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視頻標簽：二項式定理,楊輝三角
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教版高中數學選修2-3第一章《1.3.1二項式定理 再探“楊輝三角”》福建省 - 泉州
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人教版高中數學選修2-3第一章《1.3.1二項式定理 再探“楊輝三角”》福建省 - 泉州
人教版選修2-3第一章第三節
再探“楊輝三角”
【教學目標】 知識與技能：
1、進一步探索楊輝三角中行、列數字的規律、特點及其與組合數性質、二項展開式系數性質之間聯系，并能歸納這些數字規律；
2、探索楊輝三角中行、列數字的規律、特點與其它數學對象之間的聯系，讓學生經歷數學發現、親身體驗數學探究的激情和喜悅，激發學生學習興趣，提高應用知識的能力，為數學探究、數學創造打下了堅實的基礎.
方法與過程：
1、培養學生獨立思考與相互交流結合的意識，使學生基本掌握“觀察——分析——猜想——證明”的科學推理方法；運用了從特殊到一般的歸納猜想與證明的思想方法； 2、“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”——學會從多角度看問題，
3、通過探究楊輝三角與縱橫路線圖，培養學生形成知識間相互聯系的意識，并形成探究知識、建構知識的研究型學習習慣，為進一步學習作好準備.
情感、態度與價值觀：
1、了解我國古代數學的偉大成就，培養學生的愛國主義精神．
2、在知識的應用中，培養學生數學應用和科學研究的意識和能力，以及樂于探索、勇于創新的科學精神.
【教學重點、難點】
重點：楊輝三角的數或形規律的發現
難點：引導學生發現楊輝三角中的行、列的數字規律，并運用數學知識總結。
【教學方法與教學手段】
引導探索——合作交流——發現 計算機輔助教學
【教學過程】
一：引經據典，步入新課
(展示圖片) 今天這節課，我們從一幅圖畫開始，大家認識這兩個圖案嗎？這是我們華夏傳說中的河圖、洛書。“河出圖，洛出書，圣人則之”，伏羲根據河圖演繹了八卦，大禹依據洛書劃分了九州。由此可以說河圖、洛書是我們華夏文化的起源。可你們知道嗎，河圖、洛書其實也是世界上最古老的數陣。
什么是數陣呢？將數字按照一定順序組合成圖形就是數陣。
今天這節課，我們就一起來研究一下數陣。當然，對于一個新的內容，我們需要一個研究的載體。所以，我們從一個特殊的三角數陣開始。
大家認識這個數陣嗎？(生:楊輝三角)在古代，我們稱它為“開方作法本源圖”。而在現代，它還有另外一個名字——楊輝三角。
楊輝三角在整個數學史中扮演著重要的角色：北宋的賈憲用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高階等差級數（垛積術）；牛頓用它算微積分；華羅庚老先生思路更廣，差分方程，無窮級數都談到了。
那么，我們又能從楊輝三角中探尋到哪些秘
人教版選修2-3第一章第三節
密呢？讓我們一起來研究一下。 二：復習回顧，總結已知
楊輝三角在我們學習二項式系數的性質時已經有所接觸。那么,我們已經學習過楊輝三角的哪些性質呢？我請一位同學來回答一下。 楊輝三角的基本性質：
1°與二項式定理的關系：楊輝三角的第n行就是二項式展開式的系數列
rn
C。
2°對稱性：楊輝三角中的數字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”，即。 3°遞推性：楊輝三角除斜邊上1以外的各數，都等于它“肩上”的兩數之和，即。 4°增減性與最大值: 從第一項起至中間項,二項式系數逐漸增大,隨后又逐漸減小；當n為偶數時，2nn
C最大；當n為奇數時，1
122nnn
n
C
C
最大。
三：小組合作，共探新知
當然，在研究之前，我們首先需要來一起探討一下，我們該如何去研究楊輝三角呢？ 蘇軾有一首詩對我很受啟發。“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。”這是蘇軾的《題西林壁》。這首詩告訴我們需要從不同的角度看待一項事物。我們研究楊輝三角時，是不是也可以從這些“橫看”、“側看”、“遠看（整體）”、“近看（局部）”這幾個角度出發呢？下面，就讓我們從這四個角度出發，用數字格式的楊輝三角觀察規律，用組合數格式的楊輝三角總結規律，并加以證明。
..........
.......... 1
8285670562881172135352171161520156115101051146411331121111 01210012111121110166
5646362616065545352515054
43424140433
2313032212021
10
1
..
..........1
n
nnrn nnnnnn-r n-rn-n-n-n C C ... .. C . C CC C... C C ... C C CC C C C C C CC C C C C CC C C C CC C C CC C CC CC
（接下來為6分鐘左右的學生探討）
四：個人展示，分享所得
第一位（側看）:
生：我們組發現： 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15
每一斜行前n個數加起來都是下面一行的第n個數。 師：你們是如何發現這個結論的？
生：我們是從求和的角度來研究的，既然橫的一行相加存在規律，那么斜的一行加加看是不是也可以得到一些結論？
師：你能用組合數來表示么？簡單點，第二斜行相加用組合數來表示一下。
生：2
1114131211...nnCCCCCC
師：那么推導到一般情形呢？
生:
師：非常好！
第二位（橫看）:
生5:我們發現單純用數字的角度去看的話，每一行都是11的次數。
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人教版選修2-3第一章第三節
第一行11的0次，第二行11的1次，第三行121是11的2次，我們驗算了一下，11的3次正好是第四行1331，因此我們猜測將楊輝三角第n行數字依次寫下來是11的n-1次。
師：11的1次為11，11的2次121， 11的3次1331好像確實是這樣。 那么我們一起來幫他們驗算一下11的4次？ 生：14641
師：那么11的5次是多少呢？我們來一起算一下。 生：11的5次為161051。
師：太可惜了，這是一個多么美好的結論啊，問題出在哪兒呢？我們一起來看一下，同學們，我們11的4次是如何計算的啊？總不會是11×11×11×11得到的吧？
很顯然不是，我們是通過1331×11計算得到的。從這里我們會發現，14641其實是兩個1331錯位相加得到的。那么11的5次是不是也是由兩個14641錯位相加得到？而在這個過程中，出現了一個問題，大家發現了沒有？
生：進位了！
師：非常好，這里產生了進位，于是就出現了問題。所以我們是不是只需要把這個結論改一改，將楊輝三角中每一行數字錯一位疊加所得到的結果是11的若干次。
第三位（近看）：
生:既然楊輝三角每一行的和存在規律，那么每一行的平方和是不是也有規律呢？通過計算，第二行的平方和為2，第三行的平方和為6，第四行的平方和為20，這些數都能在楊輝三角中找到。我們就得到結論：楊輝三角中每一行數的平方和都是楊輝三角中的數。
師：能用組合數來表示嗎？
生：n
nnnnnCCCC222120)(...)()(
師：又是一個非常好的結論！通過前面幾行驗證，我們發現確實是這樣。那么，這個結論是否正確呢？我們該如何去證明呢？由于時間的關系，我們這里不再做展開。希望大家在課后做進一步的研究與探討。
第四位（斜看）：
生：我們組是從斜的角度去看：楊輝三角中斜的每一行都是一個數列，第一行是一個常數數列，第二行是等差數列，第三行也是一個數列，我能寫出他的通項公式。
師：這個結論看上去簡單，卻是一個非常好的結論！通過觀察，我們發現每一斜行都是一個特殊的數列。
第五位（遠看）：
生：將楊輝三角30°角斜行加起來得到數列1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 、144 …每一項都是前兩項之和。
師：是如何發現的？
生：通過書上的提示得到的。
師：查找資料也是一種非常好的研究方式。
五：楊輝三角與縱橫路線圖
“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？
六：教師補充，再得新知 那么我這邊還有一些有趣的結論。
其實我們在研究過程中，不要被自己的慣有思維所約束。我們為什么一定要把楊輝三角放成等邊三角的形式呢？有些人就不這么認為，他把楊輝三角擺放成直角三角，也得到了一些有趣的結論。再比如，我們在看數的時候，為什么一定要從數值的角度去研究呢？是不是也可以從正負的角度或者奇偶的角度去研究呢？當我將楊輝三角中的奇數改為“1”，偶數改為“0”。大家看，是不是會得到一個有趣的圖形？其中第2的k次行均為奇數，奇數行的下面一行除兩端之外均為偶數。
并且，我將楊輝三角中的“1”用線段連接起來，就可以得到一個有趣的三角形——歇爾賓斯基三角。
A
B
人教版選修2-3第一章第三節
這是一個自相似圖形，對歇爾賓斯基三角進行拓展：謝爾賓斯基塔（三棱錐）——謝爾賓斯基地毯（正方形）——謝爾賓斯基海綿（正方體）。我們就誕生了一門新的數學分支——分形數學。
分形數學與我們的生活息息相關，比如說股票的預測、氣象預報等。并且有許多優美的圖案，這些圖案并不是出自藝術家的手筆，而是數學的杰作！
這就是數學之美，數學中充滿了美！再比如剛才我們得到的斐波那契數列，它也有許多優美的內容。關于斐波那契數列，我們會在下一堂課中專門來介紹它。 七：探究小結,盤點新知
1、運用了聯系、類比的觀點看問題；
2、運用了從特殊到一般的歸納猜想與證明的思想方法； 3、“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”——學習了從多角度看數陣； 4、錘煉發現問題、提出問題、解決問題的能力 八：作業：
最后，我有兩個任務。通過今天的研究，我們已經把楊輝三角的秘密都找到了嗎？（生：沒有）當然沒有，我在課堂的開始就講過，賈憲用它手算高次方根，那么它是如何計算的呢？牛頓的微積分與它有一定的關聯，關聯在哪呢？我希望大家課后查找資料，并閱讀華羅庚先生的《從楊輝三角說起》，去尋找這些答案，看看楊輝三角中還有哪些我們沒發現的秘密。
同時，運用我們今天所學的探究方法，研究萊布尼茨三角，你能從個數陣中發現哪些秘密呢？
“楊輝三角”中的一些秘密
班級____姓名_____
閱讀材料：楊輝三角的歷史
《易·系辭上》：“河出圖，洛出書，圣人則之。”相傳，伏羲在黃河邊思考天地的至理，突然，一匹龍馬從黃河中奔騰而出，伏羲發現，龍馬的身上又一幅圖畫，伏羲從圖中領悟了八卦，這幅圖就是傳說中的河圖。大禹在治理洪水時，有一只大烏龜從洛水中浮出，背上刻有紋理，大禹依據這些紋理劃分了九州，這些紋理就是洛書。河圖，洛書是我們華夏文化的起源，同時，他們也是世界上最古老的數陣。數陣的概念與數列很相似，我們將數字按一定的順序排列成圖形就構成了數陣。
楊輝三角就是一個特殊的數陣，其最早出現在北宋賈憲的“開方作法本源圖”中，南宋時期的楊輝在他的著作《詳解九章算術中》引用了這幅圖，并注明了“出釋鎖算書，賈憲用此術”。元朝的朱世杰對楊輝三角作了進一步研究，從中推導出了高階差分數列的求和。
在歐洲直到1623年以后，法國數學家帕斯卡在13歲時發現了這個三角,所以“楊輝三角”在國外又被稱為“帕斯卡三角”。世界著名數學家華羅庚在他的《從楊輝三角談起中》將其稱為“楊輝三角” ，于是才有了“楊輝三角”的說法。近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”（Chinese triangle）
楊輝三角在整個數學史中扮演著重要的角色，宋朝的賈憲用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高階差分數列（垛積術），牛頓用它算微積分。,華羅庚老先生思路更廣，差分方程，無窮級數都談到了。同學們，我們又能發現楊輝三角的哪些秘密呢？
一:回顧楊輝三角
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第8行_________________________________________
……………………………..
我們已經學習過楊輝三角的哪些性質？
______________________________________________________________
______________________________________________________________
三:初探楊輝三角
研究角度一：
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
第14行______________________________________________________________________
……………………………..
第n+1行_______________________________________________________________________
歸納：用組合數表示楊輝三角：
猜想：
結論1：_______________________________________________________________________
結論2：_______________________________________________________________________
結論3：_______________________________________________________________________
結論4：_______________________________________________________________________
結論5：_______________________________________________________________________
證明：
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
四:再探楊輝三角
研究角度二
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
提示：將楊輝三角擺放成直角三角形，談談你們組的發現
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研究角度三
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 6 10 15 21 28 36
1 4 10 20 35 56 84
1 5 15 35 70 126
1 6 21 56 126
1 7 28 84
1 8 36
1 9
1
提示：將楊輝三角擺放成以上形狀，談談你們組的發現
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五:三探楊輝三角
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
提示：將楊輝三角中的奇數涂黑，又會有怎樣的發現？
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六:小結與收獲：通過本節課，你對數陣的研究有什么心得？
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七:課后探索
1查找資料，并閱讀華羅庚的《從楊輝三角說起》，看看楊輝三角中還有哪些我們沒發現的秘密。
2用我們今天所學的探究方法，研究萊布尼茨三角，你能從個數陣中發現哪些秘密呢？
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
