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視頻標簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_廣西省優課
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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_廣西省優課
《3.1.1兩角差的余弦公式》教案
人教版 高一數學 必修4
一. 教材分析
本節課選自人教A版高中數學必修4第三章《三角恒等變換》第一節課“3.1.1兩角差的余弦公式”。變換是數學的重要工具，而三角恒等變換處于三角函數知識與數學變換的結合點和交匯點，是前面所學三角函數知識的繼續與發展，是培養學生推理能力和運算能力的重要素材。兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一章的基礎和出發點，公式的發現和證明是本節課的重點，也是難點。
教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎，其基本出發點是使公式的證明過程盡量簡潔明了，易于學生理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決相關問題的意識和能力。教材里面沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結果、證明結果兩步進行，從簡單情況入手得出結果，有利于學生學會探究和思維的發展.
由于本節課可以從不同的角度提出不同的問題，并且可以用不同的途徑與方法解決問題，因此本節課為學生的思維發展提供了很好的空間和平臺，教師要注意引導學生用觀察、聯想、對比、化歸等方法分析問題，尋找解決問題的思路.
二. 教學目標
1. 知識與技能：通過讓學生探索、猜想、發現并推導“兩角差的余弦公式”，通過公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結構及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎.
2. 過程與方法：在探究公式的過程中，逐步培養學生學會分析問題、解決問題、合作交流的能力；通過兩角差的余弦公式的簡單運用,掌握不同方法求值.
3. 情感態度：通過課題背景的設計，增強學生的探究、應用意識，認識到數學來源于生活，激發學生的學習積極性.
三．教學重、難點
1. 重點：兩角差余弦公式的探究、證明過程和公式的初步應用. 2. 難點：探究過程的組織和適當引導.
四．學情分析
學生已經掌握了利用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數，也學習了同角三角函數式的變換；理解了平面向量及其運算的意義，并能用數量積表示兩個向量的夾角，經歷了用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，具有一定的推理能力、運算能力和解決實際問題的能力，但利用向量的數量積公式證明兩角差的余弦公式時，學生容易犯思維不嚴謹、不嚴密的錯誤，教學時需要引導學生搞清楚兩角差與相應向量夾角的聯系與區別.
五. 教法、學法
1. 教法：問題驅動、引導發現、合作探究相結合的教學方法展開教學.
2
2. 學法：課前預習、小組探究、反思小結等.
六. 教學過程
（一）創設情境，引入課題
金城超市電梯長度約為8米，坡度（與地面夾角）約為30度，請問當我們上完電梯后，在水平方向上前進了多少米？
設前進量為x米，則3430cos8x米
提問：當電梯坡度為45度時，其他不變，x等于多少？
答：2445cos8x米
提問：當電梯坡度為15度時，此時x又等于多少？ 答：15cos8x米
問題1：15cos等于多少？能否用特殊角三角函數值來表示？
【設計意圖】從學生的實際生活出發，自然地引出問題，培養學生把實際問題抽象為數學模型來解決的能力，讓學生感知數學來源于生活，并應用于生活，激發學生的學習興趣；
（二）探究歸納，提出猜想
問題2：對任意的,，coscos)cos(是否成立？ 1. 思考：15能否用特殊角表示？ 預案1：)3045cos(15cos
問：30cos45cos15cos是否成立？為什么？ 預案2：)4560cos(15cos
問：45cos60cos15cos是否成立？為什么？
【設計意圖】讓學生經歷提出假設 證明假設的過程，知道要證明一個假設不成立，只需舉出反例即可，即明白特殊與一般的辯證關系。
2. 探究：15cos能否用特殊角三角函數來表示？如何表示？
提示：構造特殊三角形或利用單位圓、向量知識 預案1：構造直角三角形 321
BCAB 26AC 8 m
x
30
A
B
C
150
D
1
3
42
62
63215cos
ACBC 預案2：利用單位圓、向量知識
得出結論：30sin45sin30cos45cos)3045cos(
提出猜想：對任意的,，都有sinsincoscos)cos(.
【設計意圖】通過求15cos的值，讓小組展示成果，不僅培養學生合作探究能力、表達能力，還培養了觀察能力、歸納能力，并由此提出猜想，使學生懂得如何探究問題，從特殊情況遷移到一般情況下的討論，為下個環節能突出重點起到鋪墊作用。
（三）小組合作，證明猜想
問題3：以上探究15cos值時，都是用到特殊角來求值，對一般情況下的角是否成立？
探究：證明對任意的,都有sinsincoscos)cos(. 預案1：利用單位圓、向量知識。
問題4：如何探討,的任意性？
若 則 而
O
x
y
O
x
y
30
30
45 B)45sin,45(cos
A)30sin,30
(cos OBOA)
30sin,30(cos)45sin,45(cos
30sin45sin30cos45cosOBOA又
cosOBOA)
3045cos(cos
30sin45sin30cos45cos)3045cos()sin,(cosOA)
sin,(cosOB)
sin,(cos)sin,(cosOBOA
sinsincoscos)
cos(AOBOBOAOBOA又
sinsincoscos)cos(
cos)2cos()cos(k
sinsincoscos)cos(
k2
sinsincoscos
4
預案2：利用三角函數線
此時，過P點作垂線PA ⊥OP1于點A， PM ⊥Ox于點M. 過A點作垂線AB⊥OM于點B， 過P點作垂線PC ⊥ AB于點C.
則 PAC
定義： ,，都有sinsincoscos)cos(，稱為差角余弦公式。 記為：ssccC)(，特征：任意角、同名積、符號反
【設計意圖】本環節由小組展示探究過程，讓學生根據已有的經驗（探究15cos）去證明一般情況下的結論，符合學生的思維發展規律。通過各種方法的證明和教師適當的點評、指導，起到突出本節課重點的作用。在探究角的任意性過程中，也培養了學生嚴謹的邏輯思維能力。
（四）.小試牛刀，學以致用
例1：利用差角余弦公式求15cos的值？
法1：30sin45sin30cos45cos)3045cos(15cos
4
262
12
22
32
2
法2：45sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos
4
6
222232221
變式1：利用差角余弦公式求75cos的值？
法1：45sin120sin45cos120cos)45120cos(75cos
222322214
2
6
法2：)30sin(45sin)30cos(45cos)]30(45cos[75cos
30sin45sin30cos45cos
21222322
4
2
6
O x
y
xOPOM)cos(CP
OBBMOBOM
sincosAPOA
sinsincoscos
sinsincoscos)cos(
5
【設計意圖】通過公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結構及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎；通過變式的應用，培養學生用多種方法解決問題的能力。
（五）課堂小結，回顧反思
1.這堂課你學到了什么內容？如何學習的？ ①學習了差角余弦公式；
②假設猜想—反證否定—用向量、三角函數線探究公式—證明結論—公式應用 2.學習與應用過程中，你有什么體會？
①證明一個假設不成立，只需舉出反例即可。
②探究證明公式過程中，可以通過特殊情況去討論證明一般情況。 ③公式應用中，可以有不同的解題方法。
【設計意圖】讓學生對探究的過程與思路、方法有一個清晰的認識，進一步達到“教思維”的目的。
（六）布置作業，鞏固提高
1. 基礎必做題（四選三）：課本P137習題3.1第2、3、4、5題； 2. 合作探究題：猜想并證明)(C和)(S；
3. 拓展選做題：求 的值.
七.板書設計
八．教學反思
（一）亮點
1.理念新：努力落實“授人以魚的同時授人以漁，授人以‘愉’的同時授人以‘欲’”設計理念。
2.主線明：綜合知識生長路線和學生認知路線，教學路線清晰：提出模型，理解模型，鞏固模型，完善模型，拓展模型。
3.輔線實：數學抽象、模型、審美、數形結合等數學思想方法滲透豐實，精讀教材、觀察猜想、合作交流、小結反思等學法指導扎實。
（二）不足
1.訓練少：學生理解多，但訓練少，可能會導致技能掌握不扎實。
2.探究思維難度大：部分后進生可能沒辦法獨立思考，理解探究的方法。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
