視頻標(biāo)簽:祖暅原理,球體的表面積
所屬欄目:高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題:人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第一章《1.3祖暅原理與柱體、錐體、球體的表面積和體積》建設(shè)
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人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第一章《1.3祖暅原理與柱體、錐體、球體的表面積和體積》建設(shè)兵團(tuán)省級(jí)優(yōu)課
1.3祖暅原理與柱體、錐體、球體的表面積和體積
一、教材分析
(1)教材的地位與作用:本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學(xué)2第一章空間幾何體第3節(jié)空間幾何體的表面積與體積的第1課時(shí)柱體、錐體、球體的表面積與體積,本節(jié)課在公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比、化歸等思想方法,都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
(2)從知識(shí)的體系來(lái)看:祖暅原理與柱體、錐體、球體的表面積和體積,是在學(xué)生已從結(jié)構(gòu)特征和視圖兩個(gè)方面感性認(rèn)識(shí)空間幾何體的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步從度量的角度來(lái)認(rèn)識(shí)空間幾何體,它屬于立體幾何入門的內(nèi)容,所以教學(xué)的目的是使學(xué)生了解空間幾何體的表面積的計(jì)算方法,并且和學(xué)生一起探究祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積公式,進(jìn)而能進(jìn)一步計(jì)算簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積。 二、學(xué)情分析
(1)學(xué)生的已有的知識(shí)結(jié)構(gòu):掌握了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,空間幾何體的三視圖和直觀圖。
(2)教學(xué)對(duì)象:高一的學(xué)生,學(xué)習(xí)興趣比較濃,表現(xiàn)欲較強(qiáng), 邏輯思維能力也初步形成,具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,但由于年齡的原因,思維盡管活躍、敏捷,卻缺乏冷靜、深刻,因而片面、不夠嚴(yán)謹(jǐn)。
(3)從學(xué)生的認(rèn)知角度來(lái)看:在學(xué)習(xí)柱體、錐體、球體的表面積時(shí),大部分學(xué)生易于接受,而且掌握的比較好,但是在探究祖暅原理與柱
體、錐體的體積公式時(shí),學(xué)生學(xué)起來(lái)比較吃力。 三、課時(shí)分配
本節(jié)內(nèi)容用1課時(shí)的時(shí)間完成,主要講解柱體、錐體、球體的表面積,并且探究祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積公式. 四、教學(xué)目標(biāo)
(1)知識(shí)與技能————理解并掌握柱體、錐體、球體的表面積與體積的推導(dǎo)過(guò)程,在此基礎(chǔ)上,并能理解祖暅原理的精髓。 (2)過(guò)程與方法————通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn),向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力。
(3)情感,態(tài)度與價(jià)值觀————培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神,從探索中獲得成功的體驗(yàn),感受數(shù)學(xué)的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡(jiǎn)潔美。 五、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
教學(xué)重點(diǎn):公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用。 教學(xué)難點(diǎn):探究祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積公式。 六、教法與學(xué)法分析
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提,是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為:“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的,而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。”這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是:知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的,而是學(xué)生在一定的情境中,運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),并通過(guò)與他人(在
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教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作,主動(dòng)建構(gòu)而獲得的,建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心,視學(xué)生為認(rèn)知的主體,教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。因此,本節(jié)課采用了啟發(fā)式和探究式相結(jié)合的教學(xué)方法,讓老師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主體性有機(jī)結(jié)合,使學(xué)生能夠愉快地自覺(jué)學(xué)習(xí),通過(guò)學(xué)生自己觀察、分析、探索等步驟,自己發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法,比較論證后得到一般性結(jié)論,形成完整的數(shù)學(xué)模型,再運(yùn)用所得理論和方法去解決問(wèn)題。一句話: 還課堂以生命力,還學(xué)生以活力。 七、課堂設(shè)計(jì) (一)創(chuàng)設(shè)情境
[利用投影展示] 水立方與金字塔圖片。
提出問(wèn)題:同學(xué)們,它們的表面積怎樣計(jì)算呢?
[設(shè)計(jì)意圖:在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性.] 小試牛刀
已知水立方的長(zhǎng),寬,高分別為180m, 180m,30m試求它的表面積. 叫學(xué)生獨(dú)立回答 301804180180s表
[設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)給出具體的數(shù)值,讓學(xué)生再回顧一下長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算公式,并且注意在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要具體問(wèn)題具體分析。] (二)導(dǎo)入新課
探究1:棱柱、棱錐、球體的表面積
問(wèn)題:在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)了長(zhǎng)方體的表面積,你知道長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的
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面積與其表面積的關(guān)系嗎?
結(jié)論:長(zhǎng)方體是 6個(gè)矩形 圍成的多面體,其表面積就是 各個(gè)面的面積之和 ,也就是展開(kāi)圖的面積.
教師引導(dǎo)學(xué)生得出:要求一個(gè)幾何體的表面積,首先將它展成平面圖形,進(jìn)而去求平面圖形的面積。
[設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生將長(zhǎng)方體的表面積與它展開(kāi)圖的面積聯(lián)系在一起,并且引導(dǎo)學(xué)生得出求一般幾何體的表面積的方法。] 棱錐的表面積
新知1:棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是多面體,它們的表面積就是其 展開(kāi)圖的面積。
[設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生知道在求多面體的表面積時(shí),就是將各個(gè)面的面積加起來(lái)。]
師問(wèn):同學(xué)們能不能幫老師解決金字塔的問(wèn)題?
練一練、埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580年,其形狀為正四棱錐.金字塔高146.6米,底面邊長(zhǎng)230.4米. 這座金字塔的表面積是多少?
平面
側(cè)面展開(kāi)
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(只列式不計(jì)算)
由題意可得:AC=146.6m BC=2.1154.2302
1m AB=226.1462.115m
所以4.2302
1
4表S 226.1462.1152m
提出問(wèn)題后,先讓學(xué)生小組討論,然后選派一名代表給大家講解,之后教師給以點(diǎn)評(píng)。其中,教師特別強(qiáng)調(diào),AC叫做棱錐的體高,AB叫做棱錐的斜高。
[設(shè)計(jì)意圖:在讓學(xué)生學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí)的同時(shí),也要注意具體問(wèn)題要具體分析。]
師問(wèn):同學(xué)們,對(duì)于旋轉(zhuǎn)體的表面積們應(yīng)該如何去計(jì)算呢?我們先來(lái)探究圓柱體的表面積。
探究2:圓柱、圓錐、球體的表面積
問(wèn)題:根據(jù)圓柱、圓錐的幾何特征,它們的側(cè)面展開(kāi)圖是什么圖形?它們的表面積等于什么?你能推導(dǎo)它們表面積的計(jì)算公式嗎?
新知2:(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,則它的表面積等于 側(cè)面積+底面積,即 圓柱表S= 22r 2rl . (2)設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,則它的表面積等于 側(cè)面積
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+底面積 ,即圓錐表S= 2r rl . [設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)提問(wèn)的方式,讓學(xué)生參與進(jìn)來(lái),和學(xué)生一起建構(gòu)知識(shí)體系。]
對(duì)于球的表面積,和學(xué)生一起分享一個(gè)有趣的驗(yàn)證試驗(yàn)。得出球的表面積計(jì)算公式。
(3)球體的面積計(jì)算公式球S= 24R . 師問(wèn):這個(gè)演示實(shí)驗(yàn)對(duì)大家有什么啟發(fā)?
[設(shè)計(jì)意圖:對(duì)于球的表面積,高一的孩子用目前所學(xué)知識(shí)無(wú)法推導(dǎo)球的表面積,因此,借用一個(gè)有趣的驗(yàn)證試驗(yàn)視頻,通過(guò)觀察,不僅得到了球的表面積公式,而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。] (三) 典型例題
例、如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證:球的表面積等于圓柱的側(cè)面積. 教師在黑板上板演。
證明:設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R, 高為2R.
因?yàn)榍騍=24R 圓柱側(cè)S=22422RRR 所以球S=圓柱側(cè)S
變式1、求證:球的表面積等于圓柱全面積的 3
2 . 學(xué)生在黑板上板書。
[設(shè)計(jì)意圖:對(duì)基本公式的應(yīng)用]
探究3:祖暅原理與柱體、錐體與的體積 提問(wèn):水立方和金字塔的體積積怎么計(jì)算?
O
R
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小試牛刀
已知水立方的長(zhǎng),寬,高分別為180m, 180m,30m試求它的體積. 教師叫學(xué)生回答:V=180*180*303m
[設(shè)計(jì)意圖:?jiǎn)l(fā)學(xué)生從最基本的長(zhǎng)方體入手,回顧體積公式。] 祖暅(gèng)原理與柱體、錐體的體積 祖暅的介紹
師問(wèn):請(qǐng)一位音色優(yōu)美,聲音洪亮的同學(xué)給大家朗讀一下。
祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代著名數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子。受家庭的影響,尤其是父親的影響,他從小熱愛(ài)科學(xué),對(duì)數(shù)學(xué)具有濃厚的興趣。祖沖之除了在計(jì)算圓周率方面的成就,還與他的兒子祖暅一起,用巧妙的方法解決了柱體,錐體,球體的體積計(jì)算。他們當(dāng)時(shí)采用的原理,在西方被稱為“卡瓦列里”原理,但這是在祖氏父子以后一千多年才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里發(fā)現(xiàn)的。為了紀(jì)念祖氏父子的這一偉大發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)上也稱這個(gè)原理為“祖暅原理”。 師問(wèn):這個(gè)材料對(duì)大家有什么啟發(fā)?
[設(shè)計(jì)意圖:?jiǎn)l(fā)學(xué)生要有愛(ài)國(guó)主義情懷,要有探索的精神。] 祖暅原理:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截面(陰影部分)的面積都相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等。
應(yīng)用祖暅原理可以說(shuō)明:等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等.
[設(shè)計(jì)意圖:理解祖暅原理的內(nèi)容,在闡述祖暅原理時(shí),重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)它
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的精髓是同底等高。]
教師用幾何畫板演示用祖暅原理如何去證明柱體、錐體的體積。 探究一、柱體的體積
設(shè)有底面積都等于S,高都等于h的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體,使它們的下底面在同一個(gè)平面α內(nèi)(如圖)
教師用幾何畫板演示用祖暅原理如何去證明柱體體積。
由祖暅原理可知:等底面積等高的任意兩個(gè)柱體的體積相等,而長(zhǎng)方體的體積為長(zhǎng)方體V= sh,所以與長(zhǎng)方體等底面積等高的棱柱、圓柱的體積為:
柱體V= sh(S為底面積,h為高)
[設(shè)計(jì)意圖:在幾何畫板的演示中,讓學(xué)生切實(shí)感受到用一個(gè)平行于底面的平面去截幾何體時(shí),它們的截面面積處處相等這一現(xiàn)象,從而由特殊到一般,概括出柱體的體積公式。] 探究二、錐體的體積
設(shè)有底面積都等于S,高都等于h的任意一個(gè)三棱錐、一個(gè)圓錐和一個(gè)四棱錐,使它們的下底面在同一個(gè)平面α內(nèi)(如圖)
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教師用幾何畫板演示用祖暅原理如何去證明錐體體積。 結(jié)論:等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等
[設(shè)計(jì)意圖:在幾何畫板的演示中,讓學(xué)生切實(shí)感受到用仁義一個(gè)平行于底面的平面去截幾何體時(shí),它們的截面面積處處相等這一現(xiàn)象,從而得出等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等。] 探究錐體的體積公式
思考1:一個(gè)三棱柱可以分割成幾個(gè)三棱錐? 生答:3個(gè)
思考2:每個(gè)錐體的體積有什么關(guān)系?說(shuō)明理由。
學(xué)生活動(dòng):前后6人一小組,給三分鐘討論,然后請(qǐng)其中一組的代表起來(lái)匯報(bào)。
錐體體積公式為: shV3
1
錐 ,(S為底面積h為高) [設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2 ,讓學(xué)生將三棱錐和三棱柱聯(lián)系起來(lái),并且訓(xùn)練學(xué)生能用等底面積等高來(lái)證明兩個(gè)錐體的體積相等這一能力,通過(guò)小組的合作交流,更能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。] (四)練一練
埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580年,其形狀為正四棱錐.金字塔高146.6米,底面邊長(zhǎng)230.4米. 這座金字塔的體積是多少?(只列式不計(jì)算)
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生答:3
6.1464.2304.2303
131
mshV錐
[設(shè)計(jì)意圖:再次熟悉錐體的體積公式。] (五)課堂小結(jié)
請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勗诒竟?jié)課的收獲吧!
[設(shè)計(jì)意圖:從知識(shí)層面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行梳理,從情感態(tài)度價(jià)值觀方面,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。] (六)作業(yè)布置
1、用祖暅原理探究球體的體積公式. 2、習(xí)題1.3 A組 1、2、3、4.
[設(shè)計(jì)意圖:將球的體積留作探究作業(yè),啟發(fā)學(xué)生從推導(dǎo)柱體、錐體的體積公式中得到啟發(fā),看能否在幾何畫板中演示祖暅原理在球體中的應(yīng)用。] (七)板書設(shè)計(jì)
祖暅原理與柱體,錐體,球體的表面積和體積
一、表面積
rlrS222圓柱表 rlrS2圓錐表 2
4RS球
二、體積
sh
V柱體
sh
V31錐體 3
3
4RV球 例題 變式 小結(jié) 作業(yè)
(八)教學(xué)反思
本節(jié)課立足課本,著力探究,設(shè)計(jì)合理,層次分明。充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本,培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納和探究能力,遵循學(xué)生的認(rèn)知
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規(guī)律,體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際、循序漸進(jìn)和因材施教的教學(xué)原則,通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè),激發(fā)興趣,使學(xué)生在問(wèn)題解決的探索過(guò)程中,由學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué),由被動(dòng)答題走向主動(dòng)探究。在教學(xué)思想上既注重知識(shí)形成過(guò)程的教學(xué),還特別突出學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo),探究能力的訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美,體驗(yàn)求知的樂(lè)趣。
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