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視頻標簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_甘肅省 - 白銀
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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_甘肅省 - 白銀
3.1.1 兩角差的余弦公式教學設計
一、內容和內容解析
（1）內容：兩角差的余弦公式是用兩角的三角函數值來表示兩角差的余弦值。這一內容是任意角三角函數知識的延伸，是后繼內容兩角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知識基礎。 (2)內容解析：兩角差的余弦公式是《三角恒等變換》這一章的基礎和出發點，是在學生掌握了任意角的三角函數的概念、向量的坐標表示以及向量數量積的坐標表示的基礎上，進一步研究用單角的三角函數表示兩角差的三角函數。對于α，β為任意角時的情況，教材運用向量的知識進行了探究，使得公式的得出成為一個純粹的代數運算過程，學生易于理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決相關問題的意識和能力。
二、教學重點和難點：兩角差的余弦公式的探索與證明。 三、目標和目標解析 1、目標：
1) 探究如何用向量數量積證明兩角差的余弦公式，體會探究的樂趣，強化學生的參與意識，培養學生分析問題、解決問題的能力。 2) 掌握兩角差的余弦公式的結構特征、變形以及應用，培養運用數學知識的能力以及逆用思維的能力。 2、目標解析：
1) 探索公式不應追求一步到位，先不去理會其中細節，抓住主要問題進行探索，然后再作反思，予以完善。因此向量工具的引入，
使得兩角差的余弦公式的得出成為一個純粹的代數過程，大大降低了思考難度，而且體現了向量與三角函數之間的聯系，發揮了向量的工具作用。所以這一過程，鼓勵學生獨立探索。這也是處理一般探索性問題應遵循的原則。在學生思維的困惑處，教師作必要提示。
2) 為了體現“數學是有用的”，我們的數學知識最終都要讓學生掌握其應用，兩角差的余弦也不例外。通過公式的正用、逆用，達到掌握公式的目的。 四、教學問題診斷分析
1、如何想到要用向量來證明兩角差的余弦公式？如果突兀的給出，不符合科學知識產生的自然過程。所以我采用讓學生仔細觀察公式的構成要素和結構特征，聯系所學知識，努力使數學思維顯得自然、合理．
2、用向量的數量積公式對兩角差的余弦公式的探究過程，少數基礎薄弱的學生做不來。這個我的處理是，第一讓他們做好比較充分的預習，第二是在所有學生獨立探究這個內容時，我走到學生中去，對基礎差的學生作指導。
關鍵的探究過程和推理過程通過幻燈片再借助黑板，即時完成必要的演算推證過程，比單純的課堂展示事先做好演算推證過程的幻燈片要效果更好。 五、教學過程
1、 提出問題：從學生已有知識出發，從聯系與變換的角度提出最為接近探究水平的問題，增強學生的問題意識，使問題探究更為真
實自然，更快貼近教學主題。
問題:不用查表和計算器，求cos15°的值. 思考:
1、15 °能否寫成兩個特殊角的和或差的形式? 2、 cos(45º-30º) 又如何計算？ 3、cos15º=cos(45º-30º)
=cos45°- cos30°成立嗎?
2、新課講解：由任意角的三角函數定義入手，從圖形中直觀聯系所學向量知識，探索出公式；探索公式先不去理會細節，抓住主要問題進行探索，然后再作反思，予以完善。 公式特點:
Cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (1)、α、β為任意角
(2)、差角的余弦公式不能按分配律展開，即一般情況下 cos(α-β)≠cos α-cosβ
(3)、記憶：公式右端是同名三角函數之積的和，左端為兩角差的余弦，左右兩端的連接符號相反 .
3、鞏固體會：通過精選例題和練習題的求解，讓學生熟悉公式的應用，比如要學會靈活地拆角、湊角；會進行簡單的分類求解。
解決問題：計算cos15°的值. 法一、 cos15º=cos(45º-30º)
=cos45ºcos30º+sin45ºsin30º
=
= 法二、 cos15º=cos(60º-45º) 4、例題講解
例1、已知sinα= ， ，cosβ= ， β是第
三象限的角，求cos（α-β）的值。
例1中去掉
）
，2（
這個條件，解法是否和例2一樣？
62
4
23212222452（，）5
-13
解：1）當α為第一象限角時，由sinα= 5
4 得
cosα=
5
3sin-12
又cosβ= 135-
， β 為第三象限的角
∴
13
12-cos-1sin2
∴ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=
2）當α為第二象限角時，由sinα= 5
4 得cosα=
53-
同理得 cos（α-β）=65
33-
練習
計算：1、cos50º cos20º +sin50ºsin20º
=cos30º
=
2、cos70ºsin130º-sin70ºcos130º
=cos70ºsin(90º+40º)-sin70ºcos(90º +40º
)
=cos70ºcos40º+sin70ºsin 40º
=cos30º=
化簡：cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=cos[(α+β) – β] =cos α
例2、已知α、β均為銳角，cosα
= 54
， cos（α
+β）=
135
-
，
解：∵ α、β均是銳角 ，∴ 0< α+β<π
3
2
32
63-65
又cosα= 5
4 , cos（α+β）=
13
5-
∴
sinα= 5
3
, sin（α+β）= 1312
∴cosβ=cos[(α+β)- α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
= 6516
5.隨堂練習：
在△ABC中，sin(A+B)= ，cosB= ，求cosA
6.小結回顧 ： 1）、公式的特點。
2）、已知一個角的正弦（或余弦）求該角的余弦（或正弦）時，要注意該角所在的象限，從而確定三角函數值的符號。
3）、在差角的余弦公式中， α、β為任意角，所以α、β可以為單角，也可以是復角，運用時要注意角的變換，根據需要靈活的進行拆角或湊角，如β=(α+β)-α，2β=(α+β)-(α-β)等，同時應用公式解題時要注意正向、逆向和變式形式的選擇。 7.作業： P137 2、3、4
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