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視頻標(biāo)簽：函數(shù)的單調(diào)性

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修1第一章1.3.1函數(shù)的單調(diào)性-河南

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高中數(shù)學(xué)人教A版版必修1第一章1.3.1函數(shù)的單調(diào)性-河南省 - 濟源

教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法.
2.通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力.
3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣,讓學(xué)生感知從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過程.
2學(xué)情分析
高中學(xué)生對函數(shù)概念有一個初步的了解,對函數(shù)的性質(zhì)僅是剛剛接觸,讓學(xué)生從形到數(shù)的體會概念。
3重點難點
【教學(xué)重點】  函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明.
【教學(xué)難點】  根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.  
【教學(xué)方法】  教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí).
【教學(xué)手段】  計算機、投影儀.
4教學(xué)過程
4.1一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題　下面的圖為濟源市冬天某一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖．觀察氣溫變化圖：　　　問題：觀察圖形，從圖中你能看出溫度的變化趨勢嗎？　學(xué)生：某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.　教師指出：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．　問題：你還能舉出其他數(shù)據(jù)的變化嗎？　學(xué)生：水位高低、降雨量、燃油價格、股票價格等．　歸納：用函數(shù)觀點看，其實這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小．　〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．
4.1.1新設(shè)計
二、歸納探索,形成概念
對于自變量變化時,函數(shù)值是變大還是變小,是函數(shù)的重要性質(zhì),稱為函數(shù)的單調(diào)性,同學(xué)們在初中對函數(shù)的這種性質(zhì)就有了一定的認(rèn)識,但是沒有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.
1.借助圖象,直觀感知
問題1:分別觀察函數(shù) 的圖象,并且觀察自變量變化時,函數(shù)值的變化規(guī)律?
幾何畫板動態(tài)演示,同時提問:
觀察 的圖像上的動點A的坐標(biāo),點A從左向右移動,隨著x的增大y有什么變化?
觀察 的圖像上的動點A的坐標(biāo),點A從左向右移動,隨著x的增大y有什么變化?
教師總結(jié):通過這兩個函數(shù)圖象我們看出,對于自變量變化時,函數(shù)值具有兩種變化規(guī)律,我們分別稱之為增函數(shù)和減函數(shù)
現(xiàn)在我們觀察 的圖像上的動點A的坐標(biāo),從左向右移動,隨著x的增大y有什么變化?(大家一起回答)
觀察 的圖像上的動點A和動點B的坐標(biāo),從左向右移動,隨著x的增大y有什么變化?(大家一起回答)
教師總結(jié):通過這兩個函數(shù)圖象我們看出,對于自變量變化時,函數(shù)值是變大還是變小是針對函數(shù)定義域的某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì)。
問題2:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)嗎?
學(xué)生:如果函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù) 在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,我們說函數(shù) 在該區(qū)間上為減函數(shù).
教師:這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的,是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認(rèn)識.
練習(xí): 如圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù) y = f(x)的圖象,  根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
〖設(shè)計意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識.
2.抽象思維,形成概念
問題1:根據(jù)下面函數(shù)的圖象,你能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置.
通過觀察,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究.
〖設(shè)計意圖〗使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.
問題2:如何從解析式的角度說明 在 上為增函數(shù)?
預(yù)案: (1) 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如2和3,因為22<32,所以 在 上為增函數(shù).
(2) 仿(1),取多組數(shù)值驗證均滿足,所以 在 為增函數(shù).
(3) 任取 ,因為 ,即 ,所以 在 上為增函數(shù).
對于學(xué)生錯誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量 .
〖設(shè)計意圖〗把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識.事實上也給出了證明單調(diào)性的方法,為第三階段的學(xué)習(xí)做好鋪墊.
問題3:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?
師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.
(1)板書定義
(2)鞏固概念
判斷題:
① .
②若函數(shù) .
③若函數(shù) 在區(qū)間 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù) 在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).
④因為函數(shù) 在區(qū)間 上都是減函數(shù),所以 在 上是減函數(shù).
通過判斷題,強調(diào)三點:
①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.
②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù)),有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù)),有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù)).
③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在 上是增(或減)函數(shù).
思考:如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?
〖設(shè)計意圖〗讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學(xué)生對定義的理解,完成對概念的第三次認(rèn)識.
   
三、掌握證法,適當(dāng)延展
例1 證明函數(shù) 在 上是增函數(shù).
四、歸納小結(jié),提高認(rèn)識
學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲,交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受,師生合作共同完成小結(jié).
1.小結(jié)
(1) 概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2) 證明方法和步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.
(3) 數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)形結(jié)合.
2.作業(yè)
書面作業(yè):課本第39頁  習(xí)題1.3 第2,3題.
課后探究:研究函數(shù) 的單調(diào)性.
 

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