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視頻標簽：剪紙中的數學問題,數與形
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：北京版小學數學五年級下冊《剪紙中的數學問題-數與形》北京市東城區前門小學
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教學基本信息
課題
研“一尺之棰”，悟“數形之美”——剪紙中的數學問題 是否屬于
地方課程或校本課程
否
是否屬于
跨學科主題教學
否
學科 數學
學段： 高段
年級
五年級
指導思想與理論依據
1.《義務教育數學課程標準（2011年版）》由原來的“雙基”拓展到“四基”，即增加了基本思想和基本活動經驗。數學思考作為總目標四個方面之一，在新課標教材中同樣扮演著“經歷探究過程、建構數學模型、體驗數學思想、掌握數學方法、提升數學素養”的重要角色。有助于發展學生形象思維與抽象思維，使學生學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。 因此本節課讓學生經歷“做數學”的過程，在提出問題后，學生在獨立思考的基礎上有效利用小組探究，在操作體驗中發現、在觀察想象中感悟，不僅讓學生經歷過程，拉長了學生的感悟過程，更在解決問題的過程中積累基本的活動經驗，培養基本的數學思想。
2. 中國學生發展核心素養中指出要培養學生的“科學精神”， 科學精神具體包括理性思維、批判質疑、勇于探究等基本要點。史寧中校長指出在小學數學教學活動中數學核心素養可以從數學抽象、邏輯推理和數學模型三個維度體現。本節課以《莊子·天下莊》中的一句話開啟學生思維，學生經歷由抽象到具體，由具體到抽象的學習過程，借助推理和模型在解決問題的過程中使研究不斷深入。 3.古代教育家孔子曰：“疑是思之始，學之端”。2011版課標較之以前也增加了“發現問題和提出問題”兩條能力目標。由此可見“發現問題和提出問題的重要性”，只有具備了問題意識，才能真正成為學習的主人，成為一個善于思考、具有個性的學習者。因此在本節課的數學教學中不僅重視研究等過程，更要重視初始狀態的描述、數學模型的建立，把數學“問題解決”的過程全部展示給學生。
教學背景分析
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教學內容：本節課是要借助圖形解決一些比較抽象的、復雜的、不好解釋的問題。就本題而言，雖然用舉例的方法能夠求出等比數列的有限和，學生能夠感受到結果越來越接近1，但不能證明無限多項相加的結果為1。如果用圓、正方形或線段等圖形來表示“1”，使學生結合分數的意義，在圖形上分別有規律地表示出這些加數，當這個過程無止境地持續下去時，學生能夠感受到所有的扇形、正方形或線段就會把整個圓、正方形和整條線段占滿，即這些數相加之和為1。因此教材充分利用分數意義的直觀模型，使學生直觀地理解“無限”的抽象概念，認識到通過畫圖的方式可以比較便捷地解決比較抽象的問題。
學生情況：五年級學生對具體的、數量有限的事物容易理解，因此學生通過數與形的對照，利用圖形直觀形象的特點，能夠較順暢的觀察出規律，但對抽象的、數量無限的事物卻難于把握。既然要尊重學生，順應學生思路，那么教學一定要源于學生的認知基礎與學習需求。為了更好的了解學生的情況，合理的安排教學，在實施本節課教學前，特為學生設計了前置性的學前調研。兩份試卷隨機發給班中的每位學生。
調研目的在于：一是借助分數意義的直觀模型幫助學生理解算式的意義，二是了解學生對抽象概念“無限”的理解程度。正是帶著前面的思考，在進行學前調研時，為了更好的了解學生是否有主動借助“形”理解 “數”的意識，設計了兩種形式的調研試卷。試卷A中加入了圖示，主要是想了解學生在有圖的情況下是否能利用圖示更快的得到結果。試卷B中沒有圖示，意在考查在沒有圖示時是否可以根據題目的需求畫出解題所需圖示。 調研結果分析：
參加課前調研的共31名學生，使用試卷A的學生有16名，其中能夠用畫圖的方式進行分析的占93.75%：
使用試卷B的學生有15名，其中能夠用畫圖的方式進行分析的占46.67%：
通過分析學生的作答情況，發現學生有用“形”解決問題的意識，但主動性并不是很強。兩份試
3
卷的對比中也發現雖然使用試卷B的學生較之試卷A借助畫圖解決問題的比例較少，但畫出的圖形式更直觀、形象、新穎。 具體題目分析： 第一題：
統計結果為：
第二題：
通過對學生訪談了解到，學生選擇A的主要原因是:1.“不管怎么截，它截的總是在第一次的二分之一里面截，所以永遠超不出去二分之一。”2.認為后面的分數特別小，所以可以忽略了。選擇D的主要原因是覺得“剩下的部分越來越小，總會有剩余，一直在變化，不知道是多少。” 第三題：
結果分析如下： 學生 作品
所占百分比 6.45% 12.90% 12.90% 67.75%
簡要 分析
根據發現的規律寫
出已知的加數，用“…”表示無限的結
果，并用“1-”表示被截去木棒的長
度之和。
根據發現的規律寫出已知的加數，用“…”表示無限的結
果。
能寫出有限的加數，但不知道應該用“…”表示無限的結果。
不知道用什么樣的算式表示，寫出的算式不正確或沒有作答。
完全填正確 至少一題出現錯誤
百分比
51.6%
48.4%
n
4
教學方式：學生獨立思考、自主操作、合作交流。
教學手段：做中學、學中思
技術準備：多媒體課件、正方形、圓、三角形學具和學習單
教學目標(內容框架)
教學目標：
1.學生通過自主探究找到圖形與算式之間的聯系，利用圖形解決有關數的問題。
2.使學生在解決問題的過程中，體會和感悟極限思想、數形結合思想、歸納推理等數學思想。 3.在解決問題的過程中使學生體會到數形結合的魅力，感受數學的神奇，增強對數學的熱愛之情。 教學重點：利用“形”解決稍復雜的有關“數”的問題。 教學難點：體會極限思想。
教學流程示意(可選項)
教學過程(文字描述)
一、品數學文化，啟數學思維 （一）再現文化，用形解讀
課件出示：
知識拓展：
這是《莊子天下篇》中的一句話。你們知道“一尺”表示多長嗎？
我們生活中三尺為一米，“一尺”即為33.3…（3的循環）厘米，在莊子生活的時代“一尺”表示31.68厘米。
數
與形（二）
回顧學習歷程，暢談學習感受
品數學文化，啟數學思維
再現文化，用形解讀 依托圖形，呈現算式
回顧調研，引發思考
遷移知識經驗，探索新的問題 借數形關系，研數學問題
感受數中有形，形中有數
體會數能助形，形能輔數 回顧研究歷程，升華認識
明確任務，提出問題
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提出問題：能借助這條繩子（31.68厘米）來解釋一下這句話的意思嗎？ 請兩名學生到前面講解，一邊操作，一邊記錄，教師協助，并進行板書。 板書：
提出問題：還能繼續截取嗎？
學生在討論中明確這樣的過程沒有結束，但因為截取的部分越來越小，也越來越不好表示，可以用省略號來表示。 板書：像這樣分下去…… （二）依托圖形，呈現算式
提出問題：能用一個算式表示出木棒被截去部分的長度之和嗎？ 預設1：+++++…… 追問：你是怎么想到這個算式的？
這里的“……”表示什么意思？（板書：像這樣加下去） 這個算式與我們以前學習過的算式有什么不同？
討論中明確：1.這個算式從開始加起，后面一個分數是前面一個分數的。 2. 這個算式中加數的個數是無限的。 預設2: 1－
追問：這里的n代表什么意思？為什么要用1去減？ 提出問題：這個算式與第一個算式有什么不同？
交流中明確：第一個算式借助每天截取的部分，將所有部分相加求出截取部分的總和，這個算式利用剩余的部分，從“1尺”中減去每次截取后剩下的部分就是截取部分的總和。
【設計意圖：借助數學文化自然的引出線段模型，從而得出本節課要研究的算式，同時在分析數學文化的同時，理解了算式中每一個加數的含義，為解決問題做好鋪墊。】 （三）回顧調研，引發思考
提出問題：如果我們這樣不斷的截取下去，木棒被截去部分的長度之 和將會無限趨近于多少呢？ 課件呈現學生的作答情況：
n ……
6
引發思考：你們誰的想法正確呢？
下面我們就以小組為單位進行驗證。
【設計意圖：有效利用課前調研，發現學生的真問題，激發學生的研究欲望，引發學生的真思考。】 （四）明確任務，提出問題 1.明確要求，制定計劃
課件出示研究記錄單和活動建議。 2.確定問題，選擇學具
學生小組討論確定研究問題，同組商討研究的方法，自主選取合適的研究工具。 教師為學生提供研究工具：
二、借數形關系，研數學問題 （一） 感受數中有形，形中有數 1.計算體驗，感受“無限接近”。
引發學生思考：可以用化繁為簡的方法，即先算簡單的，再由簡單的推算出復雜的。 預設： 與1相差
+++++……的結果將越來越接近于1。
提出問題：通過計算你發現了什么？如果繼續加下去，結果會怎么樣？
評價：這組同學特別具有想法，他們勇敢的用“數”進行研究，驗證自己的想法，而且思考的非常深入。 板書：數
2.數形結合，體會極限思想。 （1）借助圓，建立數與形的聯系 學生以小組為單位進行匯報
提出問題：你們為什么不繼續折了？得出了什么結論？ 課件演示，建立算式與圖形之間的聯系
第一小組作品：
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（2）借助正方形，感悟極限思想 ①學生以小組為單位進行匯報
提出問題：為什么分母比分子少1？少的1在哪兒？
②教師板貼學具：分到
提出問題：看到這里你們有什么感受？
引發思考：原來那么一大張紙，當我們分到第八次時，就只剩指甲蓋那么大了。想象一下，如果繼續下去會怎樣？
學生想象，嘗試用語言描述剩下圖形的大小。 ③課件演示，幫助學生理解極限思想 課件演示：加到加數為“
”
提出問題：和你們想象的一樣嗎？
有什么感受？ 這時分了第多少次？
課件演示：在放大鏡下繼續分，
加到加數為“
”
提出問題：現在我們分到了第17次，這件事還沒有結束，后面還有很多加數呢！像這樣加下去會怎樣？如果此時把放大鏡拿走，你看到的畫面會是什么樣的？
【設計意圖：通過化繁為簡的計算方法和用圓或正方形圖操作兩種方式的交流，勾連算式與圖形之間的聯系。在計算的過程中學生感受隨著加數的增加得到的結果越來越接近1，用圖形驗證的過程
第二小組作品
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鼓勵學生進行想象并通過語言描述以及和身邊事物的對比，使學生體會“形”的直觀，進一步體會極限思想。】
3．回歸線段，審視“結論”
提出問題：同學們借助一尺長的繩子，理解了莊子的話，還列出了這樣一個加數個數是無限的算式，又憑自己的經驗對算式+++++……的結果進行了驗證。這個算式和“1”中間應該用什么符號來連接呢？ 預設：＜、≈
提出問題：剛才我們驗證了半天，是無限趨近于1，很多同學都認為用“≈”連接？為什么書上要
用等號來連接呢？
【設計意圖：經歷了親身驗證后，首先帶著學生會回到課前的線段模型，在一維空間印證二維的發現。當學生懷著“自信”的心情打開書進行驗證，此時卻產生了矛盾沖突，發現書中居然是用“=”來連接的。這又一次激發了學生的思考，努力挖掘背后的原因，找到了起到關鍵作用的“…”，這時孩子們對極限的思想認識的就更為深入了。】 （二）體會數能助形，形能輔數
提出問題：能不能再用“數”來驗證“形”得出的結論呢？ 課件出示
方法一： 方法二：
【設計意圖：由形抽象出算式后，學生不僅用形驗證了數，此時又由形回歸到數，感受到數能助形，形能輔數，對數的精準與形的直觀有了較為深刻的體會，更感受到數與形結合的妙處。】 （三）回顧研究歷程，升華認識 1．分享交流，總結價值
通過剛才的研究你有什么收獲？有什么想跟身邊同學分享的？ 提出問題：既然能算出來，為什么還要用圖形？ 2. 文化印證，感悟魅力
出示著名數學家華羅庚先生說的話：數形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛。
數缺形時少直覺，形少數時難入微。 數形結合百般好，隔離分家萬事休。
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【設計意圖：此時華羅庚先生的話不是生硬的告知學生，而是建立在學生感悟的基礎上，是對發現學生的驗證與提升，學生的成就感油然悄然而生。】 三、遷移知識經驗，探索新的問題 你能用所學知識解決下面的問題嗎？
提出：你準備用什么方法來解決這道題？“數”還是“形”？ 預設1：用“數”來解決，通過+++++……=1進行推理 提出問題：與剛才的算式比，有什么異同？ 學生發表自己的觀點后教師課件提示：
預設2：用“形”來解決
提出問題：1.你準備用什么圖形來幫助你解決問題？
2.如果這個圖形表示“1”，算式的結果會是多少？
課件出示：
學生分析后教師課件提示：
【設計意圖：本題提供了比較開放的空間，學生可以用數借助例題的研究成果發現加數之間的關系得到結論，也可以根據加數的特點借助形在探索，即可以根據題目的特點選擇合適的方法解答。從而進一步體會數與形各自的特點和它們之間密不可分的關系。在應用本節課的知識解決問題，鞏固所學知識的同時，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。】 四、回顧學習歷程，暢談學習感受
通過今天的學習你有什么新的收獲或認識？
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
