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視頻標(biāo)簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_河北省 - 邯鄲教學(xué)設(shè)計(jì)
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高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_河北省 - 邯鄲教學(xué)設(shè)計(jì)
§3.1.1 兩角差的余弦公式
教學(xué)目標(biāo)：
-
引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，并強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力以及邏輯推理能力。
-
能熟練運(yùn)用兩角差余弦公式進(jìn)行正向、逆向的的求值、化簡(jiǎn)和證明。
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差的余弦公式，為后面三角函數(shù)的十一個(gè)公式的推導(dǎo)打好基礎(chǔ)。
難點(diǎn)：兩角差余弦公式探索過程的組織和適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。
教學(xué)過程：
結(jié)合熱點(diǎn)時(shí)事——釣魚島問題，命制題目，在上課之初調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣。
某天，我方海監(jiān)船正在與釣魚島C相距30海里的A處巡邏，發(fā)現(xiàn)日方船只出現(xiàn)在D處，如圖所示：∠CAD=45°,∠CAB=15°,∠ABD=90°，請(qǐng)你設(shè)法計(jì)算出日方船只距離我海監(jiān)船的距離AD.
解：AD = 60 cos15°
在此處要求學(xué)生進(jìn)行分組討論。
在討論過程中，學(xué)生有可能想到其他方法，比如：利用平面幾何知識(shí)，過C作AD的垂線，垂足為E，則得到兩個(gè)特殊的直角三角形。可利用邊角關(guān)系求出AD。但此方法和本次教學(xué)內(nèi)容不符，因此，對(duì)提出這類方法的同學(xué)及時(shí)進(jìn)行鼓勵(lì)、表揚(yáng)，并引導(dǎo)學(xué)生回到原來的知識(shí)探索過程中。此題需要用到cos15°，由此展開新課。
思考：不借助計(jì)算器如何求cos15°的值？
cos15°=cos（60°－45°）＝ cos60°－ cos45° ?
顯然是不成立的。等號(hào)左側(cè)大于零，而右側(cè)則小于零。
這里15°的表示方法有很多，可以表示為60°－45°，45°-30°，還可以是
，甚至是
等等，要把學(xué)生引導(dǎo)到前兩種情況中。當(dāng)學(xué)生提出后面的情況時(shí)，應(yīng)對(duì)學(xué)生提出表揚(yáng)，并指出后面的表示是借助倍角公式和半角公式來解決問題，但倍角公式和半角公式推導(dǎo)的理論依據(jù)是今天正在學(xué)習(xí)的兩角差的余弦公式。
思考：cos（60°-45°）到底應(yīng)該用45°和60°的三角函數(shù)值怎樣表示？更一般地，cos(α-β)與sinα,cosα, sinβ,cosβ之間的具體關(guān)系能找出嗎？
提出問題：我們都知道，數(shù)形結(jié)合可以讓問題更直觀，更容易讓我們找到問題各部分的聯(lián)系，從而形成解題思路，那么三角函數(shù)的“形”能不能用來解決這個(gè)問題呢？三角函數(shù)的“形”又是什么呢？
這里學(xué)生可以翻課本，很容易找到三角函數(shù)線是三角函數(shù)“形”的體現(xiàn)。
三、數(shù)形結(jié)合，探求新知：
首先用三角函數(shù)線來推導(dǎo)。
用三角函數(shù)線推導(dǎo)公式時(shí)，輔助線的添加對(duì)學(xué)生的思維有很高的要求，絕大多數(shù)學(xué)生的思維沒達(dá)到這個(gè)高度。所以這個(gè)內(nèi)容以我制作的課件為主，學(xué)生做到理解就可。
即
教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，以上的推理過程中，角
是有條件限制的，即
均為銳角，如果要說明此結(jié)果是否對(duì)任意角
都成立，還要做不少推廣工作，這項(xiàng)推廣工作的過程比較繁瑣，由同學(xué)們課后作為思考題嘗試一下。
在這里讓學(xué)生明白推廣的工作很繁瑣，學(xué)生就自然會(huì)想有沒有更簡(jiǎn)單，更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法。引用我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過的一句話:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微.”讓學(xué)生對(duì)數(shù)與形的特點(diǎn)更清晰，從而引導(dǎo)學(xué)生回憶剛剛學(xué)過的一種用有序數(shù)對(duì)來表示有向線段的方法“向量”，使引入更加自然。
四、結(jié)合向量，化繁為簡(jiǎn)：
提出問題：我們?cè)賮碚J(rèn)真觀察這個(gè)公式的右側(cè)
，把
、
拿出來作為一個(gè)有序數(shù)對(duì)（
，
），你想到了什么？
因?yàn)橄蛄渴乔耙还?jié)的內(nèi)容，所以學(xué)生很容易想到。如果還有部分學(xué)生無法聯(lián)系起來，可以通過課件展示出α，β終邊在單位圓上的交點(diǎn)的坐標(biāo)，提示找出坐標(biāo)和夾角的聯(lián)系。等大部分學(xué)生能聯(lián)系到數(shù)量積公式時(shí)，把時(shí)間還給學(xué)生，讓學(xué)生自己嘗試證明。
學(xué)生口述，教師板書：在直角坐標(biāo)系
中，以
軸為始邊分別作角
，其終邊分別與單位圓交于
,
，則
,
，
，
由數(shù)量級(jí)的坐標(biāo)表示,
=
，
由數(shù)量積的定義，
=|
||
|
=
所以
=
，
大多數(shù)學(xué)生在這個(gè)問題會(huì)犯思維不完善的錯(cuò)誤，會(huì)把
當(dāng)做兩向量夾角，因?yàn)檎嬲奶剿鬟^程往往不是一步到位的，我們可以先不去理會(huì)其中的細(xì)節(jié)，抓住主要問題進(jìn)行探索，然后再做反思，予以完善。
對(duì)于任意角
都有
此公式給出了任意角
的正弦、余弦值與其差角
的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記為
。有了公式
以后，我們只要知道
、
、
、
的值，就可以求得
的值了。
五、修得正果，口訣速記：
教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式
的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式右邊是“兩角差的余弦”，右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”，可讓學(xué)生結(jié)合結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶，特別是運(yùn)算符號(hào)，左“—”右“+”。
口訣：余(弦)余(弦)正(弦)正(弦)異相連。
六、典型例題，學(xué)以致用：
例1、回到最初提出的計(jì)算日方船只到我方海監(jiān)船的距離AD。
解：
AD=60
=
海里
思考：sin75°等于多少？
解：當(dāng)α在第一象限時(shí)，
當(dāng)α在第二象限時(shí)，
此處設(shè)計(jì)讓學(xué)生上臺(tái)板演。
例2和例3的設(shè)計(jì)是逐層遞進(jìn)，把學(xué)生容易忽略的問題展現(xiàn)的學(xué)生面前，加強(qiáng)印象。
七、舉一反三，提高能力
練習(xí)：求下列各式的值
（1）
變式：
這里解法不唯一，也可以把前面兩個(gè)余弦值換成正弦來計(jì)算。
（2）
變式：
=
八、課堂小結(jié)，知識(shí)升華
1. 學(xué)到了哪些知識(shí)？
①知識(shí)：兩角差的余弦公式。
②方法：數(shù)形結(jié)合、向量法。
③應(yīng)用：兩角差的余弦公式的正用、逆用以及解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。
2.怎么獲得這些知識(shí)？
提出問題，探索緣由，初步證明，完善結(jié)論，熟練應(yīng)用。
作業(yè)：127頁課后習(xí)題2、3、4
板書設(shè)計(jì)：
標(biāo)題
公式
證明過程
例題 |
練習(xí)1
練習(xí)2
練習(xí)3
練習(xí)4 |
教學(xué)反思：
（1）課堂小結(jié)感覺由學(xué)生總結(jié)比由老師總結(jié)效果要好。
（2）對(duì)于學(xué)生回答的問題評(píng)價(jià)不夠，導(dǎo)致對(duì)學(xué)生的激勵(lì)性不
強(qiáng)。下課后還有學(xué)生找我說，老師我上你的課回答問題都對(duì)了，你都沒有表揚(yáng)我。對(duì)于學(xué)生，我一貫認(rèn)為“多肯定比多否定要好的多。”這節(jié)課上沒有做好。
（3）部分學(xué)生的對(duì)比分析，歸納總結(jié)的能力較弱，尤其是對(duì)于公式的變形應(yīng)用上比較明顯，在今后的教學(xué)中要注意加強(qiáng)和培養(yǎng)他們這方面的能力。
通過這節(jié)課的教學(xué)，我受益匪淺，在新課改的浪潮中，不僅要求學(xué)生綜合能力和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，對(duì)老師也提出了更高的要求，作為一名年輕的教師，在今后的教學(xué)中我會(huì)不斷的學(xué)習(xí)，改進(jìn)，和學(xué)生一起拼搏，一起成長。爭(zhēng)取把新課改的工作做得更好。
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