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視頻標簽：函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評《函數的單調性》湖北省荊州
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評《函數的單調性》湖北省荊州
《函數的單調性》教學設計
湖北省荊州中學 王智敏
一、教學內容解析
1．教材內容及地位
本節課是人教版《數學》（必修1）第一章第3節函數單調性的第一課時，主要學習用符號語言（不等式）刻畫函數的變化趨勢（上升或下降）及簡單應用．
它是學習函數概念后研究的第一個、也是最基本的一個性質，為后繼學習奠定了理性思維基礎．如研究指數函數、對數函數、冪函數和三角函數的性質，包括導函數內容等；在對函數定性分析、求最值和極值、比較大小、解不等式、函數零點的判定以及與其他知識的綜合問題上都有重要的應用．因此，它是高中數學核心知識之一，是函數教學的戰略要地．
2．教學重點
函數單調性的概念，判斷和證明簡單函數的單調性．
3．教學難點
函數單調性概念的生成，證明單調性的代數推理論證．
二、學生學情分析
1．教學有利因素
學生在初中階段，通過學習一次函數、二次函數和反比例函數，已經對函數的單調性有了“形”的直觀認識，了解用“
隨
的增大而增大（減小）”描述函數圖象的上升（下降）的趨勢．荊州中學實驗班的學生基礎較好，數學思維活躍，具備一定的觀察、辨析、抽象概括和歸納類比等學習能力．
2．教學不利因素
本節課的最大障礙是如何用數學符號刻畫一種運動變化的現象，從直觀到抽象、從有限到無限到所有是個很大的跨度．而高一學生的思維正處在從經驗型向理論型跨越的階段，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強．另外，他們的代數推理論證能力非常薄弱．這些都容易產生思維障礙．
三、課堂教學目標
1．理解函數單調性的相關概念．掌握證明簡單函數單調性的方法．
2．通過實例讓學生親歷函數單調性從直觀感受、定性描述到定量刻畫的自然跨越，體會數形結合、分類討論和類比等思想方法．
3．通過探究函數單調性，讓學生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無限、從感性到理性的認知過程，體驗數學的理性精神和力量．
4．引導學生參與課堂學習，進一步養成思辨和嚴謹的思維習慣，鍛煉探究、概括和交流的學習能力．
四、教學策略分析
在學生認識函數單調性的過程中會存在兩方面的困難：一是如何把“隨的增大而增大（減小）”這一描述性語言“翻譯”為嚴格的數學符號化語言，尤其抽象概括出用“任意”刻畫“無限”現象；二是用定義證明單調性的代數推理論證．對高一學生而言，作差后的變形和因式符號的判斷也有一定的難度．
為達成課堂教學目標，突出重點，突破難點，我主要采取以下形式組織備課材料：
1．指導思想．充分發揮多媒體形象、動態的優勢，借助函數圖象、表格和幾何畫板直觀演示．在學生已有認知基礎上，通過師生對話自然生成．
2．在“創設情境”階段．觀察并分析艾賓浩斯遺忘曲線的趨勢，結合初中已學函數的圖象，讓學生直觀感受函數單調性，明確相關概念．
3．在“引導探索”階段．首先創設認知沖突，讓學生意識到繼續學習的必要性；然后設置遞進式“問題串”，借助多媒體引導學生對“隨的增大而增大”進行探究、辨析、嘗試、歸納和總結，并回顧已有知識經驗，實現函數單調性從“直觀性”到“描述性”再到“嚴謹性”的跨越．
4．在“學以致用”階段．首先通過四個判斷題幫助學生從正、反兩方面辨析，逐步形成對概念正確、全面而深刻的認識．然后教師示范用定義證明函數單調性的方法，一起提煉基本步驟，強化變形的方向和符號判定方法．接著請學生板演實踐．
五、教學過程
（一）創設情境，引入課題
實例 德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關研究.他經過測試，得到了以下一些數據：
| 測試時間 t | 剛記憶完畢 | 20分鐘后 | 60分鐘后 |
8-9 小時后 |
1天后 | 2天后 | 6天后 | 一個月后 |
|
記憶保留量y (百分比) |
100 | 58.2 | 44.2 | 35.8 | 33.7 | 27.8 | 25.4 | 21.1 |
和
.和
的圖像在區間 
“上升”的這一特征？即“ y 隨著 x 的增大而增大”？
，引導學生找到兩個自變量，發現不行，多加一個，再加一個，也不行，從而說明找有限個自變量不行，找無數個自變量還是不行，因為我們需要所有的自變量都具有這種特征，想要“所有”的自變量，引出“任意”的，進而提出“都有”
與
的大小關系，給出單調增函數的相關定義.
的定義域為I:，當
時，都有
，那么就說函數在區間D上是增函數，當時，都有
，那么就說函數在區間D上是減函數的三個特征進行說明，（1）任意性，（2）有大小，（3）屬于同一區間滿足
，則函數在區間（1，2）上是增函數.在區間
和
上是增函數，則函數在區間
上是增函數.
的定義域為R,若對于任意的
，且當
時，都有，那么就說函數是增函數.
的單調區間是
.
在區間
上是增函數，求實數
的取值范圍.
在區間的單調性．
等，并讓學生提煉證明的基本步驟．
在區間的單調性．
在區間的單調性．
前面的系數之間的關系，特別注意對于字母的討論要做到不重不漏．
上遞減； （2）在
上遞增．
A組題，第2，3題 .
 函數的單調性遞增：（板書定義） 遞減：（學生類比） |
例題（提煉步驟，明確變形方向） （學生板演） |
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
