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視頻標簽：祖暅原理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》黑龍江
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高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》黑龍江
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》教學設計
一、 教學目標：
知識與技能：理解祖暅原理的含義，理解運用祖暅原理推導柱體、錐體、球體體積的思路與方法。掌握柱體、錐體、球體的體積公式并能運用這些公式解決相關問題。
過程與方法：通過實物展示、動畫展示和學生動手操作實驗，引導學生分組合作、探究學習。學生經歷觀察、猜想、證明的過程，充分體會到祖暅原理的含義及應用。提高學生歸納推理能力和形成用割補法解題的數學思想方法。 情感、態度、價值觀：學生通過了解祖暅和他父親祖沖之在數學方面的偉大貢獻，激發了他們學習數學的興趣與熱情，弘揚了民族自尊心與自豪感。 二、 教學重、難點： 教學重點：利用祖暅原理探究柱體、錐體、球體的體積及運用體積公共解決問題。 教學難點：利用祖暅原理探究球體積公式的猜想及證明。 三、 教學方法及教具準備：
教學方法：探究討論法、啟發引導式、數學實驗法
教具準備：電子白版、PPT、圓柱、半球、圓錐模型，水、豆粒等。 四、 教材分析：
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》是新課標2003人教A版高中數學必修二第一章《空間幾何體》第三節后面的探究與發現內容。是在學生們已經認識了簡單幾何體、組合體、三視圖及知道了柱體、錐體、球體體積公式的基礎上來學習研究的。本節內容主要是通過數學實驗法，利用祖暅原理來研究柱體、錐體、球體的體積。本節內容的設計，一方面讓學生通過了解祖暅這位偉大的數學家，對祖暅原理產生濃厚的探究興趣；另一方面通過本節內容的學習，學生們不僅可以掌握棱柱、棱錐、球的體積公式，還可以利用祖暅原理求一些不規則幾何體的體積，可以進一步提高學生們的空間想象能力，也激發了學生強烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。 五、 學情分析：
學習本節內容時學生已經進入高一下學期了，而且這部分學生也是基礎較好的學生，他們思維敏捷、善于觀察，養成了從多角度思考問題的好習慣，有較強的計算能力和邏輯推理能力。在將近一年的高中數學學習中，學生們已經基本形成了觀察、猜想、推理、實驗、證明、進而得出結論的數學思想方法與過程，有較強的動手操作能力，他們善于利用集體的智慧來解決問題。在本課的數學學習中，通過實物展示、動畫演示、動手實驗等一系列比較形象直觀的過程，讓學生們產生了濃厚的學習興趣和探索欲望，激勵他們主動分組討論、合作探究，完成了由觀察到猜想、由猜想到實驗、由實驗到推理、由推理到證明這一系列的過程�？梢源蟠筇岣邔W生們的歸納推理能力和實踐操作能力。學生們也在整個學習過程中進一步體會到割補法和歸納推理的數學思想方法，這也為今后他們數學能力的提升奠定了基礎。 六、 教學過程：
（一）創設情境、導入新課：首先老師請同學們欣賞兩張圖片，看看大家認不認
識這兩個人，第一張是祖沖之，第二張是祖暅，（學生們都認識祖沖之，
而且對祖沖之在數學方面的貢獻也有一定的了解，而卻不認識祖暅），那就讓我們一起來認識一下這位偉大的數學家。出示祖暅簡介：祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣人（今河北省淶源縣人），南北朝時代的偉大科學家。祖暅在數學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出了體積的計算原理。祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”。“勢”即是高，“冪”即是面積。（引出課題） （二）合作探究、推進新課：
1、祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”。找一名同學說一下對這句話的理
解，再結合動畫演示，說明兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等。
2、分析祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個
平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。
3、祖暅原理的提出要比其他國家的數學家早一千多年，在歐洲直到17世紀，
才有意大利數學家卡瓦列里提出了上述結論。祖沖之父子是我們中華民族的驕傲和自豪。
4、找學生舉一下身邊的實例說明祖暅原理的應用。 5、探究一：祖暅原理與柱體的體積 設有底面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使它們的下底面在同一平面內。你能得到什么結論？
由學生歸納總結：
由祖暅原理可得：V柱體=Sh 其中S 是柱體的底面積， h是柱體的高。 例1: 例: 如圖，是某幾何體的三視圖。由祖暅原理知：“冪勢既同，則積不容異”。已知某不規則幾何體與如圖所示的幾何體滿足“冪勢同”，求該不規則幾何體的體積。(圖中所給長度均為厘米)
解： 所以某不規則幾何體的體積是以8-π立方厘米 6、探究二：祖暅原理與錐體的體積
設有底面積都等于S，高都等于h的兩個錐體（如圖：一個棱錐和一個
-8212
1
-2-23半個圓柱正方體VVV
A'
ABCC
C'B'A'A'BB'CA'AB
B'C'C
圓錐），使
它們的下底面在同一平面內。你能得到什么結論？（等底面積等高的兩個錐體的體積相等）
思考：如何把一個三棱柱分割成三個等體積的棱錐？
學生分組討論如何分割并且證明分割出的三個錐體的體積相等。
由學生歸納得出錐體的體積公式：結論：對于一個任意的錐體，設它的底面
積為S，高為h，那么它的體積應等于一個底面積為S，高為h的三棱錐的體積。即
例2：例：三個直角三角形如圖放置，它們圍繞固定直線旋轉一周形成幾何體，求出該幾何體的體積（圖中的長度單位是厘米）。
sh
V31錐體
7、探究三：祖暅原理與球體的體積
根據球的對稱性，先來探究半球的體積。
思考：如何找到一個與半球等體積的“替代品”呢？
學生猜想并分組實驗，動手操作后，分組展示自己的實驗結果。
通過學生們的動手操作和觀察動畫演示，學生們找到了與半球等體積的“替代品”是圓柱，并且猜測：半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積。 8、學生分組討論后得出半球體積公式的推導與證明：
平行于大圓且與大圓的距離為l的平面截半球所得圓面的半徑2
2lRr，于
是截面面積2222221)(SlRlRrS由此可以得出
V半球=V圓柱-V圓錐=3
R-331R=332R，所以V球=3
34R
例3： 一個正四面體的所有棱長都是 厘米，四個頂點都在同一球面上，求此球的體積。
（找學生到黑板上來做）
2
（三）課堂練習、鞏固強化
1、一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為a，則球的體積是（ ）
2、某幾何體的三視圖如圖，求該幾何體的體積。(圖中所給數字單位為厘米)
（四）暢所欲言、課堂小結
1 總結一下你在本節課中獲得的知識和學習心得 祖暅原理
柱、錐、球的體積公式 學生感想
（五）布置作業
1、三棱錐P-ABC三條側棱兩兩互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的體積。
2、三棱錐P-ABC中側棱PA長為3且垂直于底面ABC，底面是邊長為2的正三角形，求這個三棱錐外接球的體積。 （六）課后探究：
1、利用祖暅原理探究臺體的體積公式。 2、球、柱、臺、錐體體積之間的關系。
七、 教學反思：本節課通過展示祖沖之父子的圖片引出課題，通過學生們對
祖沖之的了解，再加上對祖暅的個人簡介，學生們油然而生了對他們父子的敬仰之情，進而產生了強烈的民族自豪感。也對本課內容產生了濃厚的學習興趣，再利用動畫演示和學生們的實物展示，使學生們對祖暅原理有了進一步的了解與認識，并激發了他們強烈的探索愿望。本節課是利用祖暅原理探究和推導柱體、錐體、球體的體積公式，通過實物展示和動畫演示相結合，使學生們對祖暅原理有了初步的了解和認識。課堂上學生們通過分組討論、合作探究、實驗操作一氣呵成，完成了對柱體、錐體、球體體積公式的推導，尤其是通過數學實驗，學生不僅從感觀上理解了球的體積，更是加強了對球體積公式的記憶和動用，也進一步提高了他們的動手操作能力和小組合作探究能力。在整個教學過程中，學生們都全神貫注，積極參予，學習的熱情和探索的樂趣在本節課中充分展現出來，美中不足的是在利用柱體體積推導錐體體積的過程中，學生們討論不夠熱烈，有些學生來比較拘緊，課堂氣氛不太活躍。但是從整體上看學生們在教師的引導下思維活躍，參予度高，表現非常優秀，較好地突出了本節課的教學重點，突破了教學難點。
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》教材及學情分析
撫遠一中：張坤
教材分析：
《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》是新課標2003人教A版高中數學必修二第一章《空間幾何體》第三節后面的探究與發現內容。是在學生們已經認識了簡單幾何體、組合體、三視圖及知道了柱體、錐體、球體體積公式的基礎上來學習研究的。本節內容主要是通過數學實驗法，利用祖暅原理來研究柱體、錐體、球體的體積。本節內容的設計，一方面讓學生通過了解祖暅這位偉大的數學家，對祖暅原理產生濃厚的探究興趣；另一方面通過本節內容的學習，學生們不僅可以掌握棱柱、棱錐、球的體積公式，還可以利用祖暅原理求一些不規則幾何體的體積，可以進一步提高學生們的空間想象能力，也激發了學生強烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。
學情分析：
學習本節內容時學生已經進入高一下學期了，而且這部分學生也是基礎較好的學生，他們思維敏捷、善于觀察，養成了從多角度思考問題的好習慣，有較強的計算能力和邏輯推理能力。在將近一年的高中數學學習中，學生們已經基本形成了觀察、猜想、推理、實驗、證明、進而得出結論的數學思想方法與過程，有較強的動手操作能力，他們善于利用集體的智慧來解決問題。在本課的數學學習中，通過實物展示、動畫演示、動手實驗等一系列比較形象直觀的過程，讓學生們產生了濃厚的學習興趣和探索欲望，激勵他們主動分組討論、合作探究，完成了由觀察到猜想、由猜想到實驗、由實驗到推理、由推理到證明這一系列的過程�？梢源蟠筇岣邔W生們的歸納推理能力和實踐操作能力。學生們也在整個學習過程中進一步體會到割補法和歸納推理的數學思想方法，這也為今后他們數學能力的提升奠定了基礎。
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