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視頻標(biāo)簽：探究與發(fā)現(xiàn),祖暅原理,幾何體的體積

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二探究與發(fā)現(xiàn)-祖暅原理與幾何體的體積

教學(xué)設(shè)計、課堂實錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二探究與發(fā)現(xiàn) 祖暅原理與幾何體的體積

探究與發(fā)現(xiàn)  祖暅原理與幾何體的體積 
一、 教學(xué)內(nèi)容分析 
    本節(jié)是必修2第一章的“探究與發(fā)現(xiàn)”內(nèi)容，是在學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了柱體、錐體、球體的體積公式的基礎(chǔ)之上對體積公式的由來的進一步探究，主要內(nèi)容為用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、球體的體積公式；通過模型演示，利用祖暅原理，推廣到柱、錐、球體的體積計算.通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受幾何體體積的求解過程，初步了解解決空間幾何體問題的思想方法,逐步提高解決空間幾何體問題的能力。 二、 學(xué)生學(xué)習(xí)況情分析  
學(xué)生是在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上展開的，具有一定的直觀感知、操作確認(rèn)、度量計算等方法。他們的思維正從屬于經(jīng)驗性的邏輯思維向抽象思維發(fā)展，但仍需要依賴一定的具體形象的經(jīng)驗材料來理解抽象的邏輯關(guān)系。同時思維的嚴(yán)密性還有待加強。 三、設(shè)計思想  
1、由祖暅原理推導(dǎo)柱、錐以及球的體積．其結(jié)構(gòu)圖如下：  
    
 
    
2.結(jié)合參加我校組織的兩個課題《對話——反思——選擇》和《新課程實施中同伴合作和
師生互動研究》的研究，在本課的教學(xué)中我努力實踐以下兩點：  
⑴.在課堂活動中通過同伴合作、自主探究培養(yǎng)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。  ⑵.在教學(xué)過程中努力做到生生對話、師生對話，并且在對話之后重視體會、總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時讓學(xué)生掌握一些學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的方法。  
3.通過課堂教學(xué)活動向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中感受數(shù)學(xué)思想方法之
祖暅原理 
體積概念 
長方體的體積 
柱的體積 
錐的體積 
球的體積 
根 據(jù) 
轉(zhuǎn) 化 
 
                             
美、體會數(shù)學(xué)思想方法之重要；同時通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、合作交流的意識。 四、教學(xué)目標(biāo)  
根據(jù)任教班級學(xué)生的實際情況，本節(jié)課我確定的教學(xué)目標(biāo)是： 
（1）理解祖暅原理的含義，理解利用祖暅原理計算幾何體體積的方法； 
（2）在發(fā)現(xiàn)祖暅原理的過程中，體會從“平面”到“空間”的類比、猜想、論證的數(shù)學(xué)思想方法；體會祖暅原理中由“面積都相等”推出“體積相等”的辯證法的思想； 
（3）在推導(dǎo)棱柱體積公式的過程中，理解從特殊到一般，從一般到特殊的歸納演繹的數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方法；掌握棱柱、棱錐、球體的體積公式； 
（4）通過介紹我國古代數(shù)學(xué)家對幾何體體積研究的成果，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 五、教學(xué)重點與難點  
教學(xué)重點：理解祖暅原理的含義，以及柱體、錐體、球體的體積公式的探究； 教學(xué)難點：運用祖暅原理推導(dǎo)幾何體體積，學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。 六、教學(xué)過程：  
（一）創(chuàng)設(shè)情景、提出問題(約3分鐘)    
     主要是從學(xué)生獲取知識遵循“從特殊到一般，由淺入深，由易到難，循序漸進”的原則出發(fā)，符合學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力. 二、說教法與學(xué)法 教法： 
    1、為了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力以及使得不同層次的學(xué)生都能獲得相應(yīng)的滿足.因此本節(jié)課采用探究性教學(xué). 
2、根據(jù)本節(jié)課的特點也為了給學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持. 
學(xué)法：為了發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，提高學(xué)生的綜合能力，確定了探究性學(xué)習(xí)法：通過分析、探索得出柱體、錐體、球體的體積公式； 
四、教學(xué)思路 
2、案例設(shè)計 Ⅰ導(dǎo)入課題 
 
                    
             
                    
                             
回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)的柱體、錐體、球體的體積公式，并發(fā)問：這些公式怎么來的? 
（設(shè)計意圖：讓學(xué)生產(chǎn)生疑問，帶著疑問主動的探究柱體、錐體、球體的體積公式的由來） Ⅱ探究新知 1、祖暅原理的引入 
通過小實驗引入祖暅原理，讓學(xué)生直觀感知祖暅原理的正確性，為接下來的應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)公式提供理論基礎(chǔ) 2．探究柱體的體積公式 
 
柱體（棱柱，圓柱）的體積公式： 
ShV     S---底面積     h-----高 
（設(shè)計意圖：利用祖暅原理把求一般柱體體積轉(zhuǎn)化為求特殊棱柱——長方體的體積，從而推導(dǎo)一般柱體的體積） 3、探究錐體的體積公式 
①如何把一個三棱柱分割成三個等體積的棱錐？  
 
錐體的體積ShV3
1

，  S---底面積     h-----高 ②等底等高的棱錐與圓錐體積相同   
1 
2 3 
1 
2 
3 
 
4、探究球體的體積     ①提出問題V球=? 
為了計算半徑為R的球的體積，可以先計算半球的體積。讓學(xué)生自測圓柱、半球、圓錐散著體積的大小，得V圓柱>V半球>V圓錐 
  由于 V圓柱=3R，V圓錐=31R3 是已知的，便得R3>V半球>31
R3
,可以先引導(dǎo)學(xué)生猜想V半球=？（其中，可將R3的系數(shù)1改寫為33，得33 R3
>V半球>31
R3
 。） 
為了運用祖暅原理，引入的幾何體必須符合兩個條件：一是計算公式是已知的；二是符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體要夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面截得的截面面積總相等。符合以上兩個條件的幾何體可叫做原幾何體的參照體，在前面推導(dǎo)柱、錐的體積時已多次引用此術(shù)語。 
圖中兩幾何體同高（R），故可夾在兩個平行平面之間，剩下的問題是證明兩個等距截面的面積相等。 
用與底面平行的任一平面去截兩個幾何體，截面分別是圓面和圓環(huán)面。如果截面和平面的
距離為l，那么圓面的半徑r=2
2lR，圓環(huán)面的大圓半徑為R，小圓半徑為l，因此                  
圓錐圓柱半球VVV  
 

                          
RRRRV223121球 33
2
R 所以球的體積 33
4
RV球 
點評：利用祖暅原理求幾何體的體積，關(guān)鍵是找出一個滿足條件的能夠求出體積的幾何體 
Ⅲ課堂小結(jié)： 
本節(jié)課的主要內(nèi)容為祖暅原理及利用原理探究柱體、錐體、球體的體積公式. 
1.教學(xué)重心應(yīng)該放在培養(yǎng)學(xué)生經(jīng)歷“實驗、猜測、論證”的學(xué)習(xí)方法上 
2.突破的關(guān)鍵點是探究式教學(xué)應(yīng)用，著重引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)實驗、猜測、論證的學(xué)習(xí)方法 3.設(shè)計時要照顧學(xué)生的知識起點，地域，環(huán)境等差異,根據(jù)學(xué)生不同基礎(chǔ)設(shè)計差異化的練習(xí)。

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