視頻簡介：
視頻標簽：正弦定理應用舉例
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.4.3.3《余弦定理、正弦定理應用舉例》教學實錄
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新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.4.3.3《余弦定理、正弦定理應用舉例》教學設計
余弦定理、正弦定理應用舉例
望江中學 張玉琴
一、教學目標
1.了解實際問題中常用的測量相關概念，能夠運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離、高度、角度的實際問題；
2.通過對余弦定理、正弦定理應用的學習，培養學生數學抽象、數學運算、數學建模等數學素養。
二、教學重難點
1.教學重點：將實際問題轉換為解三角形問題。
2.教學難點：建立數學模型。
三、 教學過程
（-）知識回顧:
1.正弦定理：
可解下列兩類三角形：
(1)已知兩角及一邊；
(2)已知兩邊與一邊的對角。
2.余弦定理：
可解下列三類三角形：
(1)已知三邊長；
(2)已知兩邊及夾角；
(3)已知兩邊與一邊所對角。
3.仰(俯)角:
在同一鉛垂平面內，視線與水平線的夾角，如所示.
4.方向角：
從指定方向線（正北、正南、正東或正西）到目標方向線的水平角,如圖所
示。
（二）情境引入:
問:1.生活中,人們是怎樣測量“不能到達”的兩點之間的距離，底部不可到達的物體的高度呢？
2.在航海中,人們在海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？
我們可以建立數學模型，化為解三角形的問題來解決。
（三）例題講解
（1）一點不能到達
例1.如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出
AC的距離是55m，
BAC=
，
ACB=
。求A、B兩點的距離
(精確到0.1m)
問題1：
ABC中，根據已知的邊和對應角，
運用哪個定理比較適當？
問題2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？
解：根據正弦定理，得
答:A、B兩點間的距離
為65.7米
（2）兩點都不能到達
例2.如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法，并求出A,B間的距離。
解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，
并且在C、D兩點分別測得
BCA=
，
ACD=
，
CDB=
，
BDA =
，
在
ADC和
BDC中，應用正弦定理得
計算出AC和BC后，再在
ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離
AB =
(3)底部不能到達
例3. AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。[來源:學+科+網]
分析：求AB長的關鍵是先求AE，在
中，
如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測
出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。
解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三
點在同一條
直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別
是
，測角儀器的高是h，那么，在
中，根據正弦定理可得
來源:Z|xx|k.Com
-
測量角度問題
例4.緝私船在A處發現走私船在北偏東45°，距離為10海里的B處，正沿南偏東75°的方向，以10海里/小時的速度向前逃竄，緝私船立即以
海里/小時的速度追趕，求緝私船追上走私船所需的最少時間和航向。
（引導學生首要解決圖形的問題，讓學生小組討論、解答，到黑板畫圖，引導學生兩種不同的解答方法）
分析：需要相遇的時間、地點，所以可設經過t小時在C點相遇。
解：設經過t小時在C點相遇，如圖所示。
法(1)由余弦定理：
整理得：
，解得
或
因為
所以
法(2)
答：緝私船航向為北偏東
75°，1小時即可追上。
四、小結：引導學生總結
1.解三角形應用題的一般步驟：
（1）審題:準確理解題意，分清已知與所求；
（2）
畫圖:根據題意畫出示意圖，并注明已知條件；
（3）求解:分析與問題有關的一個或者幾個三角形，運用正、余弦定理等知識正確求解，并作答。
2.解決實際問題的基本思路：
五、作業：課本
練習1,2
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