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視頻標(biāo)簽：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1第二章2.2.1《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》山西省優(yōu)課
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高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1第二章2.2.1《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》山西省優(yōu)課
《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計
一、教材分析
本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓相關(guān)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而雙曲線和橢圓同屬圓錐曲線，研究方法類似，因此本課可作為對橢圓研究過程及研究方法的復(fù)習(xí)鞏固，并借此培養(yǎng)學(xué)生對相似知識點的類比學(xué)習(xí)能力。同時，它還為下一步學(xué)習(xí)拋物線打下基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。 二、教學(xué)目標(biāo)
（1）知識目標(biāo)
掌握雙曲線的定義,能建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，推導(dǎo)得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并會利用其方程進(jìn)行簡單應(yīng)用。 （2）能力目標(biāo)
培養(yǎng)學(xué)生實驗、歸納、推導(dǎo)、應(yīng)用的能力，并從中體驗類比思想。
（3）情感目標(biāo)
在引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，解決問題的過程中，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 三、教學(xué)重點 雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 四、教學(xué)難點 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。 五、教學(xué)方法
以問題為載體，學(xué)生活動為主線，以多媒體輔助教學(xué)為手段，利用探究式教學(xué)法，構(gòu)建學(xué)生自主探究、合作交流的平臺。
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六、教學(xué)流程
復(fù)習(xí)回顧，提出問題 → 實驗探究軌跡形狀 → 歸納總結(jié)，得到雙曲線定義 → 推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程→ 簡單應(yīng)用，鞏固新知 →自我小結(jié)，知識內(nèi)化 七、教學(xué)過程
1.復(fù)習(xí)回顧，提出問題
教師：（通過幻燈片）引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程：實驗探究軌跡形狀，得到橢圓定義→建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，推導(dǎo)得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程→橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。
問題1：橢圓的定義是什么？
學(xué)生：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓。其中，兩定點叫做橢圓的焦點，焦點間的距離叫做焦距。
教師：注意以下三點(1)兩定點F1、F2；(2)距離的和等于常數(shù)；（3）常數(shù)＞|F1F2|。
設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)橢圓的定義，為雙曲線定義的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。 問題2： 若橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會是什么？
教師：同畫橢圓的過程相同，我們依舊通過動手實驗的方式得到這種新的軌跡。
學(xué)生：激情高漲，躍躍欲試。
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設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生換個角度考慮問題的發(fā)散思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
2．實驗探究軌跡形狀
實驗1：將學(xué)生每四人分為一組，利用課前準(zhǔn)備好的拉鏈，按照幻燈片圖(A)所示動手實驗：選擇定點F1、F2，將拉鏈拉開一段，其中一邊的端點固定在F1上，在另一邊上取一點固定在F2上，且滿足∣FF2∣<|F1F2|，把筆尖放在M處，隨著拉鏈的逐漸打開與閉攏，筆尖就畫出一條曲線。
學(xué)生：按照要求作圖。
教師：指導(dǎo)學(xué)生作圖，強調(diào)在另一邊上所選的點的位置至關(guān)重要，必須滿足∣FF2∣<|F1F2|。
設(shè)計意圖：通過實踐，讓學(xué)生感知雙曲線的形成過程，提高他們的動手能力。
（結(jié)果展示）
問題1：曲線上的所有點滿足什么共同特征？ 學(xué)生：|MF1|―|MF2|=|F2F |=常數(shù)。
教師：類比橢圓，我們?nèi)詫⑦@個常數(shù)記作2a。
實驗2：使點M到點F2的距離減去到點F1的距離所得的差等于和剛才相同的常數(shù)，按照幻燈片圖(B)所示再作圖，可以得到另一條曲線 。
學(xué)生：按照要求作圖。 （結(jié)果展示）
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問題2：這條曲線上的點又滿足什么共同特征？ 學(xué)生：|MF2|―|MF1|=|F1F|=常數(shù)=2a。
教師：這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支。
問題3：能否用一個式子概括上面兩個等式，從而將雙曲線上所有點的共同特征用符號加以表示？
學(xué)生：||MF1|―|MF2||=常數(shù)= 2a。 設(shè)計意圖：提高學(xué)生歸納、整合的能力。
問題4：對比橢圓的定義，能否給出雙曲線的定義？(幻燈片打出橢圓定義)
3. 歸納總結(jié)，得到定義 學(xué)生：對比、歸納、敘述。
教師:（板書雙曲線定義）平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點
F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距。
其數(shù)學(xué)表達(dá)式為||MF1|―|MF2||=2a或|MF1|―|MF2|=±2a。 4. 推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
教師：類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，接下來我們推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。回憶一下，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟是什么？
學(xué)生：（1）建系；（2）設(shè)點；（3）列式；（4）代入；（5）化簡。
教師：引導(dǎo)學(xué)生按照上述步驟進(jìn)行推導(dǎo)。
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(1) 建系：如圖，以過焦點F1、F2
的直線為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)焦距為2c（c >0）,則F1(- c，0)、F2( c，0)；
(2) 設(shè)點：設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點； (3) 列式：|MF1|―|MF2|= ±2a；
(4) 代入：∵221()MFxcy，222()MFxcy
2222()()2xcyxcya
(5)化簡：(學(xué)生演板）將這個方程移項，兩邊平方得：
2222222()44()()xcyaaxcyxcy
移項，兩邊再平方，整理得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)； 教師：以上推導(dǎo)完全是仿照求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程來進(jìn)行的。
教師：由雙曲線定義知：2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0， 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得 b2x2-a2y2=a2b2，即
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221xyab ，這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 教師：類比焦點在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，如圖所示（幻燈片演示），雙曲線的焦點分別是F1( 0,c) 與F2( 0, ―c)，a、b、c的意義同
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上，這時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？
學(xué)生：思考、回答。
教師：需要注意以下兩點 (1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a>0, b>0, 但a不一定大于b; (2)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c的關(guān)系是b2=c2―a2，不同于橢圓方程中b2=a2―c2。
問題：如何判斷雙曲線的焦點在哪條坐標(biāo)軸上？
學(xué)生：（通過觀察方程和圖象的對應(yīng)關(guān)系）如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。
教師：注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標(biāo)軸上。
設(shè)計意圖：切實掌握不同位置雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征。 5. 簡單應(yīng)用，鞏固新知
例 雙曲線的兩焦點為 F1(―10, 0)與F2 (10, 0) ,點 P(8, 0) 在雙曲線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
教師：講解例題，可采用待定系數(shù)法和定義法解決本題。
解法1 設(shè)雙曲線的方程為 22
221xyab
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由已知得：222641
100aab
2264,36ab
于是，所求雙曲線的方程為22
16436
xy.（待定系數(shù)法）
解法2 由已知得：10c且12218216aPFPF
即 a=8 222
36bca 所求雙曲線的方程為22
16436
xy
.（定義法） 問題：若雙曲線的兩焦點為 F1(0,-10)與 F2(0,10) ,點P(0, 8)
在雙曲線上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又如何？
學(xué)生：口答。
設(shè)計意圖：提高學(xué)生類比學(xué)習(xí)的能力。 練習(xí)：求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
(1) a=4, b=3，焦點在x軸上； (2) 2c=12, a=3 ；
(3) 一個焦點的坐標(biāo)是（―5, 0), 曲線上的點與兩焦點距離之差的絕對值等于6。
學(xué)生：完成練習(xí)，展示結(jié)果，相互交流。 6.自我小結(jié)，知識內(nèi)化
（1）學(xué)生完成下列表格，對比橢圓與雙曲線在定義上的異同，切實掌握兩種圓錐曲線在不同坐標(biāo)系下對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及焦點位置，明確a、b、c之間滿足關(guān)系的不同之處。為利用相關(guān)知識解決具體問題打下基礎(chǔ)。
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橢圓
雙曲線
定義 12122(2)MFMFaaFF
12122(2)MFMFaaFF
方程
2
2221(0)yxabab
22
221(0)yxabab
22
22
1(0,0)xyabab 22
221(0,0)yxabab
焦點
(,0)Fc
(0,)Fc
(,0)Fc
(0,)Fc
a、b、c的關(guān)系
2220,abbac 2220,0,abbca
（2）布置作業(yè)： 課本P61 習(xí)題2.3
A組第1, 2題
八、教學(xué)后記
本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容是雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單應(yīng)用，同橢圓相比，采用了完全相同的學(xué)習(xí)方法。
首先，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下動手實驗，得到了平面內(nèi)與兩定點距離之差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡，了解了雙曲線這種新曲線的形狀。這種方式提高了學(xué)生參予課堂的積極性，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。具體操作時，要求學(xué)生按照圖示，在滿足常數(shù)小于兩定點F1、F2之間的距離｜F1F2︱的情況下作圖，雖然減少了可能出現(xiàn)的結(jié)果，如常數(shù)=︱F1F2︱或常數(shù)＞｜F1F2︱?qū)?yīng)的情況不能出現(xiàn)，但這樣做有利于兩種曲線在定義上的對比，而其他情況可以在后續(xù)課中加以補充、完善。
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之后，仿照推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，采用完全相同的步驟，引導(dǎo)學(xué)生推出了焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并根據(jù)曲線在坐標(biāo)系中的位置關(guān)系得到焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
最后，利用雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行了簡單應(yīng)用，使學(xué)生對這種新曲線的相關(guān)知識有了更好的理解。在教學(xué)中，以“類比”為主線，使學(xué)生明確本課的學(xué)習(xí)過程及相關(guān)知識的學(xué)法，充分體現(xiàn)了課堂教學(xué)中教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位。
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