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視頻標簽：立體幾何中的平行問題
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教B版必修二第一章專題立體幾何中的平行問題_內蒙古省級優課
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高中數學人教B版必修二第一章專題立體幾何中的平行問題_內蒙古省級優課
專題 立體幾何中的平行問題
（普通高中課程標準實驗教科書人教B版--必修2）
Ⅰ、三維目標
1.知識與技能：
（1）掌握線線，線面，面面平行的證明方法。
（2）綜合運用直線與平面，平面與平面平行的判定定理和性質定理解決空間中的平行問題。
（3）會根據題意構造輔助線將問題進行轉化。 2．過程與方法：
采用啟發式，引導式，參與式以及講練結合的教學方法。通過層層遞進的教學活動，引導學生獨立思考和探究。加強學生空間觀念的培養。在學生遇到問題時，適時指導，講解，讓學生體驗問題解決的思維過程，歸納總結常用方法。 3.情感、態度與價值觀：
培養學生的識圖能力和空間想象能力，以及培養學生嚴謹的表達能力和“言之有理”的邏輯思維習慣。 Ⅱ、教學重點及難點：
重點：直線與平面，平面與平面平行的判定定理，性質定理的綜合應用。
難點：構造輔助線將問題進行轉化。 Ⅲ、課前預習內容：
線面平行的判定定理和性質定理 ，面面平行的判定定理和性
定理。 Ⅳ、教學過程：
一．點擊高考（近三年全國二卷（文數)高考真題）
1.（2019年17題）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
2
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（垂直問題）
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐11EBBCC的體積．（體積問題） 2.(2018年19題）如圖，在三棱錐
中，
，
， 為
的中點． （1）證明：平面；（垂直問題）
（2）若點在棱上，且
，求點到平面
的距離．（距
離問題）
3.（2017年18題）如圖，四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,1
,2
ABBCADBAD
90.ABC
（1）證明：直線BC∥平面PAD;（平行問題）
（2）若△PCD的面積為27，求四棱錐PABCD的體積.（體積問題）
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圖(1)
圖(2)
通過近三年的高考題，我們看到高考中出現的頻率高的考點有平行問題，垂直問題，體積問題，距離問題。 今天我們來看平行問題： 二．例題講解
例1: 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//DC,AB=6,DC=3,M是PA的中點.求證:DM∥平面PBC.
解：(法一)證明：(圖1）取PB中點N,連接MN,CN.
在△PAB中,∵M是PA的中點,∴MN∥AB,且MN=3.又AB∥DC,且DC=3,∴MN//DC且MN=DC,∴四邊形MNCD為平行四邊形,∴DM//CN.又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.
提問：上面我們應用的是直線與平面平行的判定定理進行的證明，還有沒有其它的方法？
(法二)證明:（圖2）取AB的中點E,連接ME,DE.
在梯形ABCD中,BE//CD且BE=CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形, ∴DE∥BC.又DE ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.又在 △PAB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴ME∥平面PBC, 又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME, ∴DM∥平面PBC.
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提問：我們現在來回顧一下證明線面平行的方法，有哪些方法呢？ 1. 線面平行的判定定理:如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。
2.利用面面平行的性質定理證明線面平行。如果兩個平面平行，則一個平面內的直線與另一個平面平行。
下面我們來看一下線線平行，線面平行，面面平行的關系：
提問:通過上圖我們看到：證明線面平行有兩個方向。一個是線面平行的判定定理，一個是面面平行的性質定理。線面平行是把立體幾何中的平行問題轉化為平面幾何中的平行問題的中轉站。兩種方法的實質是證明線與線平行，那么證明線線平行有哪些方法？ 1.轉化為平面幾何中的平行問題。常用的方法有利用平行四邊形的性質，利用三角形中位線定理,平行線的傳遞性，還可以用同位角或同旁內角進行證明。
2.從上圖中我們看到，證明線線平行還可以用線面平行的性質定理，面面平行的性質定理。
（1）線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩個平面的交線平行。
（2）面面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
3.還可以轉化為垂直于同一平面的兩條直線平行，兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例（課本46頁例5）。 下面我們來看這道例題; 例2.如圖（1），在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是CC1,B1C1,C1D1的中點.求證:平面PMN∥平面A1BD.
線線平行
線面平行
面面平行
判定定理
性質定理
判定定理
性質定理
性質定理
判定定理
證明：（圖2）連接B1D1,B1C.
∵N,P分別是B1C1,C1D1的中點,∴PN∥B1D1.∵B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又PN ⊄平面A1BD,BD⊂平面A1BD,∴PN∥平面A1BD.同理,MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N,PN⊂平面PMN,MN⊂平面PMN,∴平面PMN∥平面A1BD.
提問：我們這道題是用面面平行的判定定理證明面面平行。在用面面平行的判定定理證明時，關鍵我們要注意哪點？
面面平行的判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。
兩直線相交，必須是兩相交直線同時與已知平面平行。它的實質也是證明線線平行。 感悟再提升：
我們歸納為：一個中心，就是以線線平行為中心，解決兩個問題，即證明線面平行，面面平行。一個主要方法。
三．當堂練習：1.如圖（1）,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,M是PC的中點,在DM上取一點G,過點G和直線AP作平面
GAP,平面GAP交直線BD于點H.求證:AP∥GH.
一個中心
以線線平行為中心
解決兩個問題
線面平行問題 面面平行問題
主要方法 轉化為平面幾何問題
圖（1） 圖（2）
證明：（圖2）連接AC,交BD于點O,連接MO.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴O是AC的中點,∵M是PC的中點, ∴MO∥PA.又∵MO⊂平面BDM,PA ⊄平面BDM,∴PA∥平面BDM. ∵平面GAP∩平面BDM=GH,PA⊂平面GAP,∴AP∥GH. 以上這道題是我們應用線面平行的性質定理證明線面平行。
V.板書設計：
專題 立體幾何中的平行問題 一.線線平行，線面平行，面面平行之間的關系
二．常用方法
三．例題板書（板書例1的證明過程) VI.課堂小結：
這節課我們主要講了立體幾何中的平行問題，以線線平行為中心解決兩個問題，有幾個方法，一個注意點。即證明線面平行問題時，相交是關鍵。
Ⅶ、作業布置： 1.如圖（1）所示的是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為平面ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3,點O是AB的中點,求證:OC∥平面A1B1C1.
線線平行
線面平行 面面平行
判定定理 性質定理 判定定理 性質定理
性質定理
判定定理 圖（1） 圖（2）
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圖（1）
圖（2）
圖（2）
證明：如圖（2）,作OD∥AA1交A1B1于點D,連接C1D,則OD∥BB1∥CC1.因為O是AB的中點,所以OD=1/2(AA1+BB1)=3=CC1,則四邊形ODC1C是平行四邊形,因此有OC∥C1D,又C1D⊂平面C1B1A1且OC ⊄平面C1B1A1,所以 OC∥平面A1B1C1.
2.如圖(1),在四面體A-BCD中,M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ∥平面BDC。
證明：如圖(2),取MD的中點F,連接QF,PF.因為M是AD中點,所以AF=3FD.因為P是BM中點,所以PF∥BD.又AQ=3QC且AF=3FD, 所以
QF∥CD,因為PF∩QF=F,BD∩CD=D,所以平面PFQ∥平面BDC, 且PQ⊂ 平面PQF,所以PQ∥平面BDC。 3.作課本46頁例5. VⅢ.課后思考：
下一節課我們將講授空間幾何中的垂直問題，大家可以類比這節課的內容作一下復習整理。
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