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視頻標簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_河南省優課
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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_河南省優課
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課例 ：兩角差的余弦公式
教材選擇：人教A版數學4（必修）第三章的3.1.1節
教學設計
一、教學任務分析
本課時的中心任務是建立兩角差的余弦公式．通過簡單運用，使學生初步理解公式的結構及其功能，并為建立其他和（差）角公式打好基礎．
本課時是第三章的起始課，從一個背景素材引入，使學生感受實際問題中對研究和（差）角公式的需要．由于和、差、倍之間存在的聯系，和角、差角、倍角的三角函數之間必然存在緊密的內在聯系，因而需要推出一個公式作為基礎。由于三角恒等變換的內容與三角函數沒有直接的關系，因此現行的課改教材（人教A版）安排學生學完三角函數后，先學習了平面向量，因此選擇了運用向量方法推導公式sinsincoscos)cos(作為建立其它公式的基礎，使得公式的得出成為一個純粹的代數運算過程，降低了思考難度。只有對兩角差的余弦公式有了認識，才能夠以此為基礎推導其他三角恒等變換公式。這是一個邏輯推理過程，也是一個認識三角函數式的特征，體會三角恒等變換特點的過程，教學課時為1課時．
二、教學重點、難點
重點：通過探索得到兩角差的余弦公式．
難點：探索過程的組織和適當引導．這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等．
三、教學目標解析
1.知識與技能
通過讓學生探索、猜想、發現并推導“兩角差的余弦公式”,了解單角與復角的三角函數之間的內在聯系,并通過強化題目的訓練,加深對兩角差的余弦公式的理解,培養學生的運算能力及邏輯推理能力,提高學生的數學素質.
2.過程與方法
通過兩角差的余弦公式的運用,會進行簡單的求值、化簡、證明,體會化歸思想在數學當中的運用,使學生進一步掌握聯系的觀點,自覺地利用聯系變化的觀點來分析問題,提高學生分析問題、解決問題的能力.
3.情感態度與價值觀
通過本節的學習,使學生體會探究的樂趣,認識到世間萬物的聯系與轉化,養
2
成用辯證與聯系的觀點看問題.創設問題情境,激發學生分析、探求的學習態度,強化學生的參與意識,從而培養學生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數形結合等數學思想方法.
四 、教學基本流程
五、教學情景設計
（一）以境激情
我們大家一起來觀察這樣一組誘導公式
.sin)2
cos(
,cos)cos(
我們會發現當變為或
2
時，
我們會發現其三角函數值與角的正弦和余弦有著密切的關系.當變為
4
或者更一般的角時，其三角函數值與、又會有怎樣的關系呢？我們相信這是一個非常重要而且有意義的問題，這就是我們本節將要研究的問題。 （板書課題）3.1.1兩角差的余弦公式 （二）合作探究 活動1：
（教師活動）提出問題：究竟該如何計算)cos(？那么)cos(
與、的正弦和余弦有什么樣的關系呢？
創設情境，以實例引入課題
明確探索目標及途徑
小結 組織學生自主探究 通過例題、練習，加強對公式的理解
布置作業
3
（小組活動）（提出猜想）coscos)cos(
舉反例：當=60°，=30°時，動手算一算cos60°-cos30°的值，再與cos30°的值作比較。
函數名與角不應是簡單的乘法關系，它不是簡單的乘法分配率問題。 活動2:
（教師活動）那該怎么辦呢？)cos(與asin，sin，acos，cos之間到底有什么樣的關系呢？請同學們回憶三角函數定義，正、余弦三角函數線. （小組討論）從特殊角出發，考慮角為銳角的特殊情況，以退為進，我們不妨假設a、、都是銳角，構造單位圓中的直角三角形. 展示課件
設計意圖：通過設問，激發學生自覺回顧三角函數，為公式的探索提供思路. 活動3：
先復習兩個向量數量積的定義與坐標運算公式：
定義式：cosbaba；坐標式：2121yyxxba
．
（小組活動）在平面直角坐標系中作單位圓，以x軸非負半軸為始邊作角，，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A、B，則sin,cosA，sin,cosB；
試用A、B兩點的坐標表示AOB的余弦值.
設計意圖：通過帶有指向性的問題，使學生意識到，向量方法可能是解決問題的工具，引導學生建立向量使用的數學環境，培養學生自主探索和數形結合的能力.
（教師活動）引導學生經歷用向量方法探索求)cos(，結合圖形，明確應選擇哪幾個向量，它們怎么用坐標表示？怎樣利用數量積計算公式得到推導結果？
（小組活動）計算OBOA，得到sinsincoscosOBOA；
另一方面，從定義式計算coscosOBOAOBOA 得出結論sinsincoscoscos
設計意圖：在教師的引導下，通過求兩個已知向量的夾角問題以及三角函數定義的應用得出新的結論，使學生體會和認識嚴格的推導過程是獲取數學結論的方法.由學生得到結論，讓學生在數學課上體會成功. 活動4：
4
（教師活動）引導學生思考,,的范圍，完善公式的推導.
（小組活動）提出的任意性，而向量夾角為],0[ ，學生產生疑惑：
與向量之間的夾角有什么關系呢？
教師活動：幾何畫板動態展示，引導學生結合計算機圖形語言和三角函數誘導公式對公式的嚴密性進行論證.
kk2],2,()2(;
2],,0[)1(根據終邊相同的角的性質，cos)cos(
設計意圖：由于向量工具已被引入，因此將問題歸結為角度問題，選用向量方法推導公式，使得公式的得出成為一個純粹的代數運算過程，大大降低了思考難度.另外，在公式的完善過程中，學生用對比、聯系、化歸的觀點去分析問題、處理問題，使他們在建立公式的過程中發展邏輯推理能力和對知識的遷移應用. 活動5：
（教師活動）引導學生說出兩角差的余弦公式的結構特點.
（小組活動）發現公式左邊是差角的余弦，右邊是單角同名三角函數值乘積之和.
設計意圖：培養學生用自己的語言描述公式特征的表達能力。加深對公式的印象，掌握公式特點，為下一步公式的應用做好鋪墊. 活動6：例題分析 （教師活動）
講評例1.利用兩角差的余弦公式求15cos的值．
這是通過應用理解公式最基礎的練習，在講評過程中引導學生注意以下幾個要點：
（1）三角變換關注角的拆分，易于理解. （2）由于是具體角，拆分過程容易進行. （3）拆分的多樣性，決定變換的多樣性.
設計意圖：學生到此刻，能夠利用本課新發現的兩角差的余弦公式解決這個問題，呼應前面，同時讓學生獲得了成果的數學體驗. （教師活動） 講評例題2： 已知,13
5
cos),,2(,54sin
是第三象限角，求)cos(的值. 引導學生分析問題，形成如下思路：結合余弦公式,欲求)cos(的值,必先知道cos,sin,cos,sin的值,然后利用公式)(C即可求解.,注意角,所在的象限,準確判斷它們的三角函數值的符號.
設計意圖：對題目進行解析，使學生形成解決這類問題的基本思路.
在講評例題的過程中注重在表述規范性上作出點評和要求，提高學生的數學表達能力.
5
（三）反饋練習
活動7：課堂練習 （小組活動）
.sin)2
cos(1
、證明
（教師活動）對學生的證明過程進行點評，使學生認識到該誘導公式是兩角差余弦公式的特殊情形.
設計意圖：學生獨立完成證明，培養學生獨立思考的數學思維品質和對數學知識前后聯系，建立數學知識網絡的能力. （小組活動）
學生上臺演板，運用公式解決以下問題：
.
)4
cos(
),
,2
(,5
3cos2的值求、已知
設計意圖：學生上臺演板，是本節課教學的重要一環， 能充分調動學生學習數學的實踐活動能力，使教師了解學生學習情況，是激發學生學習興趣的有效途徑.
（教師活動）對學生的計算過程的每一步進行點評，是學生認識到兩角差余弦公式使用時注意利用特殊角的正弦值余弦值.
（小組活動）先請一位同學在黑板上演示，然后再向全體同學講解.
.
)3
cos(,,17
15
sin3的值求是第二象限角、已知
（教師活動）找幾份具有代表性的解答投影，讓同學們點評.
設計意圖：通過問題的設計，注重培養學生分類討論的數學思想,在解題的過程中培養學生思維的嚴密性和邏輯的條理性，同時注重對學生的表述規范性的指導.
（小組活動）學生認真審題，求解問題
.
)cos(),2,2
3(,
43
cos),23,(,32sin4的值求、已知
（教師活動）對學生表述的步驟是否規范作出必要的點評和要求。引導學生一定要弄清角的范圍,準確判斷三角函數值的符號.
設計意圖：引導學生認識到要使用兩角差余弦公式，應該運用同角三角函數關系對四個數據作出準備，培養學生 “舉一反三”的解決數學問題的能力. （四）變式訓練
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活動8：
（學生活動）
應用本課所學的公式進行以下計算： ?15sin60sin15cos60cos1、
?sin)3
sin(cos)3
cos(2
、
（教師活動）點評，不僅要會公式的正用而且要注意公式的逆用和變形應用. 設計意圖：在練習中加深對公式結構和功能的認識，使學生熟練、靈活運用公式；掌握三角式變換的特點，培養學生公式的逆用能力. （小組活動）應用公式計算：
.
cos,
15060,5
3
)30sin(3的值求、已知 （教師活動）引導學生比較已知的角30與所求的角之間的關系，注意構造角以及研究角的范圍.
設計意圖：引導學生獨立思考，得出30)30(，從而具備使用兩角差余弦公式的條件，培養學生解決數學問題的化歸思想. （五）應用評價 課堂小結：
通過本節課的學習你有哪些收獲？
1、探索并證明了兩角差的余弦公式, 經歷了，猜想— 合作探究—證明 ,利用向量法得出了：cos()coscossinsin
在證明公式的過程中，我們利用了向量這一簡潔有效的工具，在后面的學習中我們會繼續感受它的便利.
2、所涉及的數學思想與方法:猜想、化歸與轉化、數形結合、分類討論. 設計意圖：讓學生在課堂小結中進行自我評價，回顧當堂所學，交流學習體會. 注意公式特征，正用，逆用和角的拼湊！在探究問題時，結合所學知識，要大膽猜想，細心證明！ 布置作業：
1. P137，2,3,4三選二
)
cos(,
54
coscos,53sinsin2求、選做：
3.課下思考：你能用)cos(,推導出)cos(嗎？
設計意圖：通過例題、練習、課堂小結、作業等對學生在三維目標方面進一步評價，反思教學，改進方法.
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板書設計：
兩角差的余弦公式
()()
cos()coscossinsinC
投影屏幕
板演區域
教學評價：
本節課教師采用了小組活動、合作探究教學法，將獲取知識的猜想、論證和應用過程分解成為8個教學活動，在活動中通過教師的問來啟發引導學生，通過學生的練來鞏固知識，是高效課堂的典型模式之一。教學設計合理，教學目標準確具體，符合課程標準，教學要求符合學生實際，關注學生情感、態度和價值觀；教師語言表達準確，教態自然親切，教學過程流暢，師生雙邊活動達成，學生在愉悅中獲得新知，教學效果好。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
