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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學蘇教版選修2-3第1章《1.5.1二項式定理》江蘇省- 昆山
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高中數學蘇教版選修2-3第1章《1.5.1二項式定理》江蘇省- 昆山
《1.5.1二項式定理》教學設計
一、 課題分析
二項式定理是初中學過的多項式乘法的繼續，定理的證明是計數原理的應用。定理的探索過程將歸納推理與演繹推理有機結合起來，不僅可以猜想到一般性的結果，而且可以啟發我們發現解決問題的一般方法。是培養學生數學探究能力的極好的載體。 二、 學情分析
認知分析：學生的認知結構中已經有了二項式的平方、立方的有關知識，初步具備了乘方、多項式運算、組合數等相關的知識儲備，能夠在教師的引導之下通過小組探究，理解并掌握本節課對二項式定理的推理演繹過程。
能力分析：學生能夠運用所學的知識解決簡單問題——求組合數，但歸納演繹能力有待于進一步提高。
三、 教學目標 1． 知識目標
了解二項式定理的推理過程，掌握二項式定理和二項展開式的通項公式，并能正確運用它們解決有關問題 2． 能力目標
培養學生理解分析、歸納猜想、抽象概括、演繹證明等思維能力 3． 情感目標
通過二項式定理探究過程激發學生的求知欲，增強學生的學習熱情，使學生體會數學中發現、分析和解決問題的一般方法 四、 教學重難點
重點：了解二項式定理的推理，會靈活運用二項式定理 難點：二項展開式的獲得 五、 教學過程設計
本節課應屬于概念+操作的課型，因此，授課中務必要解決以下幾個問題： （1） 為什么要使用二項式定理？ （2） 什么是二項式定理？
（3） 二項展開式是怎么獲得的？ （4） 什么時候使用二項式定理？
（5） 怎樣正確使用二項式定理及其通項公式？ 基于此，本節課設計了以下幾個環節
（一） 創設情境 引入課題 師（幻燈片上打出圖片）：同學們知道他是誰？是的，他就是牛頓，被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一，他不僅是一位物理學家，還是一位偉大的數學家，他在數學上第一個偉大的發現就是我們今天要學習的內容---二項式定理（板書課題），今天就讓我們沿著大數學家牛頓的足跡重溫他探索發現二項式定理的歷程，牛頓是怎么樣發現二項式定理的？
情景導入：1664年冬，年僅22歲的牛頓研讀沃利斯博士《無窮算術》，他發現：
()2
222abaabb+=++ ()
3
322333abaababb+=+++
()
4
ab+=_____________________
………………………………（提問）
研究展開后有多少項，每一項是什么樣的，每一項的系數是多少 （二）自主探究 建構概念 提問，引導學生觀察、討論
用組合數的方法重新得到()2
ab+、()3
ab+、()4
ab+的展開式
于是猜出：011()......nnnnn
nnnabCaCabCb-+=+++
師：這僅僅是猜想，數學是嚴密的，猜想的結論需要證明，我們如何證明？ 生：要說明三點：一是項數，二是項的形式，三是項的系數
師：可是那么多項一項一項地說明是不是很麻煩？你有簡單的辦法嗎？
提示一下，這么多項你能不能用一個統一的式子表示出來？ 比如：選r個b時，對應的式子是什么？
生：rnrr
nCab-（老師補充完整上式）
師：我們發現r 取不同的值，它可以表示展開式中不同的項，我們把它叫做通項�，F在你有更簡單的證明方法了嗎？
生：因為每一項都是n個字母相乘，從n個括號中取r個b有r
nC種取法，其余括號取a, 有n-r個a，只有一種取法，所以第r項就是rnrrnCab-
師：r的變化是從幾到幾？
生：從0到n
師：很好！你用通項代替一項一項的說明，體現了數學的簡單之美，只是rnrr
nCab-是
第r項嗎？
生：是第r+1項
師：這就是牛頓發現的二項式定理，右邊的多項式叫做()n
ab+的二項展開式，通項第r+1項通常用符號Tr+1表示
觀察二項式的展開式的特點
下面通過3個例題，來體會一下二項式定理的運用. （三）例題精講 強化概念
例1．求5
(12)x-的展開式 訓練（1）求展開式中含3
x的項 訓練（2）求第5項的二項式系數和系數 例2．求6
1()2xx
-
的二項展開式中的常數項 例3．化簡：4
3
2
(1)4(1)6(1)4(1)1xxxx-+-+-+-+
（通過小組討論、口答、板演等方式，幫助學生在運用中進一步理解二項式定理，深化對公式的認識和活用） （四）拓展訓練 提升能力
在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx-----的展開式中含4
x項系數是____
（五）課堂小結 鞏固概念
師：同學們想一想，本節課你有些什么感受呢？
生：本節課我們順著數學家牛頓的足跡，重溫了他發現二項式定理的歷程。知道了二項式定理以及它的項數、項、系數的特點，還學會了公式的正用、逆用 師：課后你們還想進行哪些拓展探究？ （激發學生課后進一步探究的欲望）
師：牛頓還以二項式定理作為基石，發明出了微積分，當然他還有很多發明，相信大家的探究會使你的視野更開闊。 六、教學反思
在教學過程中，要重視數學歷史背景，以及學生思維的成長。通過情境激發學生的好奇心，學習動機，讓學生感悟到科學研究其實并不是什么神秘的事情，也就是遇到問題不輕易放棄，永攀高峰。學生的思維可以在相互討論中，可以在老師引導性的問題下被促發，從而想辦法去探究問題，解決問題。我們都習慣于回歸到特殊情形，由特殊到一般，平凡的方法就能解決不平凡的問題，讓學生共同探究并展示探究成果，目的在于加強學生對教學過程的參與程度。推出關鍵環節的一般規律后，學生寫出展開式，通過留白讓學生思考能不能用一個統一的形式把規律表示出來，目的在于鍛煉學生的思維嚴密性。提出適當的問題，并提出思維要求，可以讓學生盡快投入到思維活動中。這就要求教師把課做出層次分明的分解，并選擇適當的問題，用問題帶動學生深入思考，引導學生用學過的知識、方法解決新的問題，并獲得新的發展。本節課也想在這方面作些研究。
（一） 創設情境 引入課題 師（幻燈片上打出圖片）：同學們知道他是誰？是的，他就是牛頓，被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一，他不僅是一位物理學家，還是一位偉大的數學家，他在數學上第一個偉大的發現就是我們今天要學習的內容---二項式定理（板書課題），今天就讓我們沿著大數學家牛頓的足跡重溫他探索發現二項式定理的歷程，牛頓是怎么樣發現二項式定理的？
情景導入：1664年冬，年僅22歲的牛頓研讀沃利斯博士《無窮算術》，他發現：
()2
222abaabb+=++ ()
3
322333abaababb+=+++
()
4
ab+=_____________________
………………………………（提問）
研究展開后有多少項，每一項是什么樣的，每一項的系數是多少
互動探究 理解概念
師：這僅僅是猜想，數學是嚴密的，猜想的結論需要證明，我們如何證明？ 生：要說明三點：一是項數，二是項的形式，三是項的系數
師：可是那么多項一項一項地說明是不是很麻煩？你有簡單的辦法嗎？
提示一下，這么多項你能不能用一個統一的式子表示出來？ 比如：選r個b時，對應的式子是什么？
生：rnrr
nCab-（老師補充完整上式）
師：我們發現r 取不同的值，它可以表示展開式中不同的項，我們把它叫做通項�，F在你有更簡單的證明方法了嗎？
生：因為每一項都是n個字母相乘，從n個括號中取r個b有r
nC種取法，其余括號取a, 有n-r個a，只有一種取法，所以第r項就是rnrrnCab-
師：r的變化是從幾到幾？
生：從0到n
師：很好！你用通項代替一項一項的說明，體現了數學的簡單之美，只是rnrr
nCab-是
第r項嗎？
生：是第r+1項
師：這就是牛頓發現的二項式定理，右邊的多項式叫做()n
ab+的二項展開式，通項第r+1項通常用符號Tr+1表示
觀察二項式的展開式的特點
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