視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：湖北好課堂,函數(shù)的單調(diào)性
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課展評(píng)《函數(shù)的單調(diào)性》湖北
教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課展評(píng)《函數(shù)的單調(diào)性》湖北
《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)
湖北省荊州中學(xué) 張靜
一、教學(xué)內(nèi)容解析
本節(jié)課內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修1第一章《集合與函數(shù)概念》1.3《函數(shù)的基本性質(zhì)》中第1.3.1節(jié)《單調(diào)性與最大（小）值》的第一課時(shí)，本節(jié)教學(xué)內(nèi)容為函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)．函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的理論依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應(yīng)用，因而函數(shù)單調(diào)性概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一．
在研究單調(diào)性過程中，經(jīng)歷觀察圖象，描述函數(shù)圖象特征；結(jié)合圖象，用自然語言描述函數(shù)圖象特征；用數(shù)學(xué)符號(hào)語言定義函數(shù)性質(zhì)的過程．體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法．加強(qiáng)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般．為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)．
在對(duì)函數(shù)單調(diào)性的探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力；讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程．
本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：形成增（減）函數(shù)形式化定義
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 結(jié)合函數(shù)圖象,逐步讓學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡單函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的方法（步驟）.
2. 通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高推理論證能力．
3. 通過知識(shí)的探究過程培養(yǎng)細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程．
（二）目標(biāo)解析
1．能夠以具體的例子說明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；并通過繪制圖形說明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個(gè)定義域上未必具有單調(diào)性，說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).對(duì)于一個(gè)簡單的函數(shù)能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù).
2．在探究函數(shù)單調(diào)性定義時(shí)，領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、變化與對(duì)應(yīng)思想，并能運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想觀察、分析函數(shù)的圖象，探究、歸納、概括函數(shù)單調(diào)性的概念．
3．通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，經(jīng)歷觀察、分析、探究、歸納的認(rèn)知過程，將函數(shù)圖象的“上升”或“下降”這一特征能用該區(qū)間上“任意的 ，都有 ”的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行刻畫.從高度隨時(shí)間變化的具體例子入手,層層追問,引發(fā)學(xué)生思考,最終歸納得出函數(shù)單調(diào)性定義.在這一過程中,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高考慮問題全面的思維能力．
三、學(xué)生學(xué)情分析
學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，初步認(rèn)識(shí)到函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，并且學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，能熟練的利用描點(diǎn)法畫出這些函數(shù)的圖象.進(jìn)入高中以后又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)．知道函數(shù)有三種表示方法，充分認(rèn)識(shí)到一個(gè)函數(shù)中自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以利用圖象表示函數(shù)中函數(shù)值隨自變量 的變化而變化的規(guī)律和性質(zhì).
“圖象是上升的，函數(shù)是單調(diào)遞增的；圖象是下降的，函數(shù)是單調(diào)遞減的”僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學(xué)生并不感到困難.困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性特征抽象出來，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言描述.即把某區(qū)間上“ 隨著 的增大而增大”這一特征用該區(qū)間上“任意的 ，都有 ”進(jìn)行刻畫.其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)大小不等的 ．
教學(xué)中，通過觀察引例的圖象變化特征的研究，針對(duì)圖象上升的部分,即“ 隨著 的增大而增大”，初步提出單調(diào)遞增的說法，通過圖象觀察，提出猜想，經(jīng)歷討論、交流、驗(yàn)證使學(xué)生克服思維障礙，經(jīng)歷從直觀到抽象、具體到一般的形成知識(shí)的過程．
教學(xué)難點(diǎn)：形成增（減）函數(shù)概念的過程中，如何從圖象升降的直觀認(rèn)識(shí)過渡到函數(shù)增減的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述，用定義證明函數(shù)單調(diào)性。
四、教學(xué)策略分析
為實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上我主要采取了以下的策略：
（1）創(chuàng)設(shè)生活情境，找準(zhǔn)切入點(diǎn)．函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的模型，生活中很多運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象都值得去關(guān)注，讓學(xué)生通過觀察過山車高度隨時(shí)間變化曲線圖的變化趨勢，完成對(duì)單調(diào)性直觀上的一種認(rèn)識(shí)，并為概念的引入提供了必要性．讓學(xué)生帶著問題（什么是函數(shù)的單調(diào)性？怎樣判定函數(shù)的單調(diào)性？）進(jìn)入新課．
（2）探索概念階段，緊扣主線．
①以過山車高度變化曲線為例，讓學(xué)生從圖象上獲得“上升”“下降”的整體認(rèn)識(shí)，初步認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性．
②通過觀察、猜想、分析，從而用數(shù)學(xué)符號(hào)語言定描述函數(shù)在 的單調(diào)性.最后通過類比，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言定義一般函數(shù)的單調(diào)性．
（3）注重思想方法的培養(yǎng)．從過山車高度隨時(shí)間變化的函數(shù)圖象的觀察出發(fā)，經(jīng)歷從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學(xué)符號(hào)語言，進(jìn)而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想．掌握通過觀察圖象，先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，這一研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法．
（4）注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)．在整個(gè)教學(xué)過程中，通過高度曲線創(chuàng)設(shè)情境，找準(zhǔn)切入點(diǎn)，進(jìn)入新課．利用高度曲線構(gòu)造反例，幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性中的“任意性”．在歸納反思中，利用高度曲線說明學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性知識(shí)具有實(shí)際意義．
五、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知
探究一：我們知道，函數(shù)是研究事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的模型，生活中就有許多運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象是我們經(jīng)常關(guān)注的，如過山車在24秒內(nèi)的高度隨時(shí)間變化的曲線圖．
問題1：觀察圖象,說說高度隨著時(shí)間的變化在怎樣變化？
師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生思考、回答，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況加以補(bǔ)充．
【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生熟悉的實(shí)際問題引入課題．為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主體參與的積極性．學(xué)生通過觀察過山車高度隨時(shí)間變化曲線圖的變化趨勢，完成對(duì)單調(diào)性直觀上的一種認(rèn)識(shí)．
（二）觀察探究，形成新知
問題2：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述函數(shù)圖象在 上, 隨 的增大而增大？
師生活動(dòng)：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，得出：
在區(qū)間 上取 ，當(dāng) 時(shí)，有 ．
問題3：反過來思考,在區(qū)間 上取 ，當(dāng) 時(shí)， 成立,圖象在區(qū)間 上就一定是上升的嗎?
學(xué)生相互合作交流討論：由學(xué)生上臺(tái)在黑板上畫出反例,說明圖象不一定是上升的，老師講解．
學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，總結(jié)：
函數(shù)在區(qū)間 上任取 值，當(dāng) 時(shí)，都有 ．就能說明函數(shù)在區(qū)間 上 隨 的增大而增大；函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 是增區(qū)間。
【設(shè)計(jì)意圖】觀察圖象，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言“函數(shù)在區(qū)間 上任取兩個(gè) ，當(dāng) 時(shí)，有 ”來描述“ 隨著 的增大而增大”，學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學(xué)符號(hào)語言，進(jìn)而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程．
將區(qū)間用字母D表示，就得到了函數(shù)單調(diào)增函數(shù)的定義：
一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，如果對(duì)于定義域 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間 上的任意兩個(gè)自變量的值 ，當(dāng) 時(shí)，都有 ，那么就說函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間D是增區(qū)間。
【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．
問題4：減函數(shù)的定義呢？大家一起說！
【設(shè)計(jì)意圖】得出減函數(shù)定義，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力．
辨一辨：判斷下列說法是否正確，說明理由：
（1）某地0點(diǎn)溫度高于1點(diǎn)半的溫度，1點(diǎn)半的溫度高于5點(diǎn)的溫度，則該地0點(diǎn)至5點(diǎn)溫度一直在下降.
（2）對(duì)于函數(shù) 在其定義域 內(nèi)有無窮多個(gè)值 ，且 ，滿足 ，則函數(shù) 在其定義域內(nèi)是增函數(shù).
（3）對(duì)于區(qū)間 上的任意 有 ，則函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增．
【設(shè)計(jì)意圖】通過辨析，進(jìn)一步加深學(xué)生理解定義中的關(guān)鍵詞．
（三）鞏固提高，應(yīng)用新知
例1 下圖是定義在區(qū)間 上的函數(shù) ，根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？
師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖象，獨(dú)立完成，教師解答學(xué)生在解決問題過程中出現(xiàn)的問題．如：
①單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；
②本題中，如果用并集符號(hào)，不符合單調(diào)性定義；
③本題中，區(qū)端點(diǎn)處有意義，那么區(qū)間開閉都可以．
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生能夠通過函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解．
例2：物理學(xué)中的玻意耳定律 ( 為正常數(shù))告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積 減小時(shí)，壓強(qiáng) 將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．
師生活動(dòng)：幫助學(xué)生分析例2，引導(dǎo)學(xué)生將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解題過程由學(xué)生思考陳述，教師板書證明過程，師生共同總結(jié)用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟．
【設(shè)計(jì)意圖】利用單調(diào)性證明物理學(xué)中的玻意耳定律，學(xué)生感受到函數(shù)單調(diào)性的初步應(yīng)用；教師引導(dǎo)下，學(xué)生熟悉用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟．
問題5：探究初中所學(xué)一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)各自的單調(diào)性，重點(diǎn)探究反比例函數(shù)的單調(diào)性。
探究二：初中學(xué)習(xí)的幾種函數(shù)的單調(diào)性
問題6：回答初中所學(xué)幾種函數(shù)類型，及它們各自的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。
師生活動(dòng)：學(xué)生討論，老師指出兩個(gè)減區(qū)間 不能并起來，強(qiáng)調(diào)判斷的依據(jù)就是單調(diào)性的定義。
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生體會(huì)：通過數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，觀察圖象，先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)進(jìn)行猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法．
練習(xí)：給出下列函數(shù)的圖象,指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指明其單調(diào)性.
（四）歸納反思，深化新知
教師梳理、概括本節(jié)課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并揭示蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法．
【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生深切體會(huì)到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法．
（五）布置作業(yè)：
書面作業(yè)：課本第39頁習(xí)題1.3 A組第1、2、3題．
課后探究：研究函數(shù) 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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