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視頻標(biāo)簽：兩角差的,余弦公式
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教B版高中數(shù)學(xué)必修四第三章3.1.1兩角差的余弦公式（第一課時(shí)）海南省優(yōu)課
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3.1.1 兩角差的余弦公式（第一課時(shí)）—學(xué)案
高一年級(jí) 數(shù)學(xué)必修四
一、教材分析
兩角差的余弦公式是高中新教材人教B版必修4的第三章《三角恒等變換》的第一節(jié)內(nèi)容。本節(jié)課是三角恒等變換的開(kāi)頭，其兩角差的余弦公式為其他變換公式的母公式。變換是重要的數(shù)學(xué)工具，其三角恒等變換更是三角函數(shù)知識(shí)與數(shù)學(xué)變換的融合，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)的持續(xù)與發(fā)展。
公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，非常重視讓學(xué)生經(jīng)歷探究?jī)山遣畹挠嘞夜降倪^(guò)程。公式的推導(dǎo)過(guò)程設(shè)計(jì)了幾何法和向量法，向量法相較而言比幾何法要簡(jiǎn)便且易推廣，這也是為什么教材將三角恒等變換的內(nèi)容放在向量的內(nèi)容之后，向量作為工具在公式推導(dǎo)過(guò)程中成為了重要的環(huán)節(jié)。其探究推導(dǎo)過(guò)程也體現(xiàn)了學(xué)生的抽象思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力。 二、學(xué)情分析
學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了任意角的三角函數(shù)和向量的知識(shí)，這為學(xué)生對(duì)公式推導(dǎo)探究進(jìn)行了知識(shí)鋪墊，但不得不說(shuō)，不論幾何法還是向量法，學(xué)生自行進(jìn)行探究仍然有一定的困難，部分學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)直接模仿教材的做法，缺乏自己的思考，或者在使用向量法時(shí)想當(dāng)然地認(rèn)為對(duì)于任意角也同樣成立。因此，本節(jié)課在設(shè)計(jì)過(guò)程中，為提高學(xué)生自我探究，自我設(shè)問(wèn)的能力，遂進(jìn)行了一些引例設(shè)計(jì)。 三、教學(xué)目標(biāo) （一）知識(shí)與技能
1.猜想、探究?jī)山遣畹挠嘞夜降耐茖?dǎo)過(guò)程； 2.初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能；
3.熟記并應(yīng)用兩角差的余弦公式，解決相關(guān)問(wèn)題. （二）過(guò)程與方法
1.通過(guò)引例思考，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)余弦公式的簡(jiǎn)便方法，培養(yǎng)自我思考的能力；
2.類(lèi)比引例的過(guò)程，將其放入單位圓中研究，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及
主講人：葉穗
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回歸研究三角函數(shù)的本質(zhì)當(dāng)中去.
3.引導(dǎo)學(xué)生思考向量法解決公式的推導(dǎo)，將幾何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn). （三）情感態(tài)度與價(jià)值觀
1. 通過(guò)海南中學(xué)紙飛機(jī)的引入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣; 2. 引例思考完全交給學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)自己找到便捷方法的樂(lè)趣； 3.通過(guò)教學(xué)中一系列的探究過(guò)程使學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取意識(shí)和科學(xué)精神. 四、教學(xué)重、難點(diǎn)
（一）教學(xué)重點(diǎn):兩角差的余弦公式的推導(dǎo)
（二）教學(xué)難點(diǎn):引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩角差的余弦公式的推導(dǎo) 五、教學(xué)過(guò)程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
1. 引入：海南中學(xué)高三喊樓活動(dòng)中學(xué)生折的紙飛機(jī)
問(wèn)：如何快速折出15°角？
答：利用456015或304515。
注：部分學(xué)生會(huì)回答：90°對(duì)折6次（應(yīng)對(duì)學(xué)生予以鼓勵(lì)）
問(wèn)：cos15°能否用特殊角的三角函數(shù)來(lái)表示？更一般的，)cos(是否可以用,角的三角函數(shù)來(lái)表示？
答：能。（學(xué)生進(jìn)行猜想）
2. 猜想：若,為兩個(gè)任意角，coscos)cos(是否成立？ 答：不成立。（學(xué)生舉例說(shuō)明）例如：02
2
2145cos60cos，顯然不滿足.
主講人：葉穗
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△設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)從實(shí)際生活出發(fā)的引入，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，經(jīng)歷提出和證明假設(shè)的過(guò)程，讓學(xué)生自然地引出并思考數(shù)學(xué)問(wèn)題.
（二）引例思考
引例：某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.如圖所示, 在地平面上有一點(diǎn)A,測(cè)得CA,兩點(diǎn)間距離約為60米,從A觀測(cè)電視發(fā)射塔的視角(CAD)約為45°,15CAB.求(1)AB；(2)cos15o的值.
師：同學(xué)們課前完成了這個(gè)引例，請(qǐng)幾位同學(xué)來(lái)分享一下自己的想法 生：預(yù)案1—15cos60AB（15cos未知） 預(yù)案2—ADADAB2
1
60cos
簡(jiǎn)便解：作ADCE,在AECRt中
23045cos60ECAE 在DECRt中，63030tan
EC
DE
630230EDAEAD
)26(1560cosADAB
4
2
615cos
ACAB.
△設(shè)計(jì)意圖：引例稍作改動(dòng)，首先是先在特殊情況下求解出cos15o的值，觀察比較仔細(xì)的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，直接利用cos15o=AC
AB
便可直接得出，這個(gè)過(guò)程符合學(xué)生自我思考的過(guò)程，不會(huì)顯得生硬。
主講人：葉穗
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（三）探索思考
1、小組探究一：類(lèi)比引例計(jì)算的方法，嘗試?yán)脝挝粓A推導(dǎo)當(dāng),是銳角，且α>β時(shí)的兩角差的余弦公式。
師：我們?nèi)绻麑⒁械?5°換成一般的角，是否能夠類(lèi)比引例的方法去求呢？
生：應(yīng)該可以.
師：那在類(lèi)比的過(guò)程中，我們?yōu)榱朔奖悖梢园讶切畏湃胧裁串?dāng)中進(jìn)行研究？我們常在什么當(dāng)中研究三角函數(shù)的值？
生：將其放在單位圓當(dāng)中研究.（學(xué)生進(jìn)行探究交流）
△結(jié)論：當(dāng)α，β是銳角，且α>β時(shí)，)cos(=__________________. 思考：除了幾何法以外，是否還有更簡(jiǎn)便的方法？
△設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將引例的方法搬到單位圓當(dāng)中去研究，并提出該推導(dǎo)過(guò)程中的不足之處，發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法若要推廣到任意角，還需要多推導(dǎo)幾次，較為麻煩。
O
x
y
1
主講人：葉穗
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2.小組探究二：如圖，設(shè)角、的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為BA,，嘗試?yán)孟蛄康臄?shù)量積公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式。
師：大家觀察一下，我們還常在什么當(dāng)中能夠 接觸到角的余弦值？
生：在向量的數(shù)量積公式中能夠出現(xiàn)夾角的 余弦值
師：那我們能否通過(guò)向量的方法來(lái)推導(dǎo)下余弦 公式呢？ 生：也許可以.
師：在單位圓中，我們能夠構(gòu)造出兩條終邊的單位向量嗎？ 生：能
師：請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下利用這兩條向量推導(dǎo)下兩條向量夾角的余弦公式
△結(jié)論：上述構(gòu)圖得到)cos(=__________________. 思考：上述公式如何推廣到任意角？
△設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生一時(shí)不能夠自然而然地聯(lián)想到要用向量來(lái)解決問(wèn)題，那么需要引導(dǎo)學(xué)生，向量的數(shù)量積公式當(dāng)中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)向量夾角的余弦值，而這個(gè)就是考慮用向量法的關(guān)鍵點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)找出兩向量的夾角，并最后對(duì)夾角與任意角的情況進(jìn)行分析。 六、總結(jié)歸納
1.兩角差的余弦公式
)cos(=__________________.
2.簡(jiǎn)記為
)(C=__________________.
3.公式記憶: SSCC
A
α
β
B
O
x
y
1
A β
α
主講人：葉穗
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七、例題講解 例1.求值
（1）15cos (2)105sin15sin105cos15cos （3）)24sin()21sin()24cos()21cos( （4）15sin30cos15cos60cos
（5）sin2
3
cos21
例2.已知13
5
cos),,2(,54sin，是第三象限角，求)cos(的值.
課后思考：已知53)cos(,21cos，,2
,0
求cos.
八、課堂小結(jié) 1.總結(jié)
2.布置作業(yè)
教材P127 第2、3、4題
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