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視頻標(biāo)簽：冪函數(shù)

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教B版版必修一3.3冪函數(shù)-錦州

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教B版版必修一3.3 冪函數(shù)-錦州市第一高級(jí)中學(xué)

冪函數(shù) 
一、教學(xué)目標(biāo) 
1.通過(guò)生活實(shí)例引出冪函數(shù)的概念,會(huì)畫(huà)冪函數(shù)的圖象,通過(guò)觀察圖象,了解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì) 
2.了解幾個(gè)常見(jiàn)的冪函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)這幾個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì),總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)畫(huà)圖比較,使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想 
3.應(yīng)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生觀察分析歸納能力,了解類(lèi)比法在研究問(wèn)題中的作用,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用具體問(wèn)題具體分析的方法去分析和解決問(wèn)題的能力. 二、教學(xué)重難點(diǎn) 
1、教學(xué)重點(diǎn):從五個(gè)具體的冪函數(shù)中認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的概念和性質(zhì). 2、教學(xué)難點(diǎn):冪函數(shù)的性質(zhì). 三、教具：多媒體[來(lái)源:Z+xx+k.Com] 四、學(xué)法指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般 五、教學(xué)設(shè)計(jì) （一）、導(dǎo)入新課 
1、前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，這類(lèi)函數(shù)有什么特點(diǎn)呢？ 
2、問(wèn)題情境 
寫(xiě)出下列y關(guān)于x的函數(shù)解析式 
(1)如果正方形的邊長(zhǎng)為x，那么正方形面積y=？ (2)如果正方體的棱長(zhǎng)為x，那么正方體體積y=？ 
                            (3)如果正方形場(chǎng)地的面積為x，那么正方形的邊y=？ (4)某人騎車(chē)x秒內(nèi)勻速前進(jìn)1km,騎車(chē)速度為y=? 以上問(wèn)題中的函數(shù)有什么共同特征？ （二）、探索新知 
觀察分析上述函數(shù)的解析式，給這類(lèi)函數(shù)命名。 
（1）底數(shù)為自變量； （2）指數(shù)為常數(shù)； （3）系數(shù)為1  
               一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù). 
如y=x2
,y=x2
1
,y=x3等都是冪函數(shù),冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣,都是基本初等函數(shù). 
師生共同辨析這種新函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的異同．應(yīng)說(shuō)明：冪函數(shù)的定義來(lái)自于實(shí)踐，它同指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，也是基本初等函數(shù)，同樣也是一種“形式定義”的函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生注意辨析． 
（三）、理解應(yīng)用 
1、下列函數(shù)是冪函數(shù)的是＿＿＿ 
             ②               ③         ④ 
2、若函數(shù)                     是冪函數(shù)，則 a 的值為＿
 
                    
             
                    
                            引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，歸納概括冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律．觀察圖象，分組討論，探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律，并展示各自的結(jié)論進(jìn)行交流評(píng)析，并填表． 
2、觀察圖象,分組討論,探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律，完成表格 函數(shù)性質(zhì) y=x 
y=x2
 
y=x3
 
y=x2
1 
y=x-1 
定義域      值域      奇偶性      單調(diào)性      特殊點(diǎn)      圖象分布 
 
 
 
 
 
3、總結(jié)上述五個(gè)函數(shù)的圖像及性質(zhì) 函數(shù)
性質(zhì) y=x 
y=x2
 
y=x3
 
y=x2
1 
y=x-1 
定義
域 
R 
R R {x|x≥0}[來(lái)
源:學(xué)&科&網(wǎng)] 
{x|x≠0} 
值域 R 
{y
|y≥0} 
R {y|y≥0} {y|y≠0} 
奇偶
性 
奇 
奇 
奇 
非奇非偶 
奇 
 
                    
             
                    
                            單調(diào)
性 
在第Ⅰ
象限單調(diào)遞增 在第Ⅰ
象限單
調(diào)遞增 
在第Ⅰ象限單
調(diào)遞增 
在第Ⅰ象限
單調(diào)遞增 在第Ⅰ象限單調(diào)遞減 
特殊
點(diǎn) (1,1) 
(1,1) 
(1,1)[來(lái)
源:Zxxk.Com] (1,1) 
(1,1) 圖象分布 
第Ⅰ、Ⅲ 象限 
第Ⅰ、Ⅱ 象限 第Ⅰ、Ⅲ 
象限 
第Ⅰ象限 
第Ⅰ、Ⅲ 象限 
（五）、反思提升 1、冪函數(shù)的定義及說(shuō)明 2、冪函數(shù)的圖像及特點(diǎn) 
（1）、第一象限一定有冪函數(shù)的圖象,第四象限一定沒(méi)有冪函數(shù)的圖象,而第二、三象限可能有,也可能沒(méi)有圖象,這時(shí)可以通過(guò)冪函數(shù)和定義域和奇偶性來(lái)判斷. 
（2）、冪函數(shù)y=xa的性質(zhì). 
①所有的冪函數(shù)在（0,+∞）都有定義,并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1,1）； ②當(dāng)a＞0時(shí),冪函數(shù)的圖象都通過(guò)原點(diǎn),并且在[0,+∞)上是增函數(shù)（從左往右看,函數(shù)圖象逐漸上升）.[來(lái)源:Z+xx+k.Com] 
特別地,當(dāng)a＞1時(shí),x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x圖象的下方,形狀向下凸,a越大,下凸的程度越大. 
當(dāng)0＜a＜1時(shí),x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x的圖象上方,形狀向上凸,a越小,上凸的程度越大.[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)] 
③當(dāng)a＜0時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,+∞）上是減函數(shù). 
 
                    
             
                    
                            在第一象限內(nèi),當(dāng)x向原點(diǎn)靠近時(shí),圖象在y軸的右方無(wú)限逼近y軸正半軸,當(dāng)x慢慢地變大時(shí),圖象在x軸上方并無(wú)限逼近x軸的正半軸. 
（六）、數(shù)學(xué)應(yīng)用 
  
冪函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，利用到了冪函數(shù)的單調(diào)性。學(xué)生獨(dú)立思考，給出解答，共同討論、評(píng)析． 
變式訓(xùn)練：1. 比較下列各組值的大小  
比較大小的題，要綜合考慮函數(shù)的性質(zhì)，特別是單調(diào)性的應(yīng)用，更善于運(yùn)用搭橋法進(jìn)行分組，常數(shù)0和1是常用的參數(shù)。 
例2 .試寫(xiě)出函數(shù)           的定義域,奇偶性，做出圖像，求出值域，并指出其單調(diào)性.                   
  
能力提升 
 
 此題考察了冪函數(shù)的定義和圖像的性質(zhì)，主要是為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于冪函數(shù)的記憶和理解。 
有學(xué)生自主探究，得出答案。 
 
例1． 比較下列兩個(gè)代數(shù)式值的大小： 
   ⑴       ，           ⑵           ，    
5
.11a5
.1a3
2
22
a3
22
334
4
12.3
2.4



332
2
32
3


235
5
44.1,1.92-
3
與3.8
3
2
)(
xxf 
變式訓(xùn)練2．若則實(shí)數(shù)a的取值范
圍是________． 1．若冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______． 
 
                    
             
                    
                             
    
（七）、課堂小結(jié) 
1.通過(guò)實(shí)例了解冪函數(shù)的概念； 
2. 掌握 冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，并會(huì)根據(jù)奇偶性完成整個(gè)函數(shù)的圖象。 
3.能夠利用冪函數(shù)的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.     （八）課后作業(yè) 
1、求函數(shù)22xy的定義域，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 2、利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)冪的值得大小： （1）4
3
3.2，4
34.2           （2）5
631.0，5
635.0； （3）232
，233
       （4）211.1
，2
19.0
 
3、作出函數(shù)2
3
xy的圖像，根據(jù)圖像 這個(gè)函數(shù)有哪些性質(zhì)，并給出證明。 六、教學(xué)反思： 
冪函數(shù)作為一類(lèi)重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后研究的又一類(lèi)基本初等函數(shù)。學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，冪函數(shù)概念的引入以及圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成。因此，學(xué)習(xí)過(guò)程中，引入冪函數(shù)的概念之
 
2．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖
象是(  )   
 
                    
             
                    
                            后，嘗試放手讓學(xué)生自己進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí)。在方法上，我們應(yīng)注意從特殊到一般進(jìn)行類(lèi)比研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)，并注意與指數(shù)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)。將冪函數(shù)限定為五個(gè)具體函數(shù)，通過(guò)研究它們來(lái)了解冪函數(shù)的性質(zhì)。所以本人建議，逐個(gè)畫(huà)出五個(gè)函數(shù)的圖象，從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、過(guò)定點(diǎn)等方面進(jìn)行分析、探究，得到各自的性質(zhì)，從而再歸納出冪函數(shù)的基本性質(zhì)。 
除內(nèi)容本身外，掌握研究函數(shù)的一般思想方法也是至關(guān)重要的。

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