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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學蘇教版選修2-3第1章《1.5.1二項式定理》江蘇
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高中數學蘇教版選修2-3第1章《1.5.1二項式定理》江蘇省儀征中學
1.5 二項式定理（1）
一、學習目標
1、掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式； 2、會利用二項展開式及通項公式解決有關問題； 本課重點：二項式定理及通項公式的掌握及運用； 本課難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用。
二、教學過程 <問題情境>
今天是星期一，今天后的第8天是星期幾？ 今天后的第100
8
天是星期幾？
分析：解決這個問題，關鍵解決100
(71)
+ 展開式是什么？
為了研究這個問題，我們先來研究一般情形： ()
*,n
abnN+Î ，它的展開式是什么？
<制定方案>
1、我們學過類似的公式嗎？有哪些？
在初中，我們已經學過了 (a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3
2、在已有公式的基礎上，我們如何研究一般公式呢？ 請給出你的研究方案（流程）。
S1：研究n=1，2，3時，展開式的規律 S2：推廣至一般情形
<初步探究>
觀察下列二項式展開式，它們有哪些相同點？哪些不同點？
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3 所以，可得研究目標：①展開式里會有哪些項？
②各項的系數是什么？
<深入探究>
1、對(a+b)2
展開式進行分析:
研究目標： ①展開式里有哪些項？為什么？ a2 ,ab,b2 ②各項的系數是什么？為什么？
因為每個都不取b的情況有1種,即C20 ,所以a2的系數為C20
;
因為恰有1個取b的情況有C21種，所以ab的系數為C21
;
因為恰有2個取b的情況有C22 種，所以b2的系數為C22
;
故(a+b)2 ＝ C20 a2 ＋C21 ab ＋ C22b2
2、對(a+b)3
展開式進行分析:
研究目標： ①展開式里有哪些項？為什么？ a3 ,a2b,ab2, b3
②各項的系數是什么？為什么？
因為每個都不取b的情況有1種,即C30 ,所以a3的系數為C30
;
因為恰有1個取b的情況有C31種，所以a2b的系數為C31
;
因為恰有2個取b的情況有C32 種，所以ab2的系數為C32
;
因為恰有3個取b的情況有C33 種，所以 b3的系數為C33
;
故(a+b)3 ＝ C30 a3 ＋C31 a2b ＋ C32ab2 ＋ C33b3
3、嘗試對(a+b)4
展開式進行分析:
研究目標： ①展開式里有哪些項？為什么？a4 ,a3b, a2b2,ab3, b4 ②各項的系數是什么？為什么？
因為每個都不取b的情況有1種,即C40 ,所以a4的系數為C40
;
因為恰有1個取b的情況有C41 種，所以a3b的系數為C41
;
因為恰有2個取b的情況有C42 種，所以 a2b2的系數為C42
;
因為恰有3個取b的情況有C43 種，所以 ab3的系數為C43
;
因為恰有4個取b的情況有C44種，所以b4的系數為C44
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4
<嘗試推廣>
4、對(a+b)n
展開式進行分析:
研究目標： ①展開式里有哪些項？為什么？ an , an-1b, an-2b2, …,bn ②各項的系數是什么？為什么？
因為每個都不取b的情況有1種,即Cn0 ,所以an的系數為Cn0; 因為恰有1個取b的情況有Cn1 種，所以an-1b的系數為Cn1; 因為恰有2個取b的情況有Cn2 種，所以 an-2b2的系數為Cn2; … … … … … 因為恰有n個取b的情況有Cnn種，所以b4的系數為Cnn
∴ (a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+rnCan-rbr+…+nnCbn
(n∈N+)
指出：這個公式叫做二項式定理，通項為：1+rT=r
nCan-rbr
系數：依次為0
nC，1
nC，2
nC，…r
nC，…n
nC，其中r
nC(r＝0，1，2，…n)稱
為二項式系數； 它的特點：
1．項數：共有(n+1)項；
2. 指數：an-r·br指數和為n，a的指數依次從n遞減到0，b的指數依次從0
遞增到n。
3.注意（a+b）n 與（b+a）n
展開式的區別
說明：二項式系數r
nC與展開中某一項系數是有區別的。如：(1＋2x)6展開式中第3
項中系數為26C·22＝60而第三項的二項式系數是2
6C＝15。
<數學運用>
例1、 展開下列各式：
（1）5
21xæö
+ç÷èø
（2）()6ab-
變式： 求5
21xæö
+ç÷èø
的展開式中第4項的二項式系數和系數
注：1）注意區別二項式系數與項的系數的概念
2）研究二項式展開式中指定項的通法是利用二項式展開式的通項.
問題 今天是星期一，今天之后的第8100天是星期幾？
<課堂小結>
1、本節課你學到了哪些知識與方法？ 2、你有哪些感悟？請與大家分享。
<作業布置>
書本P321，2，3，4，5，6
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
