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在線播放:高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市優課

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視頻簡介:

高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市優課

視頻標簽:兩角差的余弦公式

所屬欄目:高中數學優質課視頻

視頻課題:高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市優課

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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市優課

3.1.1兩角差的余弦公式 
一、教學目標 
(1)知識與技能目標:掌握公式的兩種證明方法:數形結合法與向量法;學會運用分類討論思想完善證明;學會正用、逆用、變用公式。  
(2)過程與方法目標:展開提出問題、分析問題、解決問題的學習活動,讓學生體會從“特殊”到“一般”的探究過程。  
(3)情感、態度和價值觀目標:發揮學生學習的主動性,鼓勵學生大膽質疑、大膽猜想,培養學生的“問題意識”  
二、學情分析 
《兩角差的余弦公式》是第三章第一課時的教學內容,學生已經掌握三角函數和平面向量相關知識,通過三個多月高中學習,富有強烈探索新知的欲望和一定的計算能力和邏輯推理能力,卻在尋找知識與知識間的相關聯系的能力不夠,所以面對該普通班級的學生,本堂課將公式的證明過程放慢了節奏,由此希望學生能夠通過自己的努力收獲成功。 
三、教學重點、難點及關鍵 
重點:兩角差的余弦公式的探究和應用 難點:兩角差的余弦公式的由來及證明 關鍵:學生最大的困惑在于如何得到公式  
四、教學過程 
一、知識回顧,問題引入 快速答出下列三角函數值: 
0000
0
0
sin30,sin45,sin60,cos30,cos45,cos60,
 
知識回顧過度到cos150的值,提出兩角差的余弦是否為余弦的差?利用特殊角帶入否定了這個猜想。 
提問: 
例如,α=60°,β=30°,可以發現,左邊=cos(60°-30°)=cos30°

,右邊=cos60°-cos30°=

.顯然,對任意角α,β,cos
(α-β)=cosα-cosβ不成立. 
 活動引入,體
現數學樂
趣,激發學生的學
習熱情。 
   
 
                    
             
                    
                             
二、探尋特例,合作探討 
從特殊情況去猜測公式的結構形式.     令cos)cos()cos(,則: 
令

sin)2
cos()cos(,2


則: 
分析:可見,我們的公式的形式應該與sinsincoscos和均有關系?他們之間存在怎樣的代數關系呢?會不會是“+”、“-”、“”、“÷”?請同學們根據下表中數據,相互交流討論,提出你的猜想. 用具體值檢驗猜想的合理性. 
令30,60則2
330cos)3060cos()cos( 
三角函數 60cos 30cos 60sin 30sin 三角函數值 
2
1 23 2
3 2
1 令30,120則90cos)30120cos()cos(=0 三角函數 120cos 
30cos 
120sin 
30sin 
三角函數值 
2
1
 23 2
3 2
1 學生再舉特例進行驗證.(各抒己見) 
   接著再利用單個特殊角的帶入發現公式的組成部分,最后由表格中給出的三角函數值大膽猜想出兩角差的余弦公式。  
三、提出猜想:sinsincoscos)cos( 四、理論證明: 
引導探究:研究三角函數問題,我們常用的一種方法就是利用單位圓,在單位圓中,角的余弦值可用余弦線來表示. 
  
  讓學生體會數學知識的產生、發
展過程.   鼓勵學生發揮想象力,大膽
猜測,然后再去驗證其合理性,增強
學生探索問題、挑
戰困難的勇氣.     
引導學生運用數形結合的思想給出證明. 
 
                    
             
                    
                             
我們先來討論最簡單的情況: 
、為銳角,且 
問題初探:方法一:(利用三角函數線) 證明:在單位圓O中,作OXP1, 交單位圓于點1P,作1
POP, 則XOP.過點P作PM垂直x 軸于M,AOPPA于點1,過點
BOMABA于點作點 ,過點CABPCP于點,作,則: 
cosOA,sinAP,且OXPPAC1 
sinsincoscossincosAPOACPOBBMOBOM 
∴sinsincoscos)cos((、為銳角,且) 幾何畫板展示驗證,銳角范圍外的角等式仍然成立。 
  用三角函數線的證明方法對任意角的推廣很繁難,教材中也未具體推導,
結合學生層次引導學生除了用幾何方法外,用代數方法進行更嚴謹的證明。 問題再探:方法二:(利用向量) 
啟發思考:我們來仔細觀察猜想的結構,等式的左邊是差角的余弦,我們在什么地方見到過類似結構?  (引導學生發現,提出證明方法) (學生:向量的數量積!)    
 
證明:在平面直角坐標系xOy內作單位圓O,以Ox為始邊作角、,它們終邊與單位圓O的交點分別為A、B,則: 
 
加強新舊知識
的聯系.  
    使學生從直觀角度加強
對差角公式結構形
式的認識.  
   讓學生經歷用
向量知識解出一個數學問題的過程,體會向量
方法的作用. 



P1 M B 

A 






y -1 
-1 


B)sin,(cos 
)sin,(cos  


0 A 
                    
             
                    
                                  OA=)sin,(cos,OB =)sin,(cos 
)sin,)(cossin,(cos|
|||)cos(
OBOAOBOA 
               =sinsincoscos 
∴)cos(=sinsincoscos  (0≤≤) 
方法小結:對比一下兩種證明方法,你認為哪種更簡單?向量在我們數學探究過程中是一種非常簡潔有效的工具,在今后的學習中我們還將繼續領悟向量在數學探究過程中的魅力! 五、推廣完善公式 
思考:作為兩向量的夾角,有沒有限制條件?還會有哪些情況?我們的結論還會成立嗎?怎樣給出證明?(展示幻燈片,引導學生找到
與夾角之間的關系) 
 
推廣完善:令為OA、OB的夾角, 
發現 存在,使得、Zmkmk22或 無論哪種情況,都有cos)cos( 
sinsincoscoscos)cos(即 
小結:兩角差的余弦公式: sinsincoscos)cos( 
(其中、為任意角,簡記為)(C) 
     
 
    
 運用分類討論思想.完善證明培養學生實事求是的科學態度.    
  要求學生對公式的形式加以
分析,體會數學中的對稱
 
                    
             
                    
                              
3.1.1 兩角差的余弦公式 
                  公式展示 
  證明 
1三角函數線法方法:     2向量法         角的推廣       三.例1 ,變1    
例2,變2   
六、知識運用 
1、解決引例中的問題:求cos15°的值. 
的值嗎?、你會求變式75sin1 
2、公式的逆用:的值求
15sin23
15cos21 
的值、求變式15sin15cos2 
3.學以致用:已知,13
5
cos),,2(,54sin
是第三象限角, 求)cos(. 
(運用公式時應根據角的范圍,正確確定兩角正、余弦值的范圍) 七、小結反思,公式推廣 
1、知識性內容的小結,學生總結本節課學習的基礎知識及應用的數學思想(數形結合、轉化與化歸)公式探究的一般步驟: 
特殊→猜想→證明 
2 、在運用兩角差的余弦公式時應注意: 
(1)根據角的范圍,確定兩角正、余弦值的正、負. (2)適當逆用公式,可達到化簡計算的目的. (3)靈活選取兩角的形式,活用公式. 
最后提出問題:適當變換兩角差的余弦公式中兩角的形式,例如取,你能得到哪些結論?
cos?
 八、作業:課后練習題 美. 學生運用所學解決實際問
題.對逆用公式解題加深認識。 活用公式,加深學生對公式中兩角形式變化的認識,強化整體思想.   課后思考為下節課
做鋪墊

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