聯(lián)系本站客服加+微信號15139388181 或QQ：983228566 |
視頻標簽：函數(shù)的單調性
所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質課視頻
視頻課題：高中數(shù)學人教A版版必修1第一章1.3.1函數(shù)的單調性-甘肅省優(yōu)課
本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯(lián)本站系客服
1.3.1函數(shù)的單調性與最大（小）值
（第一課時）教學設計
一、教材分析
(一) 教材的地位和作用
從單調性知識本身來講.學生對于函數(shù)單調性的學習共分三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調性的嚴格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調性。
單調性是函數(shù)的第一個重要性質，從知識結構上看，它既是函數(shù)概念的延伸和擴展，又為后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性奠定了基礎，對進一步探索、研究函數(shù)的其他性質有著示范作用,它在整個高中數(shù)學知識中起著承上啟下的作用 (二)教材的重難點
重點：函數(shù)單調性的概念，判斷并證明函數(shù)的單調性. 難點：引導學生歸納出函數(shù)單調性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)
的單調性.
二、學情分析
1.有利因素：在初中階段，學生對函數(shù)的單調性已經有了“形”的直觀認識，知道用“y隨x的增大而增大或減小”描述圖像的“上升”或“下降”， 具備一定的觀察、類比、分析、歸納的學習能力. 2. 不利因素，甘肅甘南是民族地區(qū)，絕大多數(shù)學生是民族生，
根據(jù)民族生的特點，識記是強項，但邏輯思維水平不高,抽象概括能力不強,推理論證能力也比較薄弱,還需要在單調性定義的形成和用定義證明函數(shù)的單調性的過程中進一步培養(yǎng)和加強. 三、教學目標 (一)知識與技能：
1、理解函數(shù)單調性的概念。
2、會根據(jù)函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的單調性。 3、能根據(jù)單調性的定義證明函數(shù)的單調性。 (二)過程與方法：
1、培養(yǎng)學生利用數(shù)學語言對函數(shù)單調性概念的概括能力。
2.利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)的單調性，使學生領會數(shù)形結合的數(shù)學方法。
3、通過用定義法證明函數(shù)的單調性，進一步加強學生的邏輯推理能力。
(三)情感態(tài)度與價值觀：
1.通過學生熟悉的生活背景導入，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。 2.通過問題串的引入，學生積極參與教學活動，獲得成功的體驗，增強了學生學習數(shù)學的信心。 四、教學模式：
(一) 教學模式：四步導學
1.創(chuàng)設情境，導入課題； 2.探索歸納，形成概念 3.實踐訓練，深化理解； 4.總結反思，提高認識
(二) 模式的基本理念：以學生為主體，注重概念的形成過程和定義
的應用實踐。
(三) 模式的基本原則：直觀感受，啟發(fā)引導，鞏固訓練。 (四) 模式的實施策略：以學生熟悉的生活背景導入，以單調性定義
的形成和應用為主線，按“四步導學法”完成一本節(jié)課的教學。 五、教學方法
1.教法：啟發(fā)引導法、從抽象到具體，從特殊到一般的方法. 2.學法：數(shù)形結合法、小組合作探究法、類比法。 六、教學過程：
教學環(huán)節(jié) 教學內容
學生活動
設計意圖 環(huán) 節(jié) 一
一、創(chuàng)設情境，導入課題
情景1.上圖是2016年8月20日在我們甘肅省甘南藏族自治州舉行的
“2016早子溝金礦杯甘南藏地傳奇自
行車賽”24小時內的氣溫變化圖，請同學們
觀察圖象，然后思考兩個問題。
問題1 怎樣描述氣溫隨時間的增大而變化的情況？
問題2 怎樣用數(shù)學語言來刻畫上述時段內“隨著時間的增大氣 溫逐漸升高”這一特征？
學生通過對圖像的觀察，進行思
考問題1,2.
以學生熟悉的事物為背景提出問題， 激發(fā)學生的學習興趣，為突破難點做好鋪墊,從而自然導入課題。
二、探索歸納，形成概念
溫故知新 ：由已知的直觀圖象探究函數(shù)單調性的概念 問題1：觀察如圖一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，指出上面兩個圖象在哪個區(qū)間是上升的，哪個區(qū)間是下降的？
學生回答： 1）函數(shù)y=x的圖象從左到右上升，即在區(qū)間（-∞，+
用提問的方式，引導學生用圖形語言和自然語言對函數(shù)單調性進行描述，合理設置層次，為揭示函數(shù)單調性定義
環(huán) 節(jié) 二
﹙1﹚y=x ﹙2﹚2yx
問題2;觀察2
yx 的圖象，換一種角度
分析隨自變量x 的變化，對應函數(shù)值y 的
變化情況？
問題3：如何用符號語言描述“隨著 x 的增大，相應的 y 隨著增大”“隨著x 的增大，相應的 y 隨著減小”
圖形語言→文字語言→符號語言
特殊→一般 抽象→具體 感性→理性
1.增函數(shù)的定義：
一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2 ，當12xx時，都有
12()()fxfx，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間
D上是增函數(shù)。
問題4：同學們能否類似地得出減函數(shù)的定
∞）都上升. 2）函數(shù)2yx在y軸的左側(-∞,0]下降、右側（0,+∞)上升.
圖形語言→文字語言
在y軸右側，y隨x增大而增大； 在y軸左側，y隨x增大而減小.
任取 x1、x2∈（0,+∞)，
當12xx時，都有12()()fxfx，
任取
x1、x2∈(-∞,0)， 當12xx時，都有12()()fxfx，
問題3：同學們能否類似地得出減函數(shù)的定義？（學生
討論、回答）
的本質做好鋪墊。
從圖象直觀感知函數(shù)單調性，完成對函數(shù)單調性的第一次認識．
引導學生將圖像語
言、自然語言轉化為符
號語言，把對單調性的
認識由感性上升到理性
認識的高度。
.
把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為第三階段的學習做好鋪墊.
環(huán) 節(jié) 二 環(huán) 節(jié) 三
義？（學生討論、類比回答） 學生回答：略 師生共同得出： 2.減函數(shù)的定義：
一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2 ，當
12xx時，都有
12()()fxfx，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。
3.單調區(qū)間定義：
如果函數(shù)yfx在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yfx在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做
yfx的單調區(qū)間.
三、實踐訓練，深化理解
例1 下圖是定義在區(qū)間
5,5上的函數(shù)
yfx，根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現(xiàn)的問題．如： ①單調區(qū)間是定義域的子集； ②本題中，如果用并集符號，不符合單調性定義； ③本題中，區(qū)端點處有意義，那么區(qū)間開
通過問題進一步分析概念中關鍵詞的含義，提
升對概念的準確
理解。
學生能夠通過函數(shù)
圖象說出函數(shù)的單調區(qū)間，加深對函
數(shù)單調性概念的理解．分析解決問題
針對學生可能出現(xiàn)
的問題，組織學生
討論、交流。
例1的解決讓學生
學會通過函數(shù)圖象來判
斷函數(shù)的單調區(qū)間及在
各區(qū)間的單調性。
學生進一步理解單
調函數(shù)定義，鞏固證明單調函數(shù)的方法，并謹
慎使用并集符號。
環(huán) 節(jié) 三
閉都可以． 強調：多個單調區(qū)間用“，”或“和”字，不用并集符號“∪” 例2.證明函數(shù)()21fxx在R上是減
函數(shù)．
證明：任取2121,∈,xxRxx<且, 取值 1212()()(21)(21)fxfxxx
1212
12212121222()2()xxxxxxxx ,021xx<< 0-12>∴xx
∴,0)(-)(21>xfxf即),()(21xfxf> ∴函數(shù)()21fxx在R上是減函數(shù)
總結證明函數(shù)單調性的步驟：
1.取值:任取x1、x2屬于給定區(qū)間，且
12xx；
2.作差:差12()()fxfx；
3.變形：變形的常用方法有:因式分解、配
方、有理化等；
4.定號:確定12()()fxfx的正負； 5.判斷（下結論）:由定義得出函數(shù)的單調性。 練習：
1.用定義法證明函數(shù)1
yx
的單調性.
2.證明 函數(shù)(0)k
ykx
的單調性.
分析：
根據(jù)學情分析，在
處理例2時，考慮
到學生對作差后的變形和對因式符號
的判斷有一定的難度，教學中，我采
取一邊分析，一邊板演證明過程的方
法來解決這一難題，然后提煉基本
步驟，強化變形的
方向和符號判定方
法，接著讓學生板
演實踐。
學生獨立完成。教師解答學生遇到的問題。如：區(qū)間分別為減函數(shù)，是否能將兩個區(qū)間并起來說是減函數(shù)。 學法指導： 1、分區(qū)間判斷函數(shù)的單調性. 2、一般地，作差后要變形到因式的積或商的形式利于判斷性質符號.
通過例2，既鞏固了函數(shù)單調性的概念，也讓學生領悟到利用定義證明函數(shù)單調性的基本步驟。
練習為了使學生對函數(shù)單調性的定義和判斷函數(shù)單調性的方法有更進一步的理解和掌握。
環(huán) 節(jié) 四
四、歸納小結，提高認識
1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義； 2.圖象法判斷函數(shù)的單調性：增函數(shù)的圖象
從左到右上升，減函數(shù)的圖象從左到右下降. 3.（定義法）證明函數(shù)單調性的步驟：設值、作差、變形、判號、下結論。
學生小組合作，交
流展示，教師指導
評價 學生回顧，總結.
以自我小結的形式，回顧與梳理本節(jié)知識。可幫助學生自行構建知識體系，理清知識結構，盡快將所學知識內化為素質。
環(huán) 節(jié) 五 布置作業(yè)：
1、課本習題P39頁A組1、2（必做） 2、畫出函數(shù) 的圖像，判斷它的單調性，并加以證明。（選做）
學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散
針對我校高一學生素質的差異，采取分層作業(yè)，滿足不同層次學生的要求。
七、板書設計：
1.3.1函數(shù)的單調性與最（大）小值
一. 情景導入 二、概念形成
1.增函數(shù)的定義 2.減函數(shù)的定義
3.單調函數(shù)
三.應用舉例 例1
例2
設計意圖：加深學生對重點知識的理解和掌握，反饋學生的評價信息。 七、教學反思與評價：
視頻來源：優(yōu)質課網 www.jjlqy.cn
