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視頻標(biāo)簽：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：（省賽）北師大版必修第一冊(cè)第三章第3節(jié)《指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)（三）》第5課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用馬

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第五課時(shí)  指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)的簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用

 
一、課時(shí)內(nèi)容與內(nèi)容解析
本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書北師大版必修第一冊(cè)第三章第3節(jié)第2課時(shí)的衍生課：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用.本節(jié)課主要是通過以章引言中的“世界人口問題”為背景，展示建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程，體驗(yàn)指數(shù)型函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，是一節(jié)建模課.
數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).為了準(zhǔn)確地刻畫客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化，描述現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，常常需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類型來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類型就要清楚不同類型函數(shù)所刻畫的變化規(guī)律的特點(diǎn).指數(shù)函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)，刻畫了呈現(xiàn)“指數(shù)增長(zhǎng)衰減”的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，這種運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)世界中非常常見.因此本節(jié)內(nèi)容試圖通過表格、圖象讓學(xué)生直觀地感受“人口問題”的變化規(guī)律，通過建立不同的函數(shù)模型對(duì)比分析強(qiáng)化對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，構(gòu)建指數(shù)型函數(shù)模型，確定模型中的參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的來源和應(yīng)用，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).
本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，既是對(duì)前面知識(shí)的綜合應(yīng)用，也對(duì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程的體驗(yàn)。在此過程中激發(fā)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，逐步形成分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).
 
二、課時(shí)學(xué)情分析
（一）已有的知識(shí)儲(chǔ)備
學(xué)生在本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)掌握了指數(shù)函數(shù)的概念、圖象以及性質(zhì)，可以熟練地作出指數(shù)函數(shù)圖象，并且已經(jīng)積累了用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，并能夠應(yīng)用它們解決學(xué)科內(nèi)的一些問題和一些最基礎(chǔ)的實(shí)際問題.通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模及已經(jīng)不再陌生，這些都為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ).
（二）存在問題
高一學(xué)生的思維習(xí)慣，數(shù)形結(jié)合能力以及觀察、抽象和歸納等能力都還不強(qiáng)，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)上還是會(huì)遇到一些困難.
一方面，面對(duì)較為復(fù)雜的實(shí)際問題，如何將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，特別是如何選擇合適的函數(shù)模型來刻畫實(shí)際問題，大多數(shù)學(xué)生既缺乏這方面的經(jīng)驗(yàn)，也缺乏數(shù)學(xué)抽象能力和對(duì)指數(shù)型函數(shù)模型的深刻認(rèn)識(shí).即使學(xué)生非常清晰指數(shù)函數(shù)的圖象，但在結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題時(shí)困難重重.從利用信息技術(shù)將表格中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖象，到由圖象直觀地發(fā)現(xiàn)整體的變化情況，再到利用計(jì)算工具對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，最后揭示出圖象蘊(yùn)含的變化規(guī)律進(jìn)一步選擇合適的數(shù)學(xué)模型，這一過程對(duì)學(xué)生來說非常困難.
另一方面，在利用函數(shù)模型解決問題的過程中，大多數(shù)學(xué)生還沒有養(yǎng)成利用信息技術(shù)根據(jù)函數(shù)模型進(jìn)行運(yùn)算求解的良好習(xí)慣.
除此之外，在心理上，由于函數(shù)本身就具有較強(qiáng)的抽象性，加上高中與初中數(shù)學(xué)的差異性，所以處于高中起始階段的學(xué)生，容易對(duì)高中數(shù)學(xué)產(chǎn)生挫敗感，自我效能感降低，產(chǎn)生習(xí)得性無助等.
（三）解決辦法
首先，教學(xué)時(shí)可以多從以下兩方面幫助學(xué)生克服困難：一是根據(jù)實(shí)際問題的條件建立等量關(guān)系，從而將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；二是從數(shù)和形出發(fā)，定性和定量地分析實(shí)際問題的變化規(guī)律，從而選擇合適的函數(shù)模型.在教學(xué)中要想選擇合適的模型解決“世界人口”這一實(shí)際問題，就要在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，先分析和理解實(shí)際問題的增長(zhǎng)情況，其中重點(diǎn)考慮是“二次函數(shù)型增長(zhǎng)”還是“指數(shù)型增長(zhǎng)”，然后再根據(jù)增長(zhǎng)情況選擇函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.其次，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生歸納問題特點(diǎn)以及解決問題的過程和方法，注意實(shí)際問題的具體背景，將指數(shù)型函數(shù)模型靈活應(yīng)用，同時(shí)還應(yīng)注意總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程.最后，在教學(xué)中多鼓勵(lì)學(xué)生使用信息技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算求解，畫圖分析，多元聯(lián)系地表示數(shù)學(xué)對(duì)象并分析問題，從而逐步形成利用信息技術(shù)研究實(shí)際問題的意識(shí).
 
三、目標(biāo)與目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
（1）通過對(duì)實(shí)際問題的分析和解決過程，加深對(duì)指數(shù)型函數(shù)模型的理解，同時(shí)掌握利用信息技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算求解的方法，進(jìn)一步熟練指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；
（2）在建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程中，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；根據(jù)不同的實(shí)際情況，建立不同的數(shù)學(xué)模型，在此過程中形成數(shù)學(xué)思維的條理性，發(fā)展分析問題解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；
（3）通過對(duì)“人口問題”的自主探索，合作交流，鍛煉協(xié)作能力，同時(shí)歸納指數(shù)型函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)，推廣模型，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)名稱：A. 數(shù)學(xué)抽象；B. 邏輯推理；C. 數(shù)學(xué)建模；D. 直觀想象；E. 數(shù)學(xué)運(yùn)算；F. 數(shù)據(jù)分析.）
（1）學(xué)生分析問題時(shí)，能明確“世界人口問題”中的數(shù)量關(guān)系，能從直觀的角度考慮到將表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖形信息進(jìn)一步分析，并能針對(duì)圖象的變化趨勢(shì)提出不同的函數(shù)模型方案，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題并為建立函數(shù)模型；（AFD）
（2）能從實(shí)際問題的分析和解決過程中，深化理解指數(shù)函數(shù)型模型的變化特征，進(jìn)一步確定選擇建立指數(shù)型函數(shù)模型解決該實(shí)際問題，在信息技術(shù)的輔助下完成復(fù)雜指數(shù)運(yùn)算的求解，在此過程中能自主探索，合作交流，激發(fā)濃厚的學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；（BCE）
（3）在選擇或建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程中，圍繞“是什么數(shù)學(xué)問題”“選什么函數(shù)模型”“為什么要選這個(gè)函數(shù)模型”“怎么解答實(shí)際問題”，在此過程中讓學(xué)生逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維的條理性，進(jìn)一步提高分析問題解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).（AC）
四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：通過解決“人口問題”，感受指數(shù)函數(shù)所描述的變化規(guī)律，了解指數(shù)型函數(shù)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用.
難點(diǎn)：使用恰當(dāng)?shù)姆绞教幚碓�始�?shù)據(jù)簡(jiǎn)化實(shí)際問題；理解用“增長(zhǎng)率”為常數(shù)刻畫指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律，識(shí)別實(shí)際問題中的指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用.
五、方法與策略
教學(xué)方法上，本節(jié)課采用小組合作探究式的教學(xué)方法，由實(shí)際問題入手，通過“提出問題—收集數(shù)據(jù)—建立模型—求解模型—推廣模型”層層環(huán)節(jié)展開啟發(fā)學(xué)生的思維，突破本節(jié)課的重難點(diǎn)。學(xué)法上，從具體問題出發(fā)，特殊到一般，由淺入深，讓學(xué)生感受指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用價(jià)值。在教學(xué)手段上，采用多媒體課件以及Excel軟件，它既便于學(xué)生直觀感知，提高課堂教學(xué)效率，又能輔助驗(yàn)證結(jié)論，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。
六、資源與工具
為了幫助學(xué)生克服選擇函數(shù)模型并利用所得模型解決問題的困難，教學(xué)過程中應(yīng)充分利用信息技術(shù)的列表、作圖、計(jì)算等功能，處理實(shí)際數(shù)據(jù)便捷地求解，讓學(xué)生將主要精力投入到定性和定量的分析問題上.
使用的資源和工具如下：國(guó)內(nèi)各版本普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書及教學(xué)參考書，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，智慧黑板等多媒體設(shè)備、Excel軟件等信息技術(shù)軟件.
 
七、教學(xué)內(nèi)容與過程
（一）提出問題  分析問題
章引言：1987年7月11日，地球人口達(dá)到50億.1990年聯(lián)合國(guó)將每年7月11日定為“世界人口日”，以喚起人們對(duì)人口問題的關(guān)注.1999年和2011年世界人口分別到達(dá)60億和70億.最新預(yù)測(cè)認(rèn)為，世界人口在2050年將達(dá)到98億，到21世紀(jì)末可能超過110億.
提出問題：（1）你知道最新預(yù)測(cè)值是如何得到的嗎？
         （2）你能預(yù)測(cè)2100年時(shí)的世界人口數(shù)嗎？
（教師進(jìn)一步結(jié)合“世界各國(guó)人口變化統(tǒng)計(jì)”的視頻，幫助學(xué)生理解材料，引導(dǎo)學(xué)生分析兩者之間的聯(lián)系，找到世界人口總數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律進(jìn)一步解決問題.）
設(shè)計(jì)意圖：通過回歸教材章引言提出的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，將實(shí)際問題和已有的知識(shí)建立起聯(lián)系.教學(xué)時(shí)采用問題的形式，結(jié)合視頻生動(dòng)展現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化，意在有針對(duì)性地關(guān)注到不同層次的學(xué)生，做到總體引導(dǎo)，分層指導(dǎo).結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，逐步深入引導(dǎo)學(xué)生思考問題的本質(zhì)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生考慮建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，為后續(xù)的研究做好鋪墊.
顯然，如果能建立世界人口總數(shù)隨時(shí)間變化的函數(shù)模型，那么就能容易地解決這個(gè)問題.為此，我們需要收集更多的真實(shí)數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.
上述實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為：
（1）建立一個(gè)函數(shù)模型，使其能較好的反映世界人口與時(shí)間之間的關(guān)系；
（2）利用建立的模型求解2100年時(shí)的世界人口數(shù)。
（二）收集數(shù)據(jù)  處理數(shù)據(jù)
學(xué)生活動(dòng)1：（課前完成，課堂完成匯總。）
小組分工合作，收集不同年份的世界人口數(shù)據(jù)，匯總到導(dǎo)學(xué)案表1中。
（提醒學(xué)生：有些平臺(tái)提供的是年初數(shù)據(jù)，有些提供的是年末數(shù)據(jù)，務(wù)必認(rèn)真仔細(xì).）
表1

年份	1960	1965	1970	1975	1980	1987	1990	1995	1999	2005	2011
世界人口總數(shù)/億

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)據(jù)收集是很多數(shù)學(xué)實(shí)際問題中必不可少的步驟，此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意在讓學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)來源的真實(shí)性，為后續(xù)親身發(fā)現(xiàn)人口變化的客觀規(guī)律埋下伏筆，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.
（三）分析數(shù)據(jù)，建立模型
提出問題：如何更直觀分析兩者間的關(guān)系呢？
學(xué)生答：做出對(duì)應(yīng)圖象。
提出問題：你能簡(jiǎn)述初中時(shí)我們作圖象的流程嗎？作圖過程中有哪些注意事項(xiàng)？
（教師引導(dǎo)學(xué)生回顧初中作圖的步驟以及注意事項(xiàng)，協(xié)助學(xué)生分小組完成學(xué)生活動(dòng)2.并當(dāng)堂展示分析.）
學(xué)生活動(dòng)2：（課堂完成。）
根據(jù)表格數(shù)據(jù)，在如下網(wǎng)格紙內(nèi)繪制世界人口與時(shí)間的圖象，并觀察其分布特征。

教師引導(dǎo)學(xué)生注意坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度的選取的合理性.
同時(shí)師生共同分析：參考表1數(shù)據(jù)，考慮到年份數(shù)值過大，不利于作圖，不妨將1960年視為初始年，經(jīng)過x年后的世界人口總數(shù)為y億，得到如下表2數(shù)據(jù).將每一對(duì)數(shù)x，y對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)（x，y）用平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)來表示，可得到對(duì)應(yīng)的圖象.
表2

經(jīng)過的時(shí)間x/年	0	5	10	15	20	27	30	35	39	45	51
世界人口總數(shù)/億

 
師生共同分析小組代表繪制的圖象，考慮到手工作圖會(huì)出現(xiàn)誤差不夠嚴(yán)謹(jǐn)，教師引導(dǎo)學(xué)生可以借助信息技術(shù)完成作圖.
教師活動(dòng)1：Excel軟件演示繪制圖象.
操作步驟如下：
第一步：在Excel中A列輸入橫坐標(biāo)，B列輸入縱坐標(biāo)；
第二步：選擇所有數(shù)據(jù)，點(diǎn)擊插入菜單，選擇圖表，選擇散點(diǎn)圖即可。
根據(jù)表2數(shù)據(jù)，借助Excel軟件可得到平面直角坐標(biāo)系中一組組孤立的點(diǎn)，我們稱該圖為散點(diǎn)圖（圖1），添加軌跡線可得到軌跡圖（圖2）.
      
                        圖1                                      圖2
提出問題：學(xué)習(xí)過的函數(shù)中，哪種函數(shù)的圖像與之最接近呢？
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象的分布特征，復(fù)習(xí)目前已學(xué)習(xí)的常見的函數(shù)模型，思考選擇哪類函數(shù)來近似的刻畫世界人口隨時(shí)間的變化規(guī)律.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析已有數(shù)據(jù)，意在借助圖象直觀理解世界人口和時(shí)間的變化規(guī)律，為后續(xù)啟發(fā)學(xué)生將之與熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等圖象特征相對(duì)比，選出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型近似直觀地刻畫兩個(gè)變量的關(guān)系打好基礎(chǔ).
教師借助圖象的分布情況，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)圖象都可以呈曲線遞增趨勢(shì)，并組織學(xué)生小組合作進(jìn)行比較，分析不同模型的可行性和適用性等，最終選擇建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.
模型一：二次函數(shù)模型
模型二：指數(shù)型函數(shù)模型
提出問題：如何建立上述函數(shù)模型？
追問：（1）待定系數(shù)法可以解決嗎？
（2）代入數(shù)據(jù)不同會(huì)影響最終結(jié)果嗎？
（3）如何嚴(yán)謹(jǐn)求解模型？
教師通過追問，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生感受到信息技術(shù)在數(shù)據(jù)處理方面的優(yōu)勢(shì)，并指導(dǎo)學(xué)生借助Excel軟件完成數(shù)據(jù)的擬合、函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)模型的建立.
學(xué)生活動(dòng)3：小組合作，借助Excel軟件完成函數(shù)解析式的求解，建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型.
小組分工如下：
二小組求解二次函數(shù)模型；
第三、四小組求解指數(shù)型函數(shù)模型.
小組匯報(bào)展示，建立函數(shù)模型如下.
模型一：借助Excel軟件中的“多項(xiàng)式”數(shù)據(jù)擬合功能，得到的二次函數(shù)模型為
y = 0.0057 x2 + 0.5401 x+29.344，R2 = 0.9952；（圖3）     ①
模型二：借助Excel軟件中的“指數(shù)型”數(shù)據(jù)擬合功能，得到的指數(shù)型函數(shù)模型為
y = 29.656e0.0176x，R2 = 0.9956.（圖4）       ②
  
圖3                                      圖4
設(shè)計(jì)意圖：現(xiàn)實(shí)收集的數(shù)據(jù)并不一定具有很強(qiáng)的規(guī)律性，因此，工具的使用、算法的優(yōu)化在求解模型過程中尤為重要.充分利用Excel軟件的數(shù)據(jù)處理擬合功能，可以快速實(shí)現(xiàn)函數(shù)模型的擬合求解，且操作便捷，讓學(xué)生將主要精力投入到定性和定量的分析問題上.
（四）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?nbsp; 確定模型
函數(shù)模型的選擇并不局限于一種，所求解的函數(shù)模型一般也只能反應(yīng)局部規(guī)律，因此建立模型后需要對(duì)模型進(jìn)行對(duì)比檢驗(yàn).
提出問題：對(duì)比兩個(gè)模型，哪個(gè)模型更適合呢？
追問：（1）從“形”的角度能檢驗(yàn)嗎？
（2）從“數(shù)”的角度能檢驗(yàn)嗎？
教師指導(dǎo)學(xué)生，從“形”的角度，畫出函數(shù)模型①和②的圖象與散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)對(duì)比，觀察哪個(gè)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)更吻合.從“數(shù)”的角度，將已知的時(shí)間數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型①和②中，計(jì)算出世界人口數(shù)與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，借助Excel軟件作出誤差分析表（表3，表4），比較哪個(gè)模型誤差更小.
教師活動(dòng)2：借助Excel軟件分別作出兩個(gè)模型的誤差分析表，完成模型的檢驗(yàn).
（教師提示學(xué)生：上述擬合散點(diǎn)圖中的R2在統(tǒng)計(jì)中有特殊的含義，可幫助我們快速判斷模型擬合的效果.其中R2的值越接近于1，其擬合程度越高，反之則擬合程度越低.）
表3   二次函數(shù)型模型誤差分析

經(jīng)過的時(shí)間x/年	0	5	10	15	20	27	30	35	39	45	51
世界人口總數(shù)/億
二次函數(shù)模型求解值
誤差1

表4   指數(shù)型函數(shù)模型誤差分析

經(jīng)過的時(shí)間x/年	0	5	10	15	20	27	30	35	39	45	51
世界人口總數(shù)/億
指數(shù)型模型求解值
誤差2

設(shè)計(jì)意圖：建立模型和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪菍?shí)例教學(xué)的重點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)工具從形和數(shù)的角度檢驗(yàn)?zāi)Ｐ�，可幫助學(xué)生準(zhǔn)確高效的找到合適的函數(shù)關(guān)系式.最后提醒學(xué)生還可利用R2等檢驗(yàn)吻合程度，為高二統(tǒng)計(jì)分析的學(xué)習(xí)做好鋪墊.借助特定參數(shù)值驗(yàn)證模型后，可保證建立模型的準(zhǔn)確性，為下一步實(shí)際問題的求解做好充足的準(zhǔn)備.
顯然指數(shù)型模型更符合“世界人口”這一實(shí)際問題.
（五）求解模型  解決問題
學(xué)生活動(dòng)4：借助的函數(shù)模型求解2100年時(shí)的世界人口總數(shù)值.
根據(jù)模型，預(yù)測(cè)1960年后的第140年2100年時(shí)的世界人口總數(shù)值，只需將x = 140代入y = 29.656e0.0176x求解即可。
同時(shí)還能進(jìn)一步檢驗(yàn)2050年和21世紀(jì)末時(shí)的世界人口預(yù)測(cè)值是否合理。
設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意在促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步利用建立好的指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題，在此過程中加深對(duì)“人口問題”的理解，人口問題是一個(gè)經(jīng)典的指數(shù)增長(zhǎng)模型.
（六）模型推廣  模型應(yīng)用
在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到類似于人口案例的指數(shù)增長(zhǎng)模型：設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)率為p，經(jīng)過x次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到y(tǒng)，則y = N(1+p)x (x∈N).
形如y = k ax ( k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型.
教師活動(dòng)3：借助Excel軟件計(jì)算出世界人口變化的年增長(zhǎng)量和年增長(zhǎng)率，對(duì)比發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解建立指數(shù)型函數(shù)模型的合理性.
設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合散點(diǎn)圖，再借助信息技術(shù)分析世界人口的年增長(zhǎng)量和年增長(zhǎng)率的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)世界人口年增長(zhǎng)率都約為1.02－1=0.02，是個(gè)常數(shù).經(jīng)歷此過程讓學(xué)生深刻理解增長(zhǎng)率是刻畫指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律的很重要的量，從而實(shí)現(xiàn)模型的推廣.
在實(shí)際問題中遇到增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式就是指數(shù)增長(zhǎng)，即可用指數(shù)增長(zhǎng)模型加以求解.
學(xué)生活動(dòng)5：思考討論還有哪些指數(shù)函數(shù)應(yīng)用的實(shí)例？與同學(xué)分享。
教師總結(jié)常見的應(yīng)用還體現(xiàn)在以下方面：
模型應(yīng)用1：細(xì)胞分裂（病毒感染）問題.
模型應(yīng)用2：放射性物質(zhì)的衰減（半衰期）問題.
模型應(yīng)用3：復(fù)利（GDP增長(zhǎng)）問題.
      
模型在高考中應(yīng)用：

    設(shè)計(jì)意圖：通過收集指數(shù)增長(zhǎng)模型的在不同方面的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生充分感受該模型的重要性以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.
（七）小結(jié)提升  回顧新知
請(qǐng)你帶著下列問題回顧本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并給出回答：
（1）簡(jiǎn)述求解“世界人口”這一實(shí)際問題的過程。
（2）你能指出指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)率的特點(diǎn)嗎？
（3）本節(jié)課運(yùn)用了哪些思想方法？
師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問題獨(dú)立思考、作答，再全班交流、展示，教師予以補(bǔ)充完善.
設(shè)計(jì)意圖：通過梳理利用指數(shù)增長(zhǎng)模型解決實(shí)際問題的基本過程，配合流程圖直觀回顧，可以在學(xué)生頭腦中形成清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在此過程中更進(jìn)一步明確指數(shù)增長(zhǎng)模型的變化規(guī)律.
八、分層作業(yè)
1.鞏固作業(yè)
根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國(guó)1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別55196萬和67207萬.根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在1950~1959年期間的具體人口增長(zhǎng)模型，并完成模型的檢驗(yàn)，并結(jié)合國(guó)策分析原因.
2.探究作業(yè)
【必做題】
①完成教材93頁C組第3題.
②請(qǐng)同學(xué)們課下搜集指數(shù)函數(shù)應(yīng)用的實(shí)例，用數(shù)學(xué)建模的思想分析問題，并與同學(xué)交流.
【選做題】
課外拓展閱讀：人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型 ，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，表示t = 0時(shí)的人口數(shù)，r 表示人口的年平均增長(zhǎng)率.盡管對(duì)馬爾薩斯人口理論存在一些爭(zhēng)議，但它對(duì)人口學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了一定的影響，請(qǐng)同學(xué)們上網(wǎng)查閱資料，了解還有哪些人口模型，它們與我們學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？
2.預(yù)習(xí)任務(wù)
請(qǐng)同學(xué)們站在整章角度，整理本章的思維導(dǎo)圖，并與同學(xué)交流.
設(shè)計(jì)意圖：必做題是學(xué)生必須完成的作業(yè)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，①和②設(shè)置意在考察學(xué)生對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型的掌握情況；選做題具有一定的難度，要求學(xué)生自己去查閱相關(guān)材料來解決問題，是給學(xué)有余力的學(xué)生準(zhǔn)備的，需要學(xué)生去分析題目中的條件，找到符合實(shí)際情況的函數(shù)模型，可以培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.預(yù)習(xí)任務(wù)的設(shè)置意在承上啟下，讓學(xué)生在梳理單元知識(shí)的過程中，掌握概念，體會(huì)思想，形成技能，提升素養(yǎng)，也為下節(jié)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．
板書設(shè)計(jì)

 

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