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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學蘇教版選修2-3第1章1.5.1 二項式定理_貴州省 - 六盤水
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高中數學蘇教版選修2-3第1章1.5.1 二項式定理_貴州省 - 六盤水
《二項式定理》教學設計
【教材分析】
二項式定理是高中數學選修2-3第一章第五節的內容，此前學生已經具備了排列組合相關知識，本節課的形成過程其實是組合知識的應用，同時也是自成體系的知識塊，為隨后學習的概率知識及概率與統計，作知識上的鋪墊。二項展開式與多項式乘法有密切的聯系，本節知識的學習，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學習的關于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數學問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。 【學情分析】
本節課之前，學生已經熟練掌握了完全平方公式，3次方和4次方的公式也可以通過多項式的展開法則進行展開，但是更高次的二項展開學生會感覺異常麻煩，通過本節課的學習,學生應該對二項式的展開有一個更深的認識。 【教學目標】
1.知識與技能：理解二項式定理及其推導方法，識記二項展開式的有關特征，并能運用二項式定理計算或證明一些簡單的問題。
2.過程與方法：在學生對二項式定理形成過程的參與探討過程中，培養學生觀察、猜想、歸納的能力，以及學生的化歸意識與知識遷移的能力。
3.情感態度價值觀：
（1）通過學生自主參與和探討二項式定理的形成過程，培養學生解決數學問題的興趣和信心。
（2）通過學生自主參與和探討二項式定理的形成過程，使學生體會到數學內在的和諧對稱美以及自己獲取知識的喜悅。 【教學重難點】
重點：二項式定理的內容及應用。
難點：掌握運用多項式乘法以及組合知識推導二項式定理的過程。
【教學方法】
本節課的教法采用啟發式教學，并以啟發學生主動學習，積極探求為主，創設一個以學生為主體，師生互動，共同探索的教與學的情境，通過教師引導，使學生從熟悉的多項式乘法入手，利用組合的有關知識加以分析、歸納，探索出二項展開式的規律，培養學生觀察、聯想、歸納能力和從特殊到一般的數學思想方法。 【教學過程】
（一）引出新知
通過展示“楊輝三角之美”，吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，使得學生對本節課的內容有更強的求知欲，也為下節課二項式定理與“楊輝三角”的關系做鋪墊，引出課題《二項式定理》，
并開門見山的講出二項式定理所研究的內容是n
ba)(+的展開式。初中
已經學習了完全平方公式，
3)(ba+ 和 4
)(ba+ 也可以用多項式的展開來計算，那么100
)(ba+用多項式展開計算的話呢？(學生會覺得異常麻
煩），所以我們將一起研究n
ba)(+的展開式到底有什么樣規律呢？
【設計意圖】用漂亮的圖片吸引學生的注意力，激發學生的求知欲，直接引出課題，把問題作為教學的出發點，明確本課要解決的問題。
（二）合作探究，發現規律
探究一、你從下面四個二項式的展開式中能發現哪些規律性的東西？(為了方便研究，先將系數去掉，觀察a、b在展開式中的存在形式)
2222)(bababa++=+ 3223333)(babbaaba+++=+ 4322344464)(babbabaaba++++=+
通過小組內的合作探究： 學生1：每一項的次數 學生2：展開式的項數 學生3：指數的升降變化
但每一項的系數的規律是很難發現的，這時候教師就應該做出引
導。引導學生利用同位素追蹤的方法，重新展開2
222)(bababa++=+，
即將2()ab+寫成()()abab++，然后將不同因式中的ba、做上不同的標記，即寫成1122()()abab++然后展開，并觀察規律。
探究二、 1122()()abab++的展開式有幾項？展開式中每一項是怎樣構成的？
12121212
aaabbabb+++
通過合作探究，學生能夠發現以下規律（必要時教師做出引導）：
（1）每一項的構成是從展開前的每一個括號任取且只能取一個數；
（2）把取出的數乘在一起，將所有乘式加在一起就得到展開式。 然后教師再引導學生消除ba、上的不同標記，這樣就得到含有ba、的同類項，（既然從兩個括號取出來進行相乘）引導學生發現同類項的個數和組合數之間的關系。以ab項為例，系數為什么是2？實際上
在把()()abab++展開時，一個括號提供a，一個提供b，一共有11212
CC=種組合,因此ab項的系數為2.
【設計意圖】引導學生運用計數原理來解決系數問題，明確每一項的特征，為后續學習作準備.
(三) 形成定理
探究3：根據探究1、2的結果，驗證3()ab+、4()ab+的展開式，
嘗試寫出n
ba)(+的展開式。
)()(*110NnbCbaCbaCaCban
nnkknknnnnnnÎ+++++=+--LL—— 二項式定理 證明：n
ba)(+是
n個)(ba+相乘，每個)(ba+在相乘時，有兩種選擇，
選a或選b，由分步計數原理可知展開式共有n2項（包括同類項），其中每一項都是kk
nba
-),1,0(nkL=的形式，對于每一項kknba-，它是由
k
個)(ba+選了b，n－k個)(ba+選了a得到的，它出現的次數相當于從n
個)(ba+中取
k個b
的組合數k
nC，將它們合并同類項，就得二項展
開式，這就是二項式定理．
【設計意圖】通過仿照3)(ba+、4
)(ba+展開式的探究方法，由學生
類比得出n
ba)(+的展開式．二項式定理的證明采用“說理”的方法，
從計數原理的角度對展開過程進行分析，概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數，從而得出用組合數表示的展開式．
(四) 熟悉定理，簡單應用
二項式定理的公式特征：（由學生歸納，讓學生熟悉公式） 1. 項數：共有+n１項. 2. 次數：
(1)各項的次數都等于n.
(2)字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n．
3. 二項式系數: 依次為nnknnnnCCCCC,,,,,,210LL，這里),,1,0(nkCk
n×××=稱
為二項式系數.
4. 二項展開式的通項: 式中的k
knknbaC-叫做二項展開式的通項.
用1+kT表示.即通項為展開式的第k+1
項: 1+kT=k
knknbaC-（此處強調通
項為展開式的第k+1項）
例1. 求（1+2x）7
的展開式的第四項的二項式系數和系數。 例2.求
9
)
1(xx-
的展開式中
x3
的系數。
【設計意圖】熟悉二項展開式，培養學生的運算能力． (五) 歸納總結，布置作業
1．課堂小結：（先讓學生歸納總結，其次教師作補充和強調。）
（1）回顧二項式定理的推導過程。 （2）強調二項式定理的公式特征。 2．課本作業1.2.3 【設計意圖】
（1）通過小結，強化本節課所學的知識，使學生對本節課的知識脈絡更加清晰。
（2）通過作業鞏固所學知識，發現和彌補教學中的疏漏與不足，強化基本技能訓練，培養學生良好的學習習慣和品質。
(六)課后反思
1．本節課以“二項式定理”的形成過程為主線，讓學生思維由特殊到一般，演繹、歸納，得出定理，整節課以學生為主體，師生互動，體現了新課標的教學理念。
2．在例題、練習、作業的配備上，力求讓學生處理每一個問題都必須有所思考，有所收獲。總之，本節課遵循學生的認識規律，由特殊到一般，由感性到理性．重視學生的參與過程，問題引導，師生互動．重在培養學生觀察問題，發現問題，歸納推理問題的能力，從而形成自主探究的學習習慣．
(七)板書設計
（一）定理推導 PPT展示二次、三次、四次的二項式展開 規律總結 得出結論
二項式定理 （二）例題講解 例1 例2
（三）小結
1）回顧二項式定理的推導過程。 2）強調二項式定理的公式特征。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
