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視頻標(biāo)簽：轉(zhuǎn)化與歸化,思想復(fù)習(xí),參考題

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修1轉(zhuǎn)化與歸化思想復(fù)習(xí)參考題

教學(xué)設(shè)計、課堂實錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教A版必修1轉(zhuǎn)化與歸化思想復(fù)習(xí)參考題

第四講  轉(zhuǎn)化與化歸思想 
 
轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法．一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題． 
轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等．各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中．化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心． 1．轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想 
(1)把什么問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化歸對象．  (2)化歸到何處去，即化歸目標(biāo)． (3)如何進(jìn)行化歸，即化歸方法． 2．轉(zhuǎn)化與化歸的基本原則 
(1)熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題．以利于我們運(yùn)用熟知的知識、經(jīng)驗來解決. (2)簡單化原則：將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題．通過簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).（如高次問題低次化，多元問題少元化，綜合問題化整為零，一般問題特殊化，非規(guī)范問題規(guī)范化） 
(3)直觀化原則：將較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題(如數(shù)形結(jié)合思想，空間問題向平面轉(zhuǎn)化)． (4)和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)和形內(nèi)部所表示的和諧形式，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。 
(5)正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考設(shè)法從問題的反面去探討，使問題獲解. 3．常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法 
轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式．常見的轉(zhuǎn)化方法有： 
(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題． 
(2)換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題． 
(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑． (4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達(dá)到化歸的目的． 
(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題、結(jié)論適合原問題． (6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題． 
(7)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑． (8)類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定． (9)參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進(jìn)行解決． 
(10)補(bǔ)集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結(jié)果看做集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補(bǔ)集∁UA獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則.  
典例透析 
（一）基礎(chǔ)提煉 
1．[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ] 設(shè)α∈0，π2，β∈0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β
，則(   ) A．3α－β＝π2   B．3α＋β＝π2 C．2α－β＝π2   D．2α＋β＝π
2
 
答案．C [解析] 
法一：切化弦：由tan α＝1＋sin βcos β 得
sin1sinsincoscoscossincoscos

  
                    
             
                    
                             
第2頁（共14頁）                                
sin()cossin()sin()2

， 
因為α∈0，π2，β∈0，π2，0,22
，sin()sin()020, 所以2或2

得22或2（舍） 
法二：弦化切：tan α＝
1＋sin βcos β＝
cosβ2
＋sinβ2 2cos2β2－sin2β2＝
cosβ2＋sin β2cosβ2－sinβ2＝1＋tanβ
21－tan
β2
＝tan
π4＋β2， 因為β∈0，π2，所以π4＋β2∈π4，π2，又α∈0，π2且tan α＝tanπ4＋β2，所以α＝ 
π4＋β2，即2α－β＝π2
. 【點評】化繁為簡，切化弦或者弦化切都是為了盡可能減少函數(shù)名稱，三角恒等變換的核心思想是“化一”。化同一函數(shù)名稱，化同一角，化同一個函數(shù)。由值到角，注意“掐角”。  
2. 已知直線1xy
ab
通過點(cos,sin)M，則（    ）  A.221ab B. 221ab C.2211
1ab
 
D.
2
2111ab
 答案 D 解析  
法一：形的角度：(cos,sin)M是單位圓221xy上一點，因此直線
1xy
ab
與圓221xy有公共點，因此圓心到直線距離22
22
1
11
1111dabab

； 法二：三角變換的角度：由輔助角公式22cossin111sin()abab，所以2211
1ab； 法三：不等式角度：由柯西不等式：2
22
22cossin111cossina
bab. 
法四：特殊化：取0，則1011,abRab，45，則11
2ab
，取22ab。 
【點評】未知為已知 轉(zhuǎn)化與化歸的靈活性與多樣性.  化特殊為一般.  
4.若函數(shù)g(x)＝x3－m2＋2x2＋3x在區(qū)間1,23
上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是______． 答案 26m 
解析 2(343)'gxxmx＝－＋＋， 
法一： g(x)在區(qū)間1,23

上總為單調(diào)函數(shù)，則①'gx≥0在(t,3)上恒成立或②'gx≤0在(t,3)上恒成立． 
由①得3x2－(m＋4)x＋3≥0，即413mxx在x∈1,23
上恒成立，min
413mxx即4223mm 
由②得
413mxx在x∈1,23
上恒成立，則max413mxx
，即413633mm； 所以，函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為26m. 
法二：若g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則0'gx在1,23
至少有一個實根且不是．．重根．．， 即234()30xmx－＋＋在1,23

有實根且不是重根，所以02m或10m，（必要但不充分） 

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