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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教版高中數學選修2-3第一章《1.3.1二項式定理》（第一課時）浙江省 - 寧波
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人教版高中數學選修2-3第一章《1.3.1二項式定理》（第一課時）浙江省 - 寧波
二項式定理（第一課時）教案
一、教材分析
《二項式定理》是高中數學人教版A版選修2-3第一章《計數原理》的第三節．在學科教學指導意見中，本節內容分二課時．
１.在多項式的運算中，把二項式展開成單項式之和的公式，即二項式定理有著非常重要的地位，它是帶領我們進入微分學領域大門的一把金鑰匙.
２.二項式定理是代數乘法公式的推廣，這節課的內容安排在計數原理之后進行學習，一方面是因為它的證明要用到計數原理，可以把它作為計數原理的一個應用，另一方面也為學習隨機變量及其分布作準備.
３.由于二項式系數是一些特殊的組合數，由二項式定理可導出一些組合數的恒等式，這對深化組合數的認識有好處．
４.運用二項式定理也可以解決如整除、近似計算、不等式證明等數學問題．
二、教學目標
1.知識與技能：
(1)理解二項式定理是代數乘法公式的推廣.
(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理. 2.過程與方法：
通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概 括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式． 3. 情感、態度與價值觀：
通過對中西方數學家在二項式定理研究的進程來增強學生的學習興趣， 培養學生的自主探究意思，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹．
三、教學重點、難點
重點：用計數原理分析3)(ba的展開式，得到二項式定理．
難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時
各項系數的規律.
四、教學過程
（一）提出問題，引入課題
引入：借助數學史的知識引入二項式和二項式定理 【設計意圖】通過對中西方數學家在二項式定理研究的進程來增強學生的學習興趣，直接引出課題．激發學生的求知欲，明確這節課要解決的問題. （二）引導探究，發現規律 1、多項式乘法的再認識．
2
問題1： ))((2121bbaa的展開式是什么？
展開式有幾項，每一項是怎樣構成的？
問題2：))()((212121ccbbaa每一項是怎樣構成的，展開式有幾項？ 【設計意圖】引導學生運用計數原理來解決項數問題，明確每一項的特征，同時也為后續的學習作準備. 2、3)(ba展開式的再認識
探究1：不展開3)(ba，能否回答下列問題（請以兩人為一小組進行討論）： (1) 合并同類項之前展開式有多少項？ (2) 展開式中有哪些項？ (3) 各項的系數為多少？
(4) 從上述三個問題，你能否得出3)(ba的展開式？
探究2：仿照上述過程，請你推導4)(ba的展開式.
【設計意圖】通過幾個問題的層層遞進，引導學生用計數原理對3)(ba的展開式進行再思考，分析各項的形式、項的個數，這也為推導nba)(的展開式提供了一種方法，使學生在后續的學習過程中有“法”可依． (三) 形成定理，說理證明
探究3：仿照上述過程，請你推導nba)(的展開式．
)()(*110NnbCbaCbaCaCban
nnkknknnnnnn——— 二項式定理
證明：nba)(是n個)(ba相乘，每個)(ba在相乘時，有兩種選擇，選a或b，由分步計數原理可知展開式共有n2項（包括同類項），其中每一項都是kknba
),1,0(nk的形式，對于每一項kknba，它是由k個)(ba選了b，n－k個)
(ba選了a得到的，它出現的次數相當于從n個)(ba中取k個b的組合數knC，將
它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理．
【設計意圖】通過仿照3)(ba、4)(ba展開式的探究方法，由學生類比得出nba)(的展開式．二項式定理的證明采用“說理”的方法，從計數原理的角度對展開過程進行分析，概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數，從而得出用組合數表示的的展開式．
3
(四) 熟悉定理，簡單應用
二項式定理的公式特征：（由學生歸納，讓學生熟悉公式） （1）項數：共有1n項.
（2）次數：字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n． 各項的次數都等于n．
（3）二項式系數: 依次為nnknnnnCCCCC,,,,,,210，這里),,1,0(nkCk
n稱為
二項式系數.
（4）二項展開式的通項: 式中的kknknbaC叫做二項展開式的通項. 用1kT表示,即通項為展開式的第1k項: 1kT=kknknbaC
牛刀小試： （1）nx)1( （2）nba)(
（3）化簡
14161411xxxx432
（）（）（）（） 例1 求
1
2xx
4（）的展開式.
思考1：展開式的第2項的系數是多少？ 思考2：展開式的第３項的二項式系數是多少？ 思考3：你能否直接求出展開式的第３項？
【設計意圖】熟悉二項展開式，培養學生的運算能力． (五) 課堂小結，課后作業
由學生歸納本課學習的內容及體現的數學思想.
1. 一個公式： )()(*110NnbCbaCbaCaCban
nnkknknnnnnn 2. 兩種方法：1.從特殊到一般的研究方法. 2.用計數原理分析項和系數. 鞏固型作業：課本36頁習題1.3 A組 1、2、3
思維拓展型作業：二項式系數n
n
knnnnCCCCC,,,,,,210有何性質． 【設計意圖】 (1)通過小結使學生明確本節課的知識。
(2)適當的作業有助于進一步鞏固新知。
(3)思維拓展型作業鼓勵學生探究二項式系數的性質，為后面“楊 輝三角的學習作好鋪墊．
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
