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視頻標(biāo)簽：函數(shù)

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教B版版必修一2.1.1函數(shù)-大連

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教B版版必修一2.1.1 函數(shù)-大連市第一中學(xué)

函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì) 

教學(xué)內(nèi)容分析 
 
函數(shù)的概念是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，其本質(zhì)是從一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的特殊對(duì)應(yīng)，它揭示了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系之間相互依存和變化的實(shí)質(zhì)，是描述客觀世界中變量間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。本節(jié)課在高中數(shù)學(xué)中有著承上啟下的作用，從初中運(yùn)動(dòng)觀下的函數(shù)定義出發(fā)，過渡到使用集合語言描述了更為確切的函數(shù)定義，本節(jié)課滲透的函數(shù)思想將被應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支領(lǐng)域。本課的教學(xué)重點(diǎn)是：理解函數(shù)的概念，教學(xué)難點(diǎn)是：函數(shù)概念及對(duì)符號(hào)y=f（x）的理解。 
教學(xué)目標(biāo)設(shè)置 
知識(shí)與能力：理解函數(shù)的集合觀定義，并會(huì)使用符號(hào)表示；理解函數(shù)符號(hào)𝑓 𝑥 與y；會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域，理解對(duì)應(yīng)法則；使學(xué)生提高抽象概括、分析總結(jié)、數(shù)學(xué)表達(dá)等基本數(shù)學(xué)能力。 
過程與方法：創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生經(jīng)歷從具體函數(shù)實(shí)例和運(yùn)動(dòng)觀定義去解析函數(shù)的基礎(chǔ)上，理解函數(shù)的集合觀定義，進(jìn)而理解法則𝑓，培養(yǎng)學(xué)生類比與聯(lián)想的學(xué)習(xí)能力。 
情感、態(tài)度和價(jià)值觀：學(xué)生親身經(jīng)歷了由特殊到一般的研究過程，培養(yǎng)了學(xué)生質(zhì)疑、探究的科學(xué)精神，也培養(yǎng)學(xué)生唯物主義觀點(diǎn)。 
學(xué)生學(xué)情分析 
教學(xué)對(duì)象：市重點(diǎn)高中學(xué)生。學(xué)生對(duì)函數(shù)概念并不陌生，初中的函數(shù)概念教會(huì)學(xué)生認(rèn)識(shí)變量間的依存關(guān)系，并且掌握了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，已經(jīng)基本具備建模的能力。學(xué)生思維普遍活躍，善于表達(dá)，善于發(fā)現(xiàn)問題，樂于和教師交流分享他們的解題心得。但高一學(xué)生的抽象概括能力較弱，由實(shí)例到抽象的數(shù)學(xué)語言，需要教師的引領(lǐng)。 
教學(xué)策略分析 
在短短的45分鐘要讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)定義發(fā)展史上100年的探究歷程，學(xué)生不可能獨(dú)立完成，這需要教師用材料鋪好一條路，要了解學(xué)情并對(duì)學(xué)生的疑問做好預(yù)設(shè)，難度大的地方搭好梯子，本節(jié)課以“學(xué)生為主體，教師引導(dǎo)”教學(xué)原則來設(shè)計(jì)，著重解決了學(xué)生的幾個(gè)疑問。 
1、怎么從初中概念出發(fā)得到高中函數(shù)概念？ 
學(xué)生的抽象概括能力還很薄弱，這使得用集合語言刻畫函數(shù)概念很有難度，如果直接歸納定義學(xué)生會(huì)失去剛剛?cè)计鸬奶骄坑�望，所以我選擇從生活中的三個(gè)實(shí)例入手，用問題串引領(lǐng)學(xué)生完成實(shí)例的分析，在分析過程中，重點(diǎn)讓學(xué)生體會(huì)每個(gè)例子的“變化過程”就是對(duì)應(yīng)法則，初中定義的”某一區(qū)間”用集合語言描述就是定義域A，自然過渡到集合語言描述函
 
                    
             
                    
                            數(shù)概念。師生共同研究得到函數(shù)定義；鍛煉了學(xué)生的語言表達(dá)及思辨能力，讓學(xué)生感受建立函數(shù)模型的過程和方法。 
2、對(duì)應(yīng)法則是指什么？ 
學(xué)生會(huì)覺得對(duì)應(yīng)法則這個(gè)詞很陌生，理解不好對(duì)應(yīng)法則就無法真正理解函數(shù)的概念。我從三個(gè)實(shí)例中逐一的讓學(xué)生體會(huì)初中定義中的 “變化過程”，第一個(gè)例子股票的函數(shù)關(guān)系變化過程是通過圖像來展現(xiàn)的，第二個(gè)例子國民生產(chǎn)總值的函數(shù)關(guān)系是通過表格來展現(xiàn)的，第三個(gè)例子函數(shù)關(guān)系是通過解析式來表達(dá)的，變化過程通過不同的方式呈現(xiàn)，我們把這些呈現(xiàn)方式理解為函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則。 
3、為什么要引入抽象符號(hào)𝑓 𝑥 ?   
①先讓學(xué)生回憶初中如何設(shè)出二次函數(shù)？𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0，𝑎，𝑏，𝑐為常數(shù)） 提問什么要標(biāo)明𝑎，𝑏，𝑐為常數(shù)？是為了突顯自變量是𝑥! 
現(xiàn)在二次函數(shù)可以設(shè)為：𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）清楚明了的表達(dá)了誰是自變量！ ②初中求當(dāng)𝑥=2時(shí)𝑦的值？  現(xiàn)在可以表示為𝑓(2),簡潔清晰。 
以上兩點(diǎn)需要教師引導(dǎo)，學(xué)生才能體會(huì)的到，學(xué)生這時(shí)會(huì)從內(nèi)心對(duì)𝑓(𝑥)不抵制，不懼怕，明白了它其實(shí)就是一種符號(hào)語言的表達(dá)。 
4、如何更深入的理解對(duì)應(yīng)法則𝑓呢？  
這是本節(jié)課的難點(diǎn)。通過學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)入手，在求解𝑓 2    𝑓 𝑎 和 𝑓(𝑎−1)的過程中和學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)各自的對(duì)應(yīng)法則是什么；再通過例2的三個(gè)小題，讓學(xué)生體會(huì)變量表達(dá)形式不同但對(duì)應(yīng)法則相同，求函數(shù)解析式的過程就是確定對(duì)應(yīng)法則的過程，進(jìn)而突破難點(diǎn)。 
  
教學(xué)過程分析 
教學(xué)流程： 
實(shí)例建模、形成概念討論研究、深化概念例題教學(xué)、應(yīng)用概念 知識(shí)回顧、總結(jié)方法精煉作業(yè)、鞏固延伸   
◆實(shí)例建模、形成概念 
實(shí)例一  下圖的蘭色曲線記錄的是某天自上午9：30至下午3：00上海證券交易所的股票指數(shù)的情況,股票指數(shù)是時(shí)間的函數(shù)嗎？
實(shí)例二   下表列出了我國從1988年到2002年，每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值，國內(nèi)生產(chǎn)總值是年份的函數(shù)嗎？ 
年份 生產(chǎn)總值/億元 1998 78345 1999 82067 2000 89442 2001 95933 2002 
102398 
實(shí)例三一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo)．炮彈的射高為845m，且炮彈距地面高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是h＝130t－5𝑡2．炮彈距地面高度h是時(shí)間t的函數(shù)嗎？為什么？ 
 
【師生活動(dòng)】每個(gè)例子都請(qǐng)同學(xué)來判斷是否是函數(shù)關(guān)系,學(xué)生的判斷過程也是體會(huì)運(yùn)用初中定義的過程；接著追問“某一范圍”可以用什么來更為準(zhǔn)確的描述；“變化過程”是通過什么來展現(xiàn)的。讓學(xué)生體會(huì)怎么樣用集合語言來描述函數(shù)關(guān)系。 
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生對(duì)初中的函數(shù)定義理解掌握情況將決定這節(jié)課的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，和本節(jié)課建構(gòu)知識(shí)的基礎(chǔ)。這三個(gè)實(shí)例既鞏固了學(xué)生對(duì)初中定義的理解，也拉齊了學(xué)生的起點(diǎn)，為下一步用集合語言和對(duì)應(yīng)來定義函數(shù)做好了準(zhǔn)備。從中學(xué)生還體會(huì)了用集合A來描述比“某一范圍內(nèi)”更為準(zhǔn)確；變化過程通過不同的載體來展現(xiàn)：有圖像、表格和解析式，這也是函數(shù)的幾種表示方法，為下一小節(jié)埋好了伏筆。 
概念的形成的階段從實(shí)際問題引出概念，激發(fā)學(xué)生的興趣，給學(xué)生思考、探索的空間，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的過程。知識(shí)不再是生硬的，變成了學(xué)生的親身體驗(yàn)，學(xué)生主動(dòng)去探究新知，更好的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問題的能力。在師生、生生的互動(dòng)交流中形成共識(shí)，得到集合觀的函數(shù)概念： 
設(shè)集合A是一個(gè)非空數(shù)集，對(duì)A中的任意數(shù)x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數(shù)y與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作：y=f（x），xϵA 
 
◆討論研究、深化概念 
討論點(diǎn)1：找出定義中的關(guān)鍵詞，明確高中和初中函數(shù)概念的區(qū)別和聯(lián)系。 
請(qǐng)同學(xué)找到概念中的關(guān)鍵詞幫助自己理解吧！ 
學(xué)習(xí)了初中高中的函數(shù)定義，你能談?wù)勊鼈兊膮^(qū)別和聯(lián)系嗎？ 
 
                    
             
                    
                            對(duì)應(yīng)法則本質(zhì)是相同的，初中是在運(yùn)動(dòng)觀下的定義，高中是在集合觀下的定義，用集合這種符號(hào)語言來表述概念更加清晰明了，高中還引入了一個(gè)抽象符號(hào)來表示函數(shù)關(guān)系。 
下列圖中能表示函數(shù)關(guān)系的是？ 
 
學(xué)生辨析函數(shù)關(guān)系的過程就是理解定義的過程。接著給出函數(shù)的定義域值域概念： 其中x叫自變量，自變量的取值范圍（數(shù)集A）叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。 
如果自變量取值a，則由法則f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作y=f（a）或y|𝑥=a.所有函數(shù)值構(gòu)成的集合 𝑦|y=f x ，xϵA}叫做這個(gè)函數(shù)的值域。 討論點(diǎn)2：確定函數(shù)的要素有哪些？ 
函數(shù)定義中提到了兩個(gè)集合：定義域和值域，還有對(duì)應(yīng)法則，能確定兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的要素有哪些呢？ 
學(xué)生回答：定義域和對(duì)應(yīng)法則，追問學(xué)生為什么引發(fā)學(xué)生思考。 例1   求下列函數(shù)的定義域： 
 1 y= 𝑥+1     2 𝑦=1
𝑥+2
   
 3 𝑦=𝑥0. 討論點(diǎn)𝟑：理解𝒇 𝒙 與𝐲 
①先讓學(xué)生回憶初中如何設(shè)出二次函數(shù)？𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0，𝑎，𝑏，𝑐為常數(shù)） 提問什么要標(biāo)明𝑎，𝑏，𝑐為常數(shù)？是為了突顯自變量是𝑥! 
現(xiàn)在二次函數(shù)可以設(shè)為：𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0）清楚明了的表達(dá)了誰是自變量！ ②初中求當(dāng)𝑥=2時(shí)𝑦的值？  現(xiàn)在可以表示為𝑓(2),簡潔清晰。 討論點(diǎn)4：理解法則𝒇 
第一步：從一次函數(shù)𝑦=𝑥+1入手，求𝑓 2    𝑓 𝑎 和 𝑓(𝑎−1)的過程中和學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)各自的對(duì)應(yīng)法則是什么？讓學(xué)生口答一個(gè)二次函數(shù)的法則，接下來給出例2，深刻理解對(duì)應(yīng)法則。 
◆例題教學(xué)、應(yīng)用概念 
例2     1 已知函數(shù)𝑓 𝑥 =𝑥2，求𝑓 𝑥−1 . (2)已知函數(shù)𝑓 𝑥−1 =𝑥2−2𝑥+1，求𝑓 𝑥 . 
(3)已知函數(shù)𝑓 𝑥−1 =𝑥2，求𝑓 𝑥 . 
 
                    
             
                    
                            【設(shè)計(jì)意圖】以學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)為例，這樣貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，能夠幫助學(xué)生深入淺出的理解對(duì)應(yīng)法則；再通過例2的三個(gè)小題，讓學(xué)生體會(huì)變量表達(dá)形式不同但對(duì)應(yīng)法則相同，求函數(shù)解析式的過程就是確定對(duì)應(yīng)法則的過程，進(jìn)而突破難點(diǎn)。通過習(xí)題促進(jìn)知識(shí)向技能的轉(zhuǎn)化，本題中體現(xiàn)了函數(shù)中湊項(xiàng)的重要思想，為日后求解函數(shù)解析式做好了鋪墊。問題的產(chǎn)生不是教師刻意提出，而應(yīng)該是教師通過使用恰當(dāng)?shù)牟牧希�陪學(xué)生一起探究新知的過程中自然的產(chǎn)生疑惑，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，隨著一個(gè)個(gè)疑惑的解開，完成教學(xué)難點(diǎn)的突破。  
◆知識(shí)回顧、總結(jié)方法 
今天，我們?cè)诔踔泻瘮?shù)定義的基礎(chǔ)上，運(yùn)用集合與對(duì)應(yīng)的語言重新刻畫了函數(shù)， 回顧一下本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？ 
通過比較兩個(gè)函數(shù)的定義，同學(xué)們有什么新的收獲？ 在練習(xí)中你積累了哪些解題經(jīng)驗(yàn)？ 引導(dǎo)學(xué)生思考回答，老師作適當(dāng)補(bǔ)充． 
 
◆精煉作業(yè)、鞏固延伸 
1.判斷下列各式中𝑦是不是𝑥的函數(shù)？ 
 1   y2=x  （2）y= x−2+ 2−x （3）y= x−2+ 1−x . 2.求下列函數(shù)的定義域： 
 1 𝑓 𝑥 = 𝑥+3+1
𝑥+2
     (2)𝑓 x = 𝑥− −𝑥. 
3.(1)已知函數(shù)𝑓 𝑥 =2𝑥2，求𝑓 −𝑥 ，𝑓(1+x). 
 2 已知 𝑓 𝑥+1 =𝑥2，求𝑓 𝑥 . 4.已知函數(shù)𝑓 x =3𝑥2+2 
（1）求𝑓 2 、𝑓 −2 的值；（2）求𝑓 𝑎 、𝑓 −𝑎 的值； （3）你從中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

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