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視頻標(biāo)簽：祖暅原理
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》河北
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高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》河北定州中學(xué)
“祖暅原理與柱、錐、臺(tái)、球體的體積”的教學(xué)設(shè)計(jì)
教材：人教版高中數(shù)學(xué)必修2第二章
一．教材內(nèi)容分析：
高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)文化,要求“數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能有機(jī)地結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容,選擇介紹一些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物”.祖暅原理是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的成就.為了使學(xué)生受到優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的熏陶、培養(yǎng)學(xué)生的探究能力,高中數(shù)學(xué)新教材安排了“探究與發(fā)現(xiàn)祖原理與柱體、錐體、球體的體積”這樣一個(gè)研究性專(zhuān)題.本課教學(xué)的主要內(nèi)容是通過(guò)“祖暅原理”推導(dǎo)柱、錐、臺(tái)體及球的體積計(jì)算公式及應(yīng)用。由于學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式已經(jīng)比較熟悉，因此教學(xué)時(shí)可結(jié)合長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式及祖暅原理類(lèi)比推導(dǎo)柱體的體積計(jì)算公式，并通過(guò)分析柱體、錐體、臺(tái)體空間結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受柱
體、錐體、臺(tái)體、球體的體積之間的關(guān)系，體會(huì)“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。 二、學(xué)生學(xué)情分析
對(duì)于高一的學(xué)生，在初中階段學(xué)習(xí)過(guò)正方體,長(zhǎng)方體的體積公式,在前兩節(jié)中學(xué)習(xí)了棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體和圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等旋轉(zhuǎn)體，對(duì)空間幾何體有了初步的認(rèn)識(shí)。具備了初步的空間想象能力。另外，經(jīng)過(guò)一年的學(xué)習(xí)，小組合作探究的學(xué)習(xí)模式在本班已經(jīng)比較成熟，不足之處是缺乏對(duì)公式的推導(dǎo)能力和探究能力。 三、教學(xué)目標(biāo)：
1、知識(shí)與技能：
（1）、了解錐體的體積可以通過(guò)柱體的體積求得，臺(tái)體的體積可以通過(guò)錐體的體積獲得； （2）、了解球的體積公式；
（3）、理解球的面積公式及探求球面積的“積分”思想，通過(guò)“準(zhǔn)棱錐”的介紹，讓學(xué)生體會(huì)“無(wú)窮”、“極限”的思想；
（4）、能運(yùn)用公式求解有關(guān)體積計(jì)算問(wèn)題。
2、過(guò)程與方法：通過(guò)探究、思考、抽象，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、理性思維能力以及觀察能力。
3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀：
（1）、通過(guò)“祖暅原理”的介紹培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情和民族自豪感；
（2）、通過(guò)柱、錐、臺(tái)體體積公式的推導(dǎo)，進(jìn)一步使學(xué)生明確數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈，體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性以及數(shù)學(xué)中的和諧美。 四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1、教學(xué)重點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球體的體積公式推導(dǎo)及其應(yīng)用；
2、教學(xué)難點(diǎn)：（1）、柱、錐、臺(tái)體積之間的聯(lián)系； （2）、球體積與表面積的推導(dǎo)過(guò)程； 五、教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件，實(shí)物模型
六、教學(xué)過(guò)程：
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
設(shè)計(jì)意圖 [問(wèn)題引入]
金字塔，水立方圖片展示，引出本節(jié)知識(shí)內(nèi)容。 [問(wèn)題一]：如果一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是a、b、c，那么它的體積是什么？
能否用另外一種形式來(lái)表示長(zhǎng)方體的體積呢？
[問(wèn)題二]：桌面上放有一堆書(shū)，改變一下形狀，底面積和高有沒(méi)有改變？
如果用一個(gè)平行于水平面的平面去截這堆書(shū)，這些水平截面的面積有什么關(guān)系？ 體積有沒(méi)有改變？
猜想：滿(mǎn)足怎樣條件的兩個(gè)幾何體的體積相等？
[介紹“祖暅原理”] （板書(shū)）
我國(guó)早在公元前5-6世紀(jì)，祖沖之的兒子祖暅就提出一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，這里“冪”就是指水平截面的面積，“勢(shì)”指高，這句話(huà)的意思就是說(shuō)：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等。祖暅不僅首次明確提出這一原理，還成功的將其應(yīng)用于球體積的推算，我們把這條原理稱(chēng)為“祖暅原理”。祖暅原理在西方文獻(xiàn)中稱(chēng)為“卡瓦列利原理”，它是由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利提出的，比祖暅提出要晚1100多年。（情感）
長(zhǎng)方體的體積公式和祖暅原理是計(jì)算其他幾何體的基礎(chǔ)，下面我們就以這兩個(gè)知識(shí)作為已知的事實(shí)來(lái)探究柱體、錐體、臺(tái)體和球體的體積。（板書(shū)）
[合作探究]
探究一、柱體的體積計(jì)算公式 [問(wèn)題三]：兩個(gè)底面積相等、高也相等的棱柱（圓
（討論回答）沒(méi)有
處處相等 沒(méi)有
思考，嘗試回答）
1、回顧長(zhǎng)方體的體積公式，為后面求柱體的體積作好鋪墊；
實(shí)物演示，讓學(xué)生直觀感知 2、引出“祖暅原理”，并通過(guò)介紹“祖暅原理”，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情和民族自豪感，也為求空間幾何體體積作好鋪墊 使用“祖暅原理”
柱）的體積之間有怎樣的關(guān)系呢？為什么？
（教師演示棱柱、圓柱的形成過(guò)程）
[問(wèn)題四]：長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式能否推廣到一般的棱柱（圓柱）體積的計(jì)算呢？
[小結(jié)1]、柱體的體積計(jì)算公式：
[說(shuō)明]：對(duì)直棱柱而言，高就等于側(cè)棱長(zhǎng)，斜棱柱則不是。
探究二、錐體的體積計(jì)算公式 [問(wèn)題五]：兩個(gè)底面積相等、高也相等的棱錐（圓錐）的體積之間有怎樣的關(guān)系呢？為什么？ （演示水平截面的特征）
【問(wèn)題六】：你能找出三棱錐和與它同底等高的三棱柱體積之間的聯(lián)系嗎？
（演示把一個(gè)三棱柱分成三個(gè)體積相等的棱錐的過(guò)程，引出棱錐的體積計(jì)算公式）
[小結(jié)2]：錐體的體積計(jì)算公式：
探究三、臺(tái)體體積的計(jì)算公式
[問(wèn)題7]：你能根據(jù)錐體的體積計(jì)算公式推導(dǎo)臺(tái)體的體積計(jì)算公式嗎？ （引導(dǎo)） [小結(jié)3]：
（學(xué)生討論回答）
棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向平移得到，因此，水平截面與底面是全等的多邊形（圓），當(dāng)?shù)酌娣e相等時(shí)，水平截面的面積也相等，符合祖暅原理，因此他們的體積相等。 可以，只要使長(zhǎng)方體的高與底面積分別與他們相等就可以了。
（學(xué)生討論）
符合祖暅原理，所以他們的體積相等。
（學(xué)生討論，得出關(guān)系）
小組合作探究
學(xué)生代表展示討論結(jié)果 解釋體積的關(guān)系
幾何畫(huà)板演示,形象直觀的演示截面面積相等
體現(xiàn)從特殊到一般的思想方法
幾何畫(huà)板演示,形象直觀的演示截面面積相等
體現(xiàn)柱體和錐體體積之間的聯(lián)系
[問(wèn)題8]：柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？
（當(dāng)臺(tái)體的上底面不斷變大，趨向下底面時(shí)，幾何體就逐漸趨向柱體，當(dāng)面積相等時(shí)，量變
引起質(zhì)變，幾何體就成為了柱體，在公式上反映了他們之間的內(nèi)在統(tǒng)一；臺(tái)體到錐體同樣可
得）
學(xué)以致用
例1：如圖，在長(zhǎng)方體 DCBAABCD中，截下一個(gè)棱錐 DDAC,求棱錐的體積與剩余部分的體積之比。
探究四、球體積的計(jì)算公式 [問(wèn)題9]：一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的半球的體積有什么關(guān)系？
（引導(dǎo)注意水平截面的形狀，怎樣計(jì)算水平截面的面積） 你能從中得到球體積的計(jì)算公式嗎？ [小結(jié)4]：
[學(xué)以致用] 例、下圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖(單位:cm),試講出它由那些幾何體構(gòu)成,并計(jì)算這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積(精確到0.01cm)。
（生討論，得出如下結(jié)論）
學(xué)生練習(xí),板演,展示學(xué)習(xí)效果
水平截面分別是圓環(huán)和小圓
，
所以
體現(xiàn)錐體和臺(tái)體體積之間的聯(lián)系
體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧與統(tǒng)一，體會(huì)數(shù)學(xué)美以及極限思想
練習(xí)鞏固柱體,錐體的提及體積公式以及割補(bǔ)思想,換底思想,檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果
提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力
所以這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積為
[回顧反思]
1、本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？
2、還記得我們推導(dǎo)這些公式的原理嗎？
祖暅從身邊的數(shù)學(xué)中得到啟發(fā)，通過(guò)長(zhǎng)期的觀察、思考、實(shí)踐，取得了重大的成就。
只要你多留心身邊的數(shù)學(xué)，只要你敢于大膽的去探究、嘗試，你必定會(huì)獲得巨大的收
反思提升：
多面體和圓柱，圓錐，圓臺(tái)的表面積我們可以用展開(kāi)幾何體的方式得到，球能展開(kāi)嗎？你能否用我們今天學(xué)到的球的體積公式得到球的表面積公式呢？
畫(huà)出獎(jiǎng)杯的水平直觀圖
并計(jì)算體積
柱體、錐體、臺(tái)體和球體的體積計(jì)算公式
化歸思想、極限思想.
課下思考,解決問(wèn)題
組合體的體積計(jì)算
總合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題
回顧本節(jié)課內(nèi)容，鞏固知識(shí)，啟發(fā)學(xué)生貼近生活，留心身邊的數(shù)學(xué)問(wèn)題
拓展知識(shí),開(kāi)拓思維
七、板書(shū)設(shè)計(jì)：
空間幾何體的體積
祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異
視頻來(lái)源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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