幾何的相關(guān)資料，補(bǔ)充坐標(biāo)法解決向量問題，課中采用合作討論、探究的教學(xué)方法等，幫助達(dá)到教學(xué)目的。
三、 教學(xué)目標(biāo)
（1）了解笛卡爾創(chuàng)建解析幾何的背景和過程，以及解析幾何的意義和特征；
（2）通過學(xué)生課前準(zhǔn)備，小組合作討論，向量計(jì)算問題的具體解決以及幾何畫板教學(xué)的輔助，讓學(xué)生深刻理解解析幾何的基本思想方法，知道如何去學(xué)好解析幾何；
（3）通過了解解析幾何相關(guān)背景和過程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家們堅(jiān)持不懈、探索創(chuàng)新的精神品質(zhì)，在小組討論與合作的過程中，培養(yǎng)合作交流的意識以及團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。
教學(xué)重點(diǎn)：解析幾何的創(chuàng)建過程以及所蘊(yùn)含的基本思想方法和特征。 教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識解析幾何的創(chuàng)建過程和利用坐標(biāo)法解決幾何問題。
四、教學(xué)方法：小組合作討論、問題展示交流，教師啟發(fā)誘導(dǎo)、歸納總結(jié)。 五、教學(xué)準(zhǔn)備：幾何畫板、多媒體信息技術(shù)、學(xué)生課前查閱、導(dǎo)學(xué)案、固學(xué)案。 六、教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)
教 學(xué) 過 程
師 生 活 動(dòng)
設(shè) 計(jì) 意 圖
創(chuàng)
設(shè)
情 境【活動(dòng)一】創(chuàng)設(shè)情境
1990年上海的一道經(jīng)典高考語文題：你能用一句話（單句）將右邊的圖形通過固定電話，準(zhǔn)確的告訴對方嗎。（請2-3個(gè)學(xué)生回答問題）
學(xué)生：A...; 學(xué)生:B...
教師：（請問你為什么想到要去建立坐標(biāo)系？——因?yàn)樽鴺?biāo)系具有精確性）
當(dāng)年上海的育才中學(xué)，全校只有2個(gè)學(xué)生做對，答案五花八門：這是一個(gè)鋸齒形圖案、E圖案、山字豎起來。標(biāo)準(zhǔn)答案：這是一個(gè)連接（1，1）、（4，1）、
教師提
問，學(xué)生思考，并在學(xué)生展示回答中，引出坐標(biāo)系的概念和笛
卡爾 活動(dòng)一的目
的在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；引出學(xué)做思二的內(nèi)容；揭示本節(jié)課的主題。
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（2，2）、（4，3）、（3，5）、F（4，7）、（1，7）順次構(gòu)成的閉合圖形。
關(guān)鍵是點(diǎn)的位置，也就是坐標(biāo)，請問坐標(biāo)系是誰建立的？（笛卡爾）
老師：恩，很好，這就是我們今天要學(xué)的主題——笛卡爾與解析幾何。
探 究 新 知【活動(dòng)二】笛卡爾的生平故事有哪些？ 教師：（請一個(gè)小組來分享他們課前查閱整理的
笛卡爾的生平資料） 預(yù)設(shè)學(xué)生介紹笛卡爾的情況 （1）笛卡爾
（
Descartes， 1596—1650），法國著
名的哲學(xué)家、數(shù) 學(xué)家、物理學(xué)家，解析
幾何學(xué)奠基人之一。笛卡爾生于法國西部都蘭群拉哈小城的一個(gè)貴族家庭。他8歲時(shí)進(jìn)耶穌學(xué)校拉弗萊什公學(xué)學(xué)習(xí)，由于他自幼聰明好學(xué)，很得到家長和老師的喜歡。1612年，他到巴黎普瓦捷大學(xué)攻讀法律，四年后榮獲博士學(xué)位，不久成為一名律師。1618年他前往荷蘭從軍。服役、
期間，他仍對數(shù)學(xué)感興趣，閱讀了大量有關(guān)數(shù)學(xué)、物理學(xué)的書籍。1621年，笛卡爾脫離了軍隊(duì)，但由于當(dāng)時(shí)正逢內(nèi)亂，他于是就到了丹麥、德國、意大利等地。1628年笛卡爾移居荷蘭，他的前半生基本上都是在荷蘭度過的，他所有著作幾乎全是在荷蘭完成的。后被
瑞典克里斯蒂娜女王請到斯德哥爾摩，直到去世。他的主要著作有：《指導(dǎo)哲理之原則》、《論世界》、《方法論》、《形而上學(xué)的沉思》、《哲學(xué)原理》、《論音樂》、《論巴爾扎克的書簡》等。
笛卡爾童年坎坷不幸，母親在生笛卡爾的時(shí)候難產(chǎn)去世，他也險(xiǎn)些夭折，且從小瘦弱多病，只好躺著
學(xué)生展示交流、分享、體會(huì)。
教師傾聽提問，引出反思。
活動(dòng)二的目的在于了解笛卡爾生平故事；感受笛卡爾優(yōu)秀品質(zhì)——勤奮好學(xué)、堅(jiān)持不懈、勇于探索、獻(xiàn)身真理、貢獻(xiàn)他人、敢于
批判與創(chuàng)新；讓學(xué)生學(xué)會(huì)多種渠道進(jìn)行學(xué)習(xí)；
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看書，因此也養(yǎng)成了躺著思考問題的習(xí)慣。笛卡爾一生專心致志，溫和善良，堅(jiān)持科學(xué)，不迷信宗教而招致教學(xué)會(huì)的迫害，1647年，梵蒂岡把笛卡爾的著作列入“禁書”清單，宣布限期全部焚毀。
由于笛卡爾在數(shù)學(xué)和哲學(xué)上的成就如此巨大，以至于深受全世界正義人民的無限崇敬，他去世17年后，法國政府下令把他的骨灰迎回法國，安葬在潘提翁偉人墓地；1799年又把他的骨灰放在法國歷史博物館，1819年又把骨灰保存在圣日爾曼圣心堂，并在他的墓碑上刻上：笛卡爾，歐洲文藝復(fù)興以來，為人類爭取并保證理性權(quán)利的第一人。
（2）笛卡爾的愛情故事…
反思：我們應(yīng)該向笛卡爾學(xué)習(xí)哪些優(yōu)秀品質(zhì)？
勤奮好學(xué)、堅(jiān)持不懈、勇于探索、獻(xiàn)身真理、貢獻(xiàn)他人、敢于批判與創(chuàng)新等
【活動(dòng)三】笛卡爾創(chuàng)建解析幾何的過程是怎樣的？（請1個(gè)小組學(xué)生分享他們整理的資料）
問題導(dǎo)入：（2015四川高考7）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，
， ，若點(diǎn)M、N滿足關(guān)系 ， ，則 =（ ） A.25 B.15 C.9 D.6 分析：此題標(biāo)準(zhǔn)做法使將 和 用 ， 進(jìn)行表示，進(jìn)而結(jié)合向量運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，表示過程較為繁瑣，容易出錯(cuò)，很多學(xué)生都不熟練，而且本題也不具備建立坐標(biāo)系的條件（垂直）。但是根據(jù)答案的唯一性，可以將平行四邊形特殊化為矩形（和題設(shè)毫無沖突），計(jì)算過程非常便捷。
教師：預(yù)設(shè)學(xué)生介紹創(chuàng)建過程可能：
（1）16世紀(jì)，資本主義經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅猛，各種新興
行業(yè)對科學(xué)技術(shù)提出了全新的要求，如機(jī)械的普遍使
教師
提問，補(bǔ)充，引導(dǎo)分析，追問，學(xué)生展示交流，思考分析，歸納總結(jié)。
學(xué)生獨(dú)立思
活動(dòng)三的目
的在于讓學(xué)生進(jìn)一步了解解析幾何的產(chǎn)生的背景
和過程，并體會(huì)帕波斯問題的解決引發(fā)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在歸納總結(jié)帕波斯的基本步
驟中體會(huì)解析幾何產(chǎn)生的意義和解析幾何的基本思想，讓學(xué)生真真切切的去感受解析幾何的基本思想和創(chuàng)建解析幾何的意義，從
而突出重點(diǎn)，突
破難點(diǎn)。
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用引起了對機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，武器的進(jìn)步刺激了彈道學(xué)的研究，運(yùn)動(dòng)與變化的研究成為自然科學(xué)的中心課題，當(dāng)時(shí)的初等數(shù)學(xué)刻意追求抽象，代數(shù)內(nèi)容缺乏直觀，歐氏幾何缺乏動(dòng)感和想像力，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具對某些運(yùn)動(dòng)問題已經(jīng)無能為力；天文學(xué)的迅猛發(fā)展，如開普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)三大定律、伽利略研究拋射物的運(yùn)動(dòng)軌跡、望遠(yuǎn)鏡顯微鏡中鏡片的研究等，需要對曲線性質(zhì)及新曲線進(jìn)行研究。
預(yù)設(shè)（2）創(chuàng)建可能… 教師補(bǔ)充：
笛卡爾對當(dāng)時(shí)的幾何方法和代數(shù)方法進(jìn)行了比較，分析了它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)，他認(rèn)為歐氏幾何刻意追求抽象和技巧，而代數(shù)在提供廣泛的方法論方面高于歐氏幾何，于是夢寐以求用代數(shù)改造幾何，他曾計(jì)劃寫一本書《思想的指導(dǎo)法則》，書中提出一個(gè)大膽的方案：一切問題都可以化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題都可以化為代數(shù)問題，一切代數(shù)問題都可以化為含有一個(gè)未知數(shù)的方程問題。但不久之后他發(fā)現(xiàn)這個(gè)設(shè)想過于大膽（該書沒有寫完就放下了，他去世后人們將它出版），他的這個(gè)方案雖然失敗了，但確有很多
問題可以用列方程的方法來解。笛卡爾把方程用于幾何，創(chuàng)立了解析幾何。
你能體會(huì)其中的重大的轉(zhuǎn)折意義嗎？
意義：創(chuàng)建坐標(biāo)法、實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問題（數(shù)形結(jié)合）、體現(xiàn)變量的觀點(diǎn)、為研究一類問題提供通法。
笛卡爾就這樣創(chuàng)建了解析幾何，你認(rèn)為什么是解析幾何？
解析幾何：又叫坐標(biāo)幾何，指借助坐標(biāo)系用代數(shù)的方法研究幾何問題的性質(zhì)的一門科。
反思：解析幾何有什么特點(diǎn)？
教師：解析幾何的特點(diǎn)：幾何問題代數(shù)化或代數(shù)
考，小組會(huì)的同學(xué)給不會(huì)的同學(xué)講解，一起合作，探究，交流，討論，展示分享。
學(xué)生
觀察、發(fā)現(xiàn)，總結(jié)。
教師啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識坐標(biāo)法解題的步驟，并帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行簡單的推廣。
讓學(xué)生在此領(lǐng)悟解析幾何的特點(diǎn)和思想
體會(huì)解析幾何解決問題的基
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問題幾何化或代數(shù)化與幾何化統(tǒng)一，基本方法是坐標(biāo)法，核心思想方法是數(shù)形結(jié)合，基本的原理是化歸。
問題解析：將平行四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為矩形（特殊法，答案唯一），以 ， 為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，易得
A(0，0) B（6，0）C（6，4）D（0，4）M(6,3) N(4,4)可得
=（6,3） =（2，-1），輕松計(jì)算出答案9.
剛才就是解析幾何中解決問題的一般方法，你能總結(jié)出來嗎？
（1）觀察幾何直觀圖形； （2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； （3）列出代數(shù)式；
（4）用代數(shù)的式子解釋幾何性質(zhì)；幾何性質(zhì)應(yīng)證代數(shù)式子；
課堂小結(jié)：節(jié)課你學(xué)到了什么？ 教師：（1）了解笛卡爾的生平簡介； （2）笛卡爾坐標(biāo)系的建立過程和原因； （3）解析幾何的基本思想（數(shù)形結(jié)合）、特點(diǎn)（用代數(shù)解釋幾何問題）和學(xué)習(xí)方法（觀察、建系、列式子、用代數(shù)解釋幾何性質(zhì)）
（4）了解析幾何的笛卡爾坐標(biāo)系建立的意義和影響；
恩格斯指出:“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的坐標(biāo)法。有了坐標(biāo)法，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了坐標(biāo)法，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了坐標(biāo)法，微分和積分也就立刻成為必要的了。
【活動(dòng)四】為什么恩格斯對解析幾何有如此高的評
價(jià)？（開放性問題，學(xué)生回答，言之有理即可）
教師:主要的幾個(gè)方面
學(xué)生獨(dú)立思考后小組交流展示。
教師快速畫出其他值的圖形并簡單分析
歸納總結(jié)解析幾何，得出解析幾何的基本思想。
老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)特點(diǎn)。
本步驟和方法。
高考題的設(shè)計(jì)目的在于讓學(xué)生在腦海里建構(gòu)解析
幾何的知識網(wǎng)絡(luò)，體會(huì)解析幾何的基本方法，知道如何更好的去學(xué)習(xí)解析幾何。
培養(yǎng)學(xué)生的反思總結(jié)能力；
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1.坐標(biāo)法的使用，為數(shù)學(xué)中平面到空間、一維到多維提供了一般的研究方法。
2.解析幾何的建立使得數(shù)學(xué)從常量研究進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)。
3.解析幾何的建立為后面的微積分產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。
4. 解析幾何的建立為數(shù)學(xué)問題機(jī)械化解決提供了先決條件，最突出的是我國數(shù)學(xué)家吳文俊的的機(jī)器證明。
笛卡爾，歐洲文藝復(fù)興以來，為人類爭取并保證理性權(quán)利的第一人。
學(xué)生獨(dú)立思考，交流討論，展示結(jié)果，分享方法 學(xué)生總結(jié)
學(xué)生傾聽、觀察、思考，老師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)
學(xué)生思考，交流，展示
對整節(jié)課系統(tǒng)完整的了解，吸取笛卡爾的優(yōu)秀品質(zhì)。
理解體會(huì)恩格斯對解析幾何
高度評價(jià)的意義；讓學(xué)生去了解解析幾何的后續(xù)發(fā)展，拓寬學(xué)
生的知識面和思維空間。
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學(xué)生反思總結(jié)，老師補(bǔ)充完善
教師ppt展示并講解，
學(xué)生傾聽領(lǐng)悟
作
作作 課堂練習(xí) 1、下面哪些是笛卡爾的著作：（ ）
A《指導(dǎo)哲理之原則》、B《論世界》、 C《方法論》、D《形而上學(xué)的沉思》、 E《哲學(xué)原理》F《論音樂》、 G《論巴爾扎克的書簡》。
2、解析幾何誕生的時(shí)間和代表著作是( ) A、1637年，《幾何學(xué)》 B、1660年，《論世界》 C、1701年，《規(guī)則》 D、1644年，《哲學(xué)原理》
3、（備用）用解析法證明：若一個(gè)四邊形的兩條對角線的平方和等于四邊的平方和，則這個(gè)四邊形是學(xué)生獨(dú)立思
考，展示糾正，教師補(bǔ)充
學(xué)生思考，老師課后督促指導(dǎo)。
目的在于 1.反饋教學(xué)
目標(biāo)達(dá)成情況； 2.使學(xué)生會(huì)簡單的遷移應(yīng)用，體會(huì)基本方法坐標(biāo)法。 3.培養(yǎng)學(xué)生利用不同渠道去了解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，拓
展學(xué)生的知識面，豐富學(xué)生的精神世界。
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業(yè)布置
外延
伸閱 平行四邊形。
課后練習(xí)
1、請同學(xué)們用幾何坐標(biāo)法解決相應(yīng)的向量問題。
2、閱讀《笛卡爾的錯(cuò)誤》、《笛卡爾之夢》等著作了解解析幾何的后續(xù)發(fā)展，寫出關(guān)于解析幾何的相關(guān)論文。
3、至少訪問一個(gè)笛卡爾與坐標(biāo)系的相關(guān)網(wǎng)站 4、有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)查閱相關(guān)網(wǎng)站和書。 為不同小組加上不同的分?jǐn)?shù)。結(jié)果統(tǒng)計(jì)：第二、四小
組加上15分，其他
四個(gè)小組
各加十分。課代表統(tǒng)計(jì)并整理后續(xù)測評使用。
板書設(shè)計(jì)
§笛卡爾與解析幾何 一、笛卡爾生平介紹——優(yōu)秀品質(zhì)；
二、解析幾何創(chuàng)建過程； 例題講解區(qū)： 三、一道經(jīng)典高考題； 四、解析幾何的特點(diǎn)； 五、如何學(xué)習(xí)解析幾何； 六、總結(jié)反思；
課
后
反
本堂課特點(diǎn)如下：
一、本節(jié)課的編排從笛卡爾生平介紹，及解析幾何創(chuàng)建的原因、過程和意義出發(fā)，
并重點(diǎn)剖析解析幾何產(chǎn)生的過程，符合數(shù)學(xué)閱讀材料的教學(xué)過程。 二、本節(jié)課作為閱讀材料課，把情感的體驗(yàn)放在第一位，并在課堂中充分滲透了
數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生深刻感受到了數(shù)學(xué)的魅力，受到了意志、創(chuàng)新等品質(zhì)的感染。 三、設(shè)計(jì)中用向量的高考題的特殊法和坐標(biāo)法突出了解析幾何的基本思想和基本
法方法，讓學(xué)生深刻的認(rèn)識到坐標(biāo)法的優(yōu)越，數(shù)形結(jié)合的重要，轉(zhuǎn)化思想的不可少。 四、以問題作引導(dǎo)，讓學(xué)生小組合作，探究，思考，在小組合作交流討論中，實(shí)
現(xiàn)學(xué)生在“做中學(xué)，思中學(xué)”，而且整個(gè)課堂氣氛非常活躍，不僅培養(yǎng)了自主學(xué)習(xí)，
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思合作交流的意識，還強(qiáng)化了學(xué)生的主體地位，充分體現(xiàn)了“以人為本”的課改理念。 本節(jié)課也有一定的不足，對笛卡爾和解析幾何問題的深度和廣度還不夠，在以后的教學(xué)過程中，我會(huì)多學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)用更加?jì)故斓闹腔蹃硖幚磉@個(gè)問題。
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