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視頻標簽：橢圓,及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》第一課時-廣西
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人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》第一課時-廣西- 昭平
2.2.1橢圓及其標準方程（第一課時）
一、教材分析
本節課內容是人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》第一課時，從知識上說，它是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線的方程的概念有了一定了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步認識的基礎上，進一步學習用坐標法研究曲線，同時它也是進一步研究橢圓性質的基礎；從方法上說，橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎；從教材編排上說，把橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線獨自編為一章，與圓分離開來，突出了它的重要性. 因此這節課有承前啟后的作用，是本章的重點內容之一.
二、教學目標
知識與技能
1. 理解隨圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程.
2. 能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用定義法、待定系統法求隨圓的標
準方程. 過程與方法
1. 通過學生積極參與、合作探究、相互交流獲得橢圓的定義，培養學生的觀察
能力和探索能力.
2. 通過主動探究橢圓標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方
法，并滲透數形結合的思想，提高運用坐標法解決幾何問題的能力. 情感態度和價值觀
1. 通過學生大膽探索、合作學習、相互交流，感受探索的樂趣與成功的喜悅，
激發學生學習數學的積極性和創新意識，同時培養學生運動、變化和對立統一的觀點.
三、教學重點、難點
1. 重點：橢圓的定義及橢圓標準方程，用待定系數法和定義法求橢圓方程. 2. 難點：橢圓標準方程的建立和推導.
四、教法與教學手段
1．教學方法：開放式探究、啟發式引導、小組合作式討論. 2．教學手段：運用幾何畫板、多媒體.
五、教學過程
（一）創設情境，引入概念 1．現場模擬實驗演示天宮二號運行. 問題：它的運行軌跡是什么圖形？（橢圓） 2．：請同學們列舉生活中的橢圓. 3．多媒體課件展示日常生活中的橢圓.
4．提出問題：如何精確地設計、制作出生活中這些橢圓？
【設計意圖】采用現場模擬天宮二號運行實驗引入橢圓，參透科學源于生活，激發學生學習橢圓的興趣，通過貼近生活的例子，讓學生從感性上認識橢圓，體現橢圓與生活實際的緊密聯系. （二）實驗探究，形成概念 1、演示實驗：（教師示范畫圖）
取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一個點處，用筆尖把細繩拉緊，在板上慢慢移動觀察畫出的圖形. 2．探究實驗：（分組合作動手畫出橢圓）
如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩個點21,FF處，用筆尖把細繩拉緊，在板上慢慢移動觀察畫出的圖形. 思考一下問題：
○
1在畫的過程中，細繩的兩端是固定的還是運動的？ ○
2細繩的長度是否發生了變化？ ○
3細繩長度與點M到兩定點的距離之和有什么關系？說明了什么？ 3．幾何畫板展示橢圓的形成
提出問題：通過探究發現，橢圓是一個動點的軌跡，那么，該動點應滿足什么條件？
【設計意圖】以活動為載體，讓學生在“做”中學數學，通過畫橢圓，經歷知識的形成過程.
3
4．引導學生概括橢圓定義
橢圓定義：平面內與兩個定點21,FF距離的和等于常數（大于21FF）的點的軌跡叫橢圓.
教師指出：這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距，記為2c，常數記為2a.
強調定義要滿足：
○
1任意一點與兩個定點2
1
,FF距離的和等于常數； ○
2常數大于2
1FF，即2a>2c. 5．文字語言轉化為數學語言
)2||2||2121cacFFaMFMF，（
6、思考：
（1）當點M到21,FF的距離之和等于21FF時，點M的軌跡是什么？ （2）當點M到21,FF的距離之和小于21FF時，點M的軌跡是什么？ 【設計意圖】給學生提供一個自主探索學習的機會，讓他們通過觀察、討論歸納概括出橢圓的定義，培養學生抽象思維、歸納概括的能力. （三）研討探究，推導方程 1、知識回顧
利用坐標法求曲線方程的步驟：建立適當的直角坐標系→設點→列方程→化簡→證明（可省）.
2、研討探究，推導方程
例：如圖已知焦點為21,FF的橢圓，且21FF=2c, M是橢圓上任一點，試推導出橢圓的方程.
由各組學生自己完成.
展示學生化簡結果，師生共同研討出現的問題.
【設計意圖】通過主動探究推導出橢圓的標準方程，掌握含有兩個根式的等式的化簡，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數形結合的思想，提高運用坐標法解決幾何問題的能力. 思考：觀察右圖，你能從中找出a、c、
22ca表示的線段嗎？ 22ca有什么幾何意義？
令b||22
caOP
得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程：
22ax+2
2b
y=1（0ba），其中a2－b2 =c2
； 思考：如果焦點21,FF在y軸上，且a、b、c的意義同上，那么橢圓的方程什么？
學生合情猜想，得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程：
22ay+22b
x=1（0ba），其中a2－b2 =c2
3．練習
(1)已知a=5,b=3,焦點在x軸上的標準方程為_______________ (2)已知a=5,b=3的橢圓標準方程為______________________ （四）例題研討
[例1].已知橢圓的兩個焦點的坐標分別為)0,2(),0,2(，并且經過點)23
,25(，求它的標準方程. （五）拓展練習
1.已知橢圓方程為22
145xy，則a=______,b=_______,c=________.
2．判斷下列橢圓的焦點在x軸還是y軸上？
（1）22136100xy （2）22
12516
xy
3．橢圓
19
252
2yx上一點P到一個焦點的距離為4，則P到另一個焦點的距離為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
P
F1 F2
x
y
O
5
4．橢圓
1169
252
2yx的焦點坐標為（ ） A．
0,5 B．5,0 C．0,12 D．12,0
【設計意圖】知識應用以游戲形式展示，通過學生的回答,可了解學生掌握程度. （六）歸納總結
（七）課外作業，鞏固提高
作業：P49 習題2.2A組第 2 題，第5題第（1）小題. 【設計意圖】通過本節課的學習，鞏固已有知識.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
