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視頻標(biāo)簽：兩角差的余弦公式

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_寧夏 - 銀川

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高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_寧夏 - 銀川

《兩角差的余弦公式》教學(xué)設(shè)計(jì) 
教材：人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（A版）》必修4 課題：3.1.1  兩角差的余弦公式 課時(shí)：1課時(shí) 一、 教學(xué)內(nèi)容分析 
三角恒等變換處于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)和交匯處，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力與運(yùn)算能力的重要素材.由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，使公式的證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)潔明了，易于學(xué)生理解和掌握.教學(xué)沒(méi)有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果、證明結(jié)果兩步進(jìn)行探究，并從簡(jiǎn)單情況入手得出結(jié)果.這樣安排不僅使探究更加真實(shí)，也有利于學(xué)生學(xué)會(huì)探究、發(fā)展思維. 
因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：利用誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式，并運(yùn)用向量方法證明公式. 
二、教學(xué)目標(biāo) 
1.掌握兩角差的余弦公式，并能正確運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值運(yùn)算； 2.經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用； 
3.在利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行兩角差余弦公式的探究過(guò)程中，體會(huì)“特殊到一般”、“數(shù)形結(jié)合”、“歸納猜想”等數(shù)學(xué)思想方法和思維方法，能體會(huì)到數(shù)學(xué)思維的合理性與條理性. 
三、學(xué)生學(xué)情分析 
學(xué)生此前已經(jīng)掌握了任意角三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí).同時(shí)，學(xué)生多次經(jīng)歷了由特殊到一般，歸納猜想等數(shù)學(xué)思維方法，基本具備數(shù)形結(jié)合的能力，這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)建立了良好的知識(shí)基礎(chǔ).  
教材根據(jù)一個(gè)實(shí)例提出本章所要研究的主要內(nèi)容，然后直接提出研究?jī)山遣畹挠嘞夜�式，學(xué)生會(huì)感到有些突然；教材中用幾何方法研究?jī)山遣畹挠嘞夜�式學(xué)生不易想到用“割補(bǔ)法”求正弦線、余弦線；用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、不嚴(yán)密的錯(cuò)誤. 
2 
因此，我將本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：發(fā)現(xiàn)并證明兩角差的余弦公式. 四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1.創(chuàng)設(shè)情景 
【情境問(wèn)題】如圖，某城市的電視發(fā)射塔CB建筑市郊的一座小山CD上,從山腳A測(cè)得AC=50m,塔頂B的仰角(DAB)為60，從A點(diǎn)觀測(cè)塔頂B的視角（CAB）約為45，求：A,B兩點(diǎn)間的距離. 
（請(qǐng)學(xué)生思考求解過(guò)程，某生表述：AB=2AD=2×50×cos6045=100cos15.教師引導(dǎo)說(shuō)明15角
的余弦值是未知的，而60角、45角的三角函數(shù)值是已知的，不妨用它們來(lái)求差角6045的余弦值.） 
【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)際問(wèn)題出發(fā),有利于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使其感受到實(shí)際問(wèn)題中對(duì)研究差角公式的需要. 
【思考1】cos6045如何求角60，45的正弦、余弦值來(lái)表示呢？  （請(qǐng)學(xué)生大膽嘗試說(shuō)明，并根據(jù)自己的結(jié)論計(jì)算驗(yàn)證.在這個(gè)過(guò)程中，可將問(wèn)題一般化：兩角差的余弦值與這兩個(gè)角,的三角函數(shù)值之間有怎樣的關(guān)系呢？引入課題：兩角差的余弦公式） 
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體驗(yàn)如何用反例進(jìn)行反駁，明確常犯的直接性錯(cuò)誤為什么是錯(cuò)的，提出本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容，統(tǒng)一對(duì)探究目標(biāo)中“恒等”要求的認(rèn)識(shí). 
2.新知探究 
【思考2】在已學(xué)過(guò)的知識(shí)中，有沒(méi)有類似求兩角差余弦的式子呢？ 
（請(qǐng)學(xué)生思考說(shuō)明：誘導(dǎo)公式coscos，cossin2

.） 

coscoscos2


特殊化
 
【說(shuō)明】觀察以上兩式就是把角用特殊角、
2

來(lái)替換.由于特殊中往往D
CB
A
45°60°
 
                    
             
                    
                             
3 
能反映一般規(guī)律，我們不妨從上述公式出發(fā)，建立研究思路，尋找兩角差的余弦公式的一般性規(guī)律.  
【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際出發(fā)，回想已有的關(guān)于兩角差的余弦的式子，尋找新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，使兩角差的余弦公式的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)是用“隨機(jī)、自然進(jìn)入”的方式呈現(xiàn)給學(xué)生. 
【探究1】cos如何用角和的正弦、余弦值來(lái)表示呢？ 本環(huán)節(jié)以教師引導(dǎo)探究為主， 展現(xiàn)知識(shí)的生成過(guò)程. 【問(wèn)題1】根據(jù)三角函數(shù)的定義,你能寫出點(diǎn)12,PP的坐標(biāo)嗎? 
（請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明，點(diǎn) 
12cos,sin,cos,sinPP.） 
【問(wèn)題2】根據(jù)三角函數(shù)的定義，cos是角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo).那么，你能在圖1中畫出角的終邊嗎？ 
（請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明自己畫圖的過(guò)程，可能會(huì)有兩種做法： 
方法一：由角的終邊畫出角的終邊，然后將角旋轉(zhuǎn)角，得角的終邊；方法二：以角的終邊為始邊旋轉(zhuǎn)角，得角的終邊. 
設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)3P，則點(diǎn)3P的坐標(biāo)為
cos,sin） 
【過(guò)渡】在已知各點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，我們不妨用向量知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題. 【問(wèn)題3】觀察圖1，有幾組向量的夾角相等？ 
（請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明：0312POPPOP，又向量的模相等，0312OPOPOPOP，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得：coscoscossinsin.） 
【活動(dòng)】根據(jù)上述推導(dǎo)過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)們整理研究思路，在學(xué)案（附后表1）上完成圖1對(duì)應(yīng)的表格. 
β的終邊y
xπ-β的終邊
1,0()
π的終邊
P3P1
P2
O
P0
                    
             
                    
                             4 
【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)三角函數(shù)的定義及任意角三角函數(shù)的定義，建立幾何圖形與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系——向量，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，使向量方法的引入自然、合理.本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)為引導(dǎo)探究的學(xué)習(xí)方式，將探究一拆分為三個(gè)問(wèn)題，幫助學(xué)生建立研究思路. 
【探究2】根據(jù)上述做法， cos2
的值如何用角,2的正弦、余弦值
來(lái)表示呢？ 
（請(qǐng)學(xué)生根據(jù)學(xué)案中的圖2，四人一組完成探究.  
教師引導(dǎo)說(shuō)明角
2

的終邊的形成
過(guò)程，學(xué)生類比cos的推導(dǎo)過(guò)程，以向量為工具，根據(jù)向量的夾角相等，得： 
0312OPOPOPOP 

sin2sincos2cos2cos

     
【設(shè)計(jì)意圖】再一次經(jīng)歷由圖形對(duì)稱得等量關(guān)系，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立數(shù)與形的聯(lián)系，推導(dǎo)兩腳差余弦的一個(gè)表達(dá)式.使學(xué)生從知識(shí)、方法、策略上多層次的感受式子的推導(dǎo)過(guò)程. 
【思考3】觀察上面兩個(gè)式子，猜想：若,是任意角，那么 
cos                    ？ （學(xué)生觀察上式，歸納說(shuō)明.） 
【設(shè)計(jì)意圖】有特殊到一般，猜想任意角兩角差的余弦公式，使學(xué)生成為數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)者，這對(duì)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有意義的. 
【探究3】你能否證明自己的猜想？ 
β的終邊yx
1,0()π2-β的終邊P3
π
2
的終邊
P2
P1
O
P0
                    
             
                    
                             
5 
（請(qǐng)學(xué)生類比上面兩式的推導(dǎo)過(guò)程，在學(xué)案中自主探究完成，并與周圍同學(xué)相互交流，解決自己存在的問(wèn)題.其中，差角的形成過(guò)程教師可利用幾何畫板旋轉(zhuǎn)得到，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形間的內(nèi)在聯(lián)系.之后投影展示某生的證明過(guò)程，并請(qǐng)?jiān)撋�解說(shuō)： 0312OPOPOPOP 
coscoscossinsin） 
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)猜想進(jìn)行證明，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性、合理性，使學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)上升到理性高度.同時(shí)，體會(huì)向量方法的作用. 
【歸納】?jī)山遣畹挠嘞夜�式�?#61480;coscoscossinsin 【問(wèn)題4】觀察兩角差的余弦公式，我們?nèi)缬洃浌�式呢�?nbsp;
（請(qǐng)學(xué)生嘗試說(shuō)明，教師從式子左右兩邊的三角函數(shù)名及符號(hào)給予歸納：余余正正異相連.） 
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式特點(diǎn)，幫助學(xué)生記憶公式. 3.應(yīng)用舉例 例.求cos15的值. 
（本例由情景問(wèn)題提出，可引導(dǎo)學(xué)生采用不同的方法求值，認(rèn)識(shí)到拆分角的多樣性.） 
【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生掌握兩角差的余弦公式的應(yīng)用，拓展數(shù)學(xué)思維，體會(huì)拆分的多樣性，決定變換的多樣性. 
4.課堂小結(jié) 
【問(wèn)題5】本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)，有什么樣的心得體會(huì)？ （學(xué)生說(shuō)明，師生共同歸納總結(jié).） 
（1）兩角差的余弦公式：coscoscossinsin； （2）向量作為工具性知識(shí)的運(yùn)用； 
（3）解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路：由已知到未知、由特殊到一般. 
y
xβ的終邊α的終邊1,0()
P3
α-β的終邊O
P0P2
P1
 
                    
             
                    
                             6 
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生對(duì)探究的過(guò)程、思路與方法有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，獲得知識(shí)和能力的共同進(jìn)步. 
5.作業(yè)布置 
（1）課本127頁(yè)，練習(xí)2,3題； 
（2）查一查“兩角差的余弦公式”還有其他證明方法嗎？ 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固所學(xué)知識(shí)，拓展解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路.

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