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視頻標簽：祖暅原理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》吉林省優課
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高中數學人教A版必修二《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》吉林省優課
探索與發現
祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積
一、教學目標
1、介紹祖暅原理，運用祖暅原理推導柱體、錐體、球體體積公式，幫助學生掌握公式，運用公式解決實際問題。
2、動畫演示由祖暅原理推導柱體、錐體、球體體積公式的過程，動畫演示體積公式的正確性。 3、充分利用現代信息技術手段，輔助教學活動，充分調動學生學習積極性，激發學生的學習興趣。 二、學科素養
理論來源于實踐需要，又對實踐具有指導作用
通過實踐觀察，抽象幾何體，并通過對幾何體的現論研究，指導社會實踐，培養學生的抽象思維：即先將實物抽象成數學模型，進行理論研究，再用來指導實踐；通過對幾何圖形的觀察分析，進行必要的數學運算、培養學生的運算能力和實踐能力；通過動畫演示，沖擊學生視覺，激發學習興趣同時，培養學生的創造性能力，用數學眼光來觀察世界，以掌握知識，形成技能，掌握數學思想方法，形成各種能力。
三、重點、難點：
1、重點：運用祖暅原理推導柱體、錐體、球體的體積公式；應用公式解決相關問題。 2、難點：對公式的理解掌握及靈活運用 四、教學過程： 導入：（動畫演示）
當今社會大氣污染現象己經非常嚴重，污染區的人們時刻渴望著能呼吸到新鮮的空氣，如果我們有一天遇到好的空氣資源，用某種容器把空氣收集起來，制成空氣罐頭，人們就可以隨時隨地呼吸到新鮮的空氣。而制造這種容器，我們即要考慮人的肺活量，還要考慮是否攜帶方便。所以就要考慮容器的容積，也就是所盛裝物體的體積問題。我們都知道，求物體的體積問題，是日常生活和生產實踐中的一個常見問題。比如：計算容器的容積以了解所盛物體的體積；生產機器零部件所需原料的體積；機械工程鑄造零件、工程建筑所需原料的多少等等問題。
這堂課，我們利用祖暅原理推導柱體、錐體、球體的體積公式。 （動畫演示祖暅原理） 1、祖暅原理
祖暅 ，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣人，南北朝時代的偉大科學家。在數學上有突出貢獻，他在實
踐的基礎上，于5世紀末提出下面的體積計算原理：
祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”。“勢”即是高，“冪”是面積。意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。
祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。
（動畫演示） 2、柱體和錐體的體積
設有底面積都等于S，高都等于h的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使它們的下底面在同一個平面內。根據祖暅原理，可知它們的體積相等。由于長方體的體積等于它的底面積乘以高，于是我們得到柱體的體積公式
V柱體=Sh
其中S是柱體的底面積，h是柱體的高。
設有底面面積是S，高都等于h的兩個錐體，使它們的底面在同一平面內。根據祖暅原理，可推導出它們的體積相等。
事實上，對于一個任意的錐體，設它的底面積為S，高為h，那么它的體積應等于一個底面積為S，高為h的三棱錐的體積，即這個錐體的體積為
V錐體=1/3 Sh
（動畫演示） 3、球體的體積
取一個底面半徑和高均為R的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一個水平面上，用任意平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環面。
設截面與底面的距離為L，截半球所得圓面的半徑為R，設截面面積為S1則r2=R2—L2 ，于是截面面積為
S1=
=
(R2—L2) =
R2—
L2.
由上述可知：圓環大圓半徑為R,小圓半徑為L,設其面積為S2，則S2=
R2—
L2.
所以，S1= S2。截面面積相等，根據祖暅原理，這兩個幾何體的體積相等。即
1/2V球=
R3—1/3
R3= 2/3
R3
所以球的體積
V球=4/3
R3. 例1、（動畫演示）在一個底面面積為S，高為h的圓柱中，挖去一個以圓柱上底面為底面，頂點在下底面圓心上的圓錐，求剩下部分的幾何體的體積。
例2、（動畫演示）將一個長方體沿相鄰三人面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的
體積與剩下的幾何體體積的比。
例3、（圖片）己知圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。 求證：球的體積等于圓柱體積的2／3;
例4、（動畫演示）己知一個球的內接正方體的棱長為2，求球的體積。
思考題：己知一個半徑為R半球內，有一個內接正六棱錐，棱錐底面在切面的大圓上，求六棱錐的體積。
小結：（動畫演示）這堂課我們利用祖暅分別推導出了柱體、錐體還有球體的體積公式。前題是我們知道長方體的體積公式，然后由長方體的體積公式和祖暅原理，推出了一般柱體的體積公式，接著又根據三棱柱的體積公式，推出了三棱錐的體積公式；接著用祖暅原理推出了一般錐體的體積公式，然后又利用圓柱體和圓錐體的體積公式推出了球體的體積公式。
利用本節課學到的知識，我們我們己經可以計算一些呈幾何體形狀的物體的體積或容器的容積，比如我們前面提到的制做空氣罐頭的容器的容積。一個容器如果能分割成多個比較規范的幾何體，可以分別求各個幾何體體積然后再求它們的和。便可求得整個容器的容積，也就是所能裝物體的體積；如果容器不規范，我們可以用實驗去驗證它的容積。
課后作業
教材《復習參考題》B組1、2、4題。
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