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視頻標簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_深圳市實驗學校
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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_深圳市第二實驗學校
教學設計方案
課題名稱
3.1.1兩角差的余弦公式
任課教師 劉劍
教學目標(知識與技能、過程與方法、情感與價值)
1. 知識與技能
(1)引導學生建立兩角差的余弦公式,掌握兩角差的余弦公式,并能用之解決問題。 (2)通過對公式的推導,對學生滲透探究思想、類比思想以及分類討論思想。
(3)通過公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結構及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎。 2. 過程與方法目標：
在探究公式的過程中，逐步培養學生學會分析問題、解決問題的能力，培養學生學會合作交流的能力；體會公式探求中從特殊到一般的數學思想，同時滲透如上所說的多種數學思想。 3. 情感與態度目標：
(1)通過課題背景的設計，增強學生的應用意識，激發學生的學習積極性。
(2)通過公式的推導與簡單應用，激發學生求知欲，鼓勵學生大膽嘗試，敢于探索、創新的學習品質。
教學重點
兩角差余弦公式的探索過程和簡單應用。
教學難點 公式的探索過程的組織和引導。
教學方式 1.自主性學習法：通過預習自學初步了解兩角差的余弦公式.
2.探究式學習法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程.
3.反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其存在的差距
教學準備
1.學生準備：預習《兩角差的余弦公式》，初步了解公式推理和簡單應用。 2.教師準備：課前預習學案，課內探究學案，課后延伸拓展學案。
板書設計、
媒體使用
多媒體課件，投影，學案，三角板圓規等教具
3.1.1兩角差的余弦公式
一、引入：cos15o
=? 四、應用 cos(α-β)=? 例1、2、
例3、
二、探究：向量法 例3變式訓練： 000000cos7010cos70cos10sin70sin10(1)結論： 解答：
cos_____________________猜想：
(2)證明：
coscossinsincoscoscoscossinsinabab
又（—）（—）
三：公式：coscoscossinsin（—） 五、小結
結構特征：(1)任意角(2)同名相乘,符號相反 六、作業
2
教材分析 兩角和與差的余弦位于人教版必修四第三章第一節，教材分別利用三角函數線和向量方法對兩角差的余弦公式進行了推導。其中，利用三角函數線僅對,,-為銳角的情況進行了推導，而,為任意角時教材指出公式的推導是復雜的，并沒有給出推導過程。利用向量方法推導兩角差的余弦公式簡潔明了，充分的體現出了向量的工具性作用。所以這也是教材在編排上的一個考慮：在學生
學完第一章任意角的三角函數后沒能直接學習第三章三角恒等變換，而是先學習第
二章平面向量。然而為了更好的構建學生的知識體系，在學生學習完第一章后，能夠直接進入第三章的學習，就必須給出另外一種推導兩角和與差的余弦公式的方法。因為該公式是全部和、差角公式，以及倍角、半角等公式的基礎，是本章公式推導的“源”。所以兩角和與差的余弦公式不僅起著承上啟下的核心作用，也是高考的重點考點。
學情分析 之前學習了三角函數的性質，以及平面向量的運算和應用，在此基礎上，要考慮如
何利用任意角，的正弦余弦值來表示cos()，牢固的掌握這個公式，并
會靈活運用公式進行下一節內容的學習。
課堂教學過程
教學階段任務
教師活動
學生活動 設計意圖
(一)引入課題
1.如圖所示，一個斜坡傾斜角為30˚，已知作用在物體上的力F與水平方向的夾角為45˚，且大小為10N，在力F的作用下，物體沿斜坡運動了3m，求F做的功.
問題：（1）能不能不用計算器求值 ：
0cos45 = ，0cos30= ，0cos15= ，
0000cos(4530)cos45cos30是否成立？
(2)cos(-)=cos-cos是否恒成立？ 2.復習
（1）三角函數定義：
sin__
=___cosP點坐標(__)
（2）兩個向量的數量積：
問題一：不借助計算器如何求cos15°的值？
師：(1)cos15=
cos45o
-cos150
?
cos(α-β)=?
問題二：我們之前已
經學習過任意角角差的正余弦，大家想想在哪呢？
（提示：學生如果想
1學生齊聲回答：再思考，計算
2學生思考，復習，齊聲回答
設計意圖：
1.基于人的由低到高的認知規律，把新內容的起點定的越低學生越容易入門。所以我將原教材例子作了修改，使得學生可以當堂解決這個實際問題，做到課的前后呼應，還能體現數學來源于生活，又應用于生活的思想，喚起學生解決問題的興趣，和拋出新知識引起學生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發學生的求知欲，引導學習方向。
2．通過復習，聯系舊知，從新舊知之間的聯系入手，讓學生對新知不陌生。為最
W=_____
3
_____________()
_____________()ab
定義式坐標式 不起來，可以翻教材尋找或交流談論） 終公式的得出做小小的鋪墊。
（二）、探索新知
[探究]0000(cos70,sin70),(cos10,sin10),abab求
________________________
abab
則又 結論： ____________________
（三）、拓展探索
_________________________________
abab
則又
問題二:此證明過程嚴謹嗎？
設為,ab所成的夾角，
范圍為____則一定有=嗎？
問：
(1):數量積有哪兩種算法，怎么計算？
(2)?ab
得到什么結論？
(3)猜測一般性的結論是什么？
(4)怎么證明這個一般性的結論？
(5)此證明過程嚴謹嗎？
(6)此公式的結構特征是什么？
1學生思考回答
2學生思考，小組討論，相互交流
3學生思考，找特點規律，并總結特點，自主發言，說法不全面時相互補充
設計意圖： 1運用向量的知識進行了探究，使得公式的得出成為一個純粹的代數運算過程，大大降低了思考難度，而且體現了向量與三角函數之間的聯系，發揮了向量的工具作用。學生易于理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決相關問題的意識和能力。 2這一過程，鼓勵學生獨立探索和討論交流，推導過程不要求一步到位，先抓住主要問題進行探索，然后再引導學生反思完善。這也是處理一般探索性問題應遵循
3體會向量方法解決數學問題的簡潔性。
（四）、生成公式 （五）、應用提高
例1：
變式訓練：cos750
變式訓練：cos750 =___________ 課堂練習：(搶答)
(1).cos50°cos20°+sin50°sin20°的
值為( )
1133A. B. C. D.
2
3
2
3
1求解過程讓學生獨立完成，注意引導學生多方向、多維度思考問題
2小組搶答，并給與正確的引導和點評總1求解過程
讓學生獨立完成，注意引導學生多方向、多維度思考問題
2.小組搶答
設計意圖：
1通過例題和變式訓練，進一步加深學生對公式的理解和應用；
2體驗公式既可正用、逆用，還可變用；
(cos,sin),(cos,sin),,,abRab設求:問題一能得到什么結論？coscos?
嗎coscoscossinsin
問題三：公式：有哪些結構特征？
oo
o
W=|F|||cos(45-30) =40cos15_______________
_______________
s
4
0000(2).cos175cos55sin175cos35_______0000(3).cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)_________
25s,3in,13
已知，cos是第三象限角，求cos()。例值：的，4α=
α5
變式訓練：
2sin,5
,13
已知，是銳角，
cos()求cos的值。
，4α=α5
結
3學生演板，并給與正確的引導和點評總結
4師生共同分析解答
3學生演板
4學生口
答，并給與正確的引導和點評總結
3使學生初步掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養了學生的靈活思維品質，提高學生的數學交流能力，促進思維的創新。求解過程多讓學生獨立完成，注意引導學生多方向、多維度思考問題
（六）、課堂小結
通過本節課的學習你有哪些收獲？ 1.探索并證明兩角差的余弦公式 經歷了，猜想— 探究—證明 ；利用向量工具得出了公式：
cos()coscossinsin2.所涉及的數學思想方法
數形結合，化歸轉化，特殊與一般
通過本節課的學習你有哪些收獲？ 1知識點上面？ 2數學思想方法上面？
3有何感悟？
學生回顧，總結，歸納，補充 讓學生通過自己小結，反思學習過程，加深對公式及其推
導過程（包括
猜想、探索、論證的數學化的過程）的理解。
（七）、分層作業
1.必做：P137，2,3,4，5
342.sinsin,coscos55
cos()
選做：,
求3.課后思考：你能用cos(α-β),推導出cos(α+β)嗎？
針對學生的不同需要，以生為本，設計分層作業，讓每個層次的學生都有提高。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
