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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教版高中數學選修2-3《1.3.1二項式定理(第一課時)》陜西省優課
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人教版高中數學選修2-3《1.3.1二項式定理(第一課時)》陜西省優課
奧蘇貝爾認為動機是學習的先決條件，而認知驅力，即學生渴望認知、理解和掌握知識，并能正確陳述問題、順利解決問題的傾向是學生學習的重要動力。
《1.3.1二項式定理(第一課時)》教學設計
一、教材分析
《1.3.1二項式定理》是《普通高中課程標準人教版教科書-數學》選修2---3第一章第三部分第一節的內容，這節課內容上只有一個二項式定理但它卻是前面內容的繼續，也是后面內容的開始。
在計數原理之后學習二項式定理，一方面是因為它的證明要用到計數原理，可以把它看做為計數原理的一個應用。另一方面也是為后面學習隨機變量及分布做準備。同時二項式系數是一些特殊的組合數，有二項式定理可推導出一些組合數的恒等式，這對深化組合數的認識起到了很好的促進作用�？梢姸検蕉ɡ硎且粋�承上啟下的內容，問題類型具有較強的綜合性，可以連接不同內容的知識。
二、學情分析
認知分析：學生的認知結構中已經學習了二項式的平方、立方和數列的有關知識，對于計數原理，排列，組合已經有了初步的認識。
能力分析：學生能夠運用所學知識解決簡單問題——求組合數，但歸納演繹能力有待于進一步提高。
三、教學目標
1、知識與技能目標 （1）、能利用計數原理證明二項式定理 （2）、理解掌握二項式定理，并能簡單應用 （3）、能夠區分二項式的系數與二項展開式的系數 2、過程與方法目標
通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察，分析，歸納的能力，以及轉化化歸的意識與知識遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式。并經歷數學解決問題的一般思路：發現問題，提出假設，證明假設， 3、情感與態度目標 通過探究問題，要讓學生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結果，而且可以啟發我們發現一般性問題的解決方法。歸納推理讓學生在學習的過程中養成獨立思考的好習慣，在自主學習中體驗成功，在思索中感受數學的魅力，讓學生在體驗知識產生的過程中找到樂趣。
四、教學重難點
（1）教學重點：歸納二項式定理及二項式定理的應用 （2）教學難點：二項式定理中單項式的系數
（3）教學難點的突破：二項展開式中的系數問題，通過兩個問題去考察計數原理在因式分解中的應用，從而提出在猜想中的各因式的特點，降冪排列，或升冪排列，系數是看成取誰的一個組合問題，從而很容易的就突破了難點，使學生不感到突然，或是難以接受。
五、教學學法
2
為了突破難點，突出重點，我先采用設疑法將學生的興趣吸引到課堂中來，然后讓學生利用計數方法解決兩個問題，隨后應用歸納猜想的方法得出本節課的重點，層次分明，起點低，落點高，達到了低步伐高效率。在后面的教學中我注意到我班學生的本身特點，采用探究，思考，自主練習，提問的方式學習這節課的。
六、教學過程 （一）提出問題：
1．牛頓簡介，初中學過的楊輝三角形是什么?
2．什么是二項式定理？二項式定理研究的是什么？ 二項式定理研究的是nba)(的展開式. 如：2222)(bababa， 那么：
3)(ba=? 4)(ba=? 100)(ba=? 更進一步：nba)(=？
3. nba)(的展開式是什么呢？我們在計數原理這一章來學習它，說明nba)(的展開式與分類加法計數原理、分步乘法計數原理、排列與組合的知識有關，它對我們以后學習隨機變量的分布列及二項式分布奠定了基礎，起到了承前啟后的作用。那么，如何把二項展開式與這些知識聯系起來呢？
nba)(的展開式是什么呢？ 今天我們開始研究二項式定理。
板書：1.3 .1 二項式定理
（二）對2)(ba展開式的分析
1.乘積))()((54321321321cccccbbbaaa有幾項？ 乘積1122()()abab有幾項？ 2.令1212,aaabbb，
得：))(()(2bababa 展開后其項的形式為：22,,baba 按b分類：分三類：
每個都不取b的情況有1種，即02C ,則2a前的系數為0
2C 恰有1個取b的情況有12C種，則ab前的系數為12C 恰有2個取b的情況有22C 種，則2b前的系數為22C 所以 222020111202222()2abaabbCabCabCab
3
3.類似地：3()ab=？ 按b分類：分四類：
33223030121212303
3333()33abaababbCabCabCabCab
對比：按a分類：(a+b)3 ＝ C33 a3 + C32 a2b+C31 ab2 + C30 b3
按b分類：(a+b)3 ＝ C30 a3 + C31 a2b+C32 ab2 + C33 b3 思考：))()()(()(4bababababa=? 4.問題：
1)4)(ba展開后各項形式分別是什么？
4a ba3 22ba 3ab 4b
2)各項前的系數代表著什么？
各項前的系數 就是在4個括號中選幾個取b的方法種數 3)你能分析說明各項前的系數嗎？ 按b分類：分五類：
每個都不取b的情況有1種，即04c,則4a前的系數為0
4c 恰有1個取b的情況有14c種，則ba3前的系數為14c
恰有2個取b的情況有24c 種，則22ba前的系數為24c 恰有3個取b的情況有34c 種，則3ab前的系數為34c 恰有4個取b的情況有44c種，則4b前的系數為44c 則 44433422243144044)(bcabcbacbacacba
按a分類：(a+b)3 ＝ C33 a3 + C32 a2b+C31 ab2 + C30 b3 按b分類：(a+b)3 ＝ C30 a3 + C31 a2b+C32 ab2 + C33 b3
（三）對()nab展開式的分析
1.推廣：()nab的展開式的各項都是次式，即展開式應有下面形式的各項：
na，nab，„，nkkab，„，nb，
按b分類：分1n類：展開式各項的系數：
每個都不取b的情況有種，即0nC種，na的系數是0
nC； 恰有個取b的情況有1nC種，nab的系數是1nC，
4
„„，
恰有個取b的情況有knC種，nkkab的系數是k
nC，
„„，
有都取b的情況有nnC種，nb的系數是nnC，
∴01()()nnnrnkknnnnnnabCaCabCabCbnN，
2.二項展開式定理：
一般地，對于*Nn有01()()nnnrnkknnnnnnabCaCabCabCbnN
這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫()nab的二項展開式，
它有1n項，各項的系數(0,1,)k
nCkn叫二項式系數，
knkknCab叫二項展開式的通項，用1rT表示，即通項1knkkknTCab．
注：（1）項數：有1n項，是()nab的指數n加1；
（2）次數：各項的次數都等于二項式的次數n
各項中字母a的指數按降冪排列，從n次起依次減小1，到0次為此； 各項中字母b的指數按升冪排列，從0次起依次增加1，到n次為此；
二者指數之和是二項式指數n。
()()()()n
kabbabnabnkaba
從個中選，
表示：個相乘從（）個中選
（3）二項式系數：各項的系數叫二(0,1,)k
nCkn項式系數，
即0nC，1nC，2nC，…，n
nC
（4）二項展開式的通項：1(0,1,)knkkknTCabkn，，
（設計意圖：教師用邊講邊問的形式，通過讓學生自己總結、發現規律，挖掘學習材料潛在的意義，從而使學習成為有意義的學習。） （5）在二項式定理0
1
()()n
n
n
r
nk
knn
nnnnabCaCabCabCbnN中，用賦
值的思想方法：
①用b替換b：
②設1,abx，則1
(1)1n
k
k
n
nnxCxCxx
5
③設1,abx，則01(1)1()()nkkn
nnnnnxCCxCxCx ④設1,1ab，則01(11)1111nkknnnnnnCCCC
即：012nkn
nnnn
CCCC （四）二項式定理的應用
1. 二項式定理的正用： 例1. 求6(12)x的展開式。 變式訓練1：求6(12)x的展開式。 例2. 求6(12)x的展開式中3x的系數。 方法1：用推導思想（定義法）找3x的系數 方法2：全部展開，找3x的系數
方法3：通項法：用二項展開式的通項：1knkk
knTCab
變式訓練2：求6(12)x的展開式中第6項的二項式系數與第6項的系數。 變式訓練3：求（1）6(23)ab，（2）6
(32)ba的展開式中的第3項．
解：（1）2
4242216(2)(3)2160TCabab， （2）2
4242216(3)(2)4860TCbaba．
點評：1.6(23)ab，6
(32)ba的展開后結果相同，但展開式中的第項不相同
2.求二項展開式的特定項的常見題型
(1)求第k項，Tk＝； (2)求含xk的項(或xpyq的項)； (3)求常數項； (4)求有理項.
思維升華：區別“二項式系數”與“項的系數” 2. 二項式定理的逆用：
例3. （1）4321(1)4(1)6(1)4(1)1xxxx= ；
（2）化簡：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－„＋(－1)kCkn(x＋1)
n
－k
＋„＋(－1)nCnn.
逆用二項式定理可以化簡多項式，體現的是整體思想.注意分析已知多項式的
特點，向二項展開式的形式靠攏.
6
（五）課堂練習
1.求下列式子的展開式：①4)11(x ②6
)12(x
x
2.①求7)21(x的展開式的第4項的系數及第4項的二項式系數。 ②求9
)1(x
x
的展開式中含3x項的系數。 （六）總結與歸納
1.知識總結：（1）二項式定理的表達式以及展開式的通項；
（2）要正確區別“項的系數”和“二項式系數”， （3）二項式定理的應用：正用，逆用
2.思想方法的總結：
（1）由特殊到一般的研究問題的方法； （2）歸納猜想的數學思想； （3）分類討論的數學思想； （4）類比的數學思想方法； （5）賦值的數學思想方法。
（設計意圖：教師用邊講邊問的形式，通過讓學生自己總結、發現規律，挖掘學習材料潛在的意義，從而使學習成為有意義的學習。）
（七）課后作業
1. 黃皮書第97頁和98頁；
2. 查閱有關牛頓研究二項式定理的資料和楊輝三角形的相關知識及資料。
七、板書設計
1.3 .1 二項式定理（1）
(a+b)2= 例題1： (a+b)3=
(a+b)4=……. 例題2：…….. (a+b)5=……..
猜想(a+b)n=……. 例題3：…….. 說明：1、…….. …….. 2、......... …….. 八、教學后記：
本節課主要帶領學生探究了二項式的展開式，二項式定理的表達式以及展開式的通項，要正確區別“項的系數”和“二項式系數”，將二項式定理中的字母賦上適當的值，就可以求一些特殊的組合多項式的值。通過作業的批改發現對字母的指數運算時，根式化為分數指數冪時容易犯錯，學生不習慣用第k+1項表示通項。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
