視頻簡(jiǎn)介：
視頻標(biāo)簽：高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）6.2.4平面向量數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)2課時(shí) (1)
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6.2.4平面向量數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)2課時(shí) (1)
6.2.4 向量的數(shù)量積
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
平面向量數(shù)量積的概念；投影向量的概念及其意義；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.本小節(jié)計(jì)劃用2課時(shí)，第一課時(shí)：數(shù)量積的概念、投影的概念和投影向量的意義；第二課時(shí)：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.
2.內(nèi)容解析
本小節(jié)是2019年人教A版必修第二冊(cè)第六章第二單元的第四小節(jié)，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念和線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上再來(lái)探究平面向量數(shù)量積運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算是向量的核心運(yùn)算.
第一課時(shí)以物理中力做功為背景，通過(guò)類比抽象得到平面向量夾角和數(shù)量積的概念，通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，類比力在位移方向上的分力，引出投影向量，通過(guò)幾何直觀讓學(xué)生探究投影向量的方向和長(zhǎng)度，歸納出投影向量的代數(shù)表示，最后引導(dǎo)學(xué)生探究了投影向量和數(shù)量積的聯(lián)系，這也是投影向量的意義。
第二課時(shí)以問(wèn)題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量積公式中的向量特殊化、夾角特殊化得到向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)，并類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算律，讓學(xué)生猜想數(shù)量積的運(yùn)算律，并加以驗(yàn)證，得到數(shù)量積運(yùn)算的交換律、與數(shù)乘的結(jié)合律、分配律.
綜上所述，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念與投影向量.；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.
二、教學(xué)目標(biāo)
1.目標(biāo)
（1）理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義；會(huì)計(jì)算平面向量數(shù)量積；
（2）通過(guò)幾何直觀，了解平面向量投影的概念和投影向量的意義.
（3）理解平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）學(xué)生能從物理中力做功的實(shí)例抽象出向量夾角和平面向量數(shù)量積的概念，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)思想的作用；會(huì)計(jì)算平面向量數(shù)量積，知道它的結(jié)果是數(shù)量；能描述平面向量的數(shù)量積、長(zhǎng)度、夾角之間的關(guān)系.
（2）能結(jié)合具體例子畫圖解釋一個(gè)向量向另一個(gè)向量上的投影向量，知道兩個(gè)向量的夾角的大小對(duì)投影向量的影響；知道平面向量投影與平面向量數(shù)量積之間的關(guān)系，體會(huì)平面向量投影是構(gòu)建高維空間與低維空間之間聯(lián)系的橋梁.
（3）能借助向量投影說(shuō)明數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，區(qū)分平面向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)的積的不同含義.
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，有了一些研究平面向量運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，積累了一些從簡(jiǎn)單的物理背景抽象出數(shù)學(xué)概念的能力，另外學(xué)生已經(jīng)具備了一定觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，這些都是學(xué)習(xí)本節(jié)課的基礎(chǔ)。
但在概念課中，學(xué)生自主構(gòu)建概念的意識(shí)還不強(qiáng)，自主探究的能力還不夠。向量的線性運(yùn)算既是基礎(chǔ)也是思維定式，其運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果可能對(duì)學(xué)生理解數(shù)量積產(chǎn)生一定的干擾，因?yàn)閿?shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量，不是向量，運(yùn)算不封閉，學(xué)生是首次遇到，對(duì)于知識(shí)同化與心理順應(yīng)可能有一定的障礙和困難.對(duì)投影和投影向量的理解也將是本節(jié)課的難點(diǎn).
平面向量數(shù)量積是從物理中功的實(shí)例抽象出來(lái)的，并且借助了幾何直觀探究了向量投影概念和投影向量，所以學(xué)生原有的物理學(xué)習(xí)、幾何學(xué)習(xí)的差異也會(huì)直接影響他們對(duì)于平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)。另外，在探究向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行了類比，學(xué)生容易聯(lián)想到向量的數(shù)量積運(yùn)算有類似的性質(zhì)，但也會(huì)出現(xiàn)“負(fù)遷移”，教師要盡可能引導(dǎo)學(xué)生舉出一些反例來(lái)澄清認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)向量數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的乘法運(yùn)算的差異.
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：（1）向量數(shù)量積概念的形成過(guò)程；（2）向量投影的概念和投影向量的意義;（3）向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算性質(zhì).
教學(xué)中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)物理情境，以問(wèn)題為引導(dǎo)，通過(guò)不斷的類比抽象得到數(shù)量積的概念，再創(chuàng)設(shè)特定的數(shù)學(xué)情境，引出投影向量，并讓學(xué)生通過(guò)兩個(gè)活動(dòng)得到投影和投影向量的表示，讓學(xué)生體會(huì)投影向量和數(shù)量積的聯(lián)系，舉出反例，讓學(xué)生體會(huì)向量數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的乘法運(yùn)算的差異.這些都是突破難點(diǎn)的支撐條件.
四、教學(xué)支持條件分析
為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)投影向量的幾何直觀了解，可以利用信息技術(shù)展示不同夾角對(duì)應(yīng)的投影向量，幫助學(xué)生理解向量投影的概念和夾角的大小對(duì)投影向量的影響.
-
教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程
第一課時(shí)
引言：我們學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，積累了一些關(guān)于向量運(yùn)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你能以向量加法運(yùn)算為例，總結(jié)一下我們是如何研究向量運(yùn)算的嗎？
師生活動(dòng)：師生回顧總結(jié)向量加法的學(xué)習(xí)過(guò)程：先借助物理中位移的合成引入向量的加法定義及三角形法則，借助力的合成引入向量加法的平行四邊形法則，然后探討了向量加法運(yùn)算的幾何性質(zhì)和運(yùn)算律，最后研究了向量加法的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)歸納向量加法運(yùn)算的研究路徑，得到研究數(shù)學(xué)運(yùn)算的一般方法：情境—明確運(yùn)算對(duì)象—定義運(yùn)算法則—討論運(yùn)算性質(zhì)—運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用.為本節(jié)課學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積運(yùn)算做好鋪墊.
問(wèn)題1：類比數(shù)的運(yùn)算，你認(rèn)為我們還可以研究向量之間的哪些運(yùn)算？
生：向量的乘法.
設(shè)計(jì)意圖：類比數(shù)的運(yùn)算引入本節(jié)課的課題.
問(wèn)題2：物理中有沒有矢量與矢量相乘呢？
師生活動(dòng)：學(xué)生回憶物理中有關(guān)矢量的運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)物理中的功是矢量與矢量相乘的結(jié)果.教師創(chuàng)設(shè)以下情境：
（一）創(chuàng)設(shè)物理情境，引入背景
如圖小車在力
F的作用下移動(dòng)了一段位移是
S，力和位移的夾角為θ，從物理的角度來(lái)看其實(shí)質(zhì)是什么？
生：W=|F||S|cos
（二）分析背景，抽象對(duì)象
追問(wèn)：功是由力和位移這兩個(gè)矢量通過(guò)乘法運(yùn)算得到的一個(gè)標(biāo)量，如果去掉這兩個(gè)量的物理屬性，我們能不能抽象出向量的另一種運(yùn)算呢？
師生活動(dòng)：借助功的計(jì)算公式，教師引導(dǎo)學(xué)生將物理中的力和位移這兩個(gè)矢量抽象為數(shù)學(xué)中的向量，功這個(gè)標(biāo)量抽象為數(shù)學(xué)中的數(shù)量，矢量的夾角抽象為向量的夾角，這樣就可以定義向量與向量的乘法.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)物理情境，抽象物理對(duì)象，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
（三）類比抽象，生成定義
問(wèn)題3：類比物理中力與位移的夾角，你能給出兩個(gè)向量夾角的定義嗎？夾角的取值范圍又是什么？
師生活動(dòng)：教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，大膽發(fā)言，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)概念.借助信息技術(shù)展示兩個(gè)向量夾角大小的變化過(guò)程，得到向量夾角的范圍，并指出特殊夾角時(shí)，兩個(gè)向量的位置關(guān)系.
已知非零向量
,
，
是平面上的任意一點(diǎn)，作
，
則
叫做向量
與
的夾角。
顯然，當(dāng)
時(shí)，
與
同向，當(dāng)
時(shí)，
與
反向，當(dāng)
時(shí)，我們說(shuō)
與
垂直，記作
.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生嘗試給出兩個(gè)向量夾角的定義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界,同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
牛刀小試：已知
為等邊三角形，則
（1）
與
的夾角為 ．
（2）
與
的夾角為 ．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩個(gè)小練習(xí)，加深對(duì)向量夾角的理解，第（2）題是學(xué)生的易錯(cuò)題，這里主要提醒學(xué)生求向量夾角要將兩個(gè)向量起點(diǎn)平移到同一點(diǎn).
問(wèn)題4：類比功的計(jì)算公式，你能給出向量數(shù)量積的定義嗎？
師生活動(dòng)：借助功的計(jì)算公式，通過(guò)類比抽象，學(xué)生不難得出向量數(shù)量積的定義：
已知兩個(gè)非零向量
與
，它們的夾角為
，我們把數(shù)量
叫做向量
與
的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作
，即
.
設(shè)計(jì)意圖：有了向量夾角的概念，得到數(shù)量積的概念自然水到渠成，這里讓學(xué)生自主給出數(shù)量積的概念，讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)概念的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力.
問(wèn)題5：任意兩個(gè)向量的數(shù)量積都可以用這個(gè)公式去計(jì)算嗎？
追問(wèn)：該如何定義零向量與其他向量的數(shù)量積呢？
師生活動(dòng)：提醒學(xué)生注意到定義只適用于非零向量，而對(duì)于零向量的數(shù)量積課本有規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.
問(wèn)題6：從結(jié)果上看，向量的數(shù)量積這種運(yùn)算和前面的三種向量運(yùn)算有沒有不同之處？其結(jié)果由什么決定？
師生活動(dòng)：學(xué)生自主思考，并請(qǐng)學(xué)生回答.
設(shè)計(jì)意圖：提醒學(xué)生注意向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量，不是向量，也正是這點(diǎn)不同，溝通了向量運(yùn)算與數(shù)量之間的關(guān)系.其結(jié)果由兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及夾角決定.
例1 已知
根據(jù)下列條件，求
（1）
; （2）
; （3）
與
的夾角為
.
變式：練習(xí)2中條件不變，若
，求
的夾角.
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成并請(qǐng)部分學(xué)生作答.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例1及變式，加深學(xué)生對(duì)數(shù)量積概念的的理解，理解數(shù)量積、長(zhǎng)度、夾角之間的關(guān)系，體會(huì)知三求一的方程思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
-
創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，發(fā)現(xiàn)投影向量
例2在等邊三角形
中，
，
為
的中點(diǎn)，
為線段
上一點(diǎn)，
-
若與
重合,求
;
-
若
,求;
-
若
，求;
變式：若
為線段
上任一點(diǎn)，
結(jié)果又如何？
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成例2（1）-（3），教師請(qǐng)部分學(xué)生回答，提出疑問(wèn)，提出變式.變式由于夾角不好求，大部分學(xué)生會(huì)遇到困難，此時(shí)教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何圖形，從“形”的角度分析得到
，再引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，
與
同向，故
.也就是說(shuō)向量
與
的數(shù)量積等于向量
與
的數(shù)量積.教師從物理背景出發(fā)，給出解釋：力對(duì)物體所做的功實(shí)際上是力在位移上分力所做的功.類比到數(shù)學(xué)中，我們可以說(shuō)向量
與
的數(shù)量積等于向量
在向量
上的“分向量”
與向量
的數(shù)量積.這樣學(xué)生從
的幾何意義和物理背景兩個(gè)角度關(guān)注到了向量
.在數(shù)學(xué)中我們稱向量
為投影向量.這樣就順利地引入可投影向量的概念.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三組數(shù)量積相等，引發(fā)學(xué)生思考，提出變式，引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度分析，發(fā)現(xiàn)投影向量，突破難點(diǎn).讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).
學(xué)生活動(dòng)一：參照力在位移方向上分力的作圖方法，做出
在
方向上的投影向量.
師生活動(dòng)：展示部分學(xué)生的成果，并請(qǐng)學(xué)生敘述作圖過(guò)程，得到投影概念.
設(shè)
是兩個(gè)非零向量，我們考慮如下變換：過(guò)
的起點(diǎn)
和終點(diǎn)
，分別做
所在直線的垂線，垂足分別為
，得到
，我們稱上述變換為向量
向向量
投影，
叫做向量
在向量
上的投影向量.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手作圖，發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng)，并且通過(guò)對(duì)作圖過(guò)程的描述，引導(dǎo)學(xué)生得到投影和投影向量概念，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赜脭?shù)學(xué)語(yǔ)言科表達(dá)的能力。
學(xué)生活動(dòng)二：小組討論，合作交流
分析投影向量的方向和大小
的
范圍 |
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作圖 |
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投影向量方向 |
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投影向量的長(zhǎng)度 |
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投影向量 |
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師生活動(dòng)：結(jié)合表格，教師先以向量夾角為銳角為例，引導(dǎo)學(xué)生推出投影向量的方向和長(zhǎng)度，進(jìn)而得到投影向量
代數(shù)表示
，其中
是與
同向的單位向量，剩余的四種情形讓學(xué)生進(jìn)行小組交流，然后教師展示部分學(xué)生成果，并用幾何畫板演示向量夾角變化時(shí)，
在
方向上的投影向量及夾角大小對(duì)投影向量的影響，最后師生一起歸納得到投影向量向量
的表達(dá)式
.有了投影向量，
,這樣我們就將兩個(gè)不共線的向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為了兩個(gè)共線向量的數(shù)量積，實(shí)現(xiàn)了“降維”的目的，這也是投影向量的意義所在.
設(shè)計(jì)意圖：小組討論，合作交流，增強(qiáng)學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生從“形”和“數(shù)”兩個(gè)角度研究投影向量，得到投影向量的代數(shù)表示，不但加深了對(duì)投影向量的理解，同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。
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回顧并敘述得出數(shù)量積定義的研究思路，在這個(gè)過(guò)程中，你有哪些收獲？
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計(jì)算數(shù)量積的方法有哪些？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為可以解決哪些與向量有關(guān)的問(wèn)題。
設(shè)計(jì)意圖：以提綱的形式幫助學(xué)生回顧本節(jié)課的研究思路、基本知識(shí)和基本方法，讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合、類比推理、分類討論等數(shù)學(xué)思想在研究數(shù)學(xué)中的作用，同時(shí)也幫助學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)反思的習(xí)慣。
（八）布置作業(yè)
1.課后作業(yè)：課本P20第1、2題;
2.課后思考：類比數(shù)的乘法運(yùn)算，猜想并證明數(shù)量積的運(yùn)算律，并思考它與數(shù)的乘法運(yùn)算律有哪些區(qū)別.
設(shè)計(jì)意圖：課后作業(yè)是為了考查學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積、投影向量的掌握.課后反思為下節(jié)課研究數(shù)量積的運(yùn)算律做鋪墊.
第二課時(shí)
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創(chuàng)設(shè)情境，探討數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)
問(wèn)題1 當(dāng)一個(gè)向量為特殊向量時(shí)，兩個(gè)向量的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
師生活動(dòng)：先引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)特殊向量，然后由學(xué)生自主得出數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)：
（1）
.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將向量特殊化得到數(shù)量積的性質(zhì)，讓學(xué)生了解性質(zhì)的由來(lái).
問(wèn)題2 當(dāng)兩個(gè)向量的位置關(guān)系特殊時(shí)，它們的數(shù)量積有怎樣的特殊性？
師生活動(dòng)：教師提問(wèn)學(xué)生兩個(gè)向量的特殊位置關(guān)系有哪些，然后由學(xué)生自主探究得出數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)：（2）
；這里教師提出問(wèn)題：此結(jié)論反之成立嗎？引導(dǎo)學(xué)生探究得出當(dāng)
時(shí)，有
或
或
，故反之不一定成立，但當(dāng)
為非零向量時(shí)，有
.（3）當(dāng)
與
同向時(shí)，
；當(dāng)
與
反向時(shí)，
，特別地
，或
.這里教師需要指出
是計(jì)算向量模長(zhǎng)的重要公式，即模方公式.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步理解向量的數(shù)量積由兩個(gè)向量的模長(zhǎng)和夾角的余弦值共同決定，并理解兩個(gè)向量的垂直關(guān)系。
問(wèn)題3 設(shè)
為非零向量，
與
有怎樣的大小關(guān)系？
師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生得到
.
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解兩個(gè)向量數(shù)量積的絕對(duì)值與這兩個(gè)向量模長(zhǎng)乘積的關(guān)系.
（二）探究數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律
與向量的線性運(yùn)算一樣，定義了向量的數(shù)量積后，就要研究數(shù)量積運(yùn)算是否滿足一些運(yùn)算律.類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算律，請(qǐng)你猜想數(shù)量積有哪些運(yùn)算律？
師生活動(dòng)：先讓學(xué)生類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算律猜想數(shù)量積的運(yùn)算律，然后讓學(xué)生自主思考，如何驗(yàn)證.對(duì)于交換律和與數(shù)乘的結(jié)合律，學(xué)生不難證明，但對(duì)于分配律的證明，學(xué)生有一定的困難，這里教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量投影來(lái)證明，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生得出向量
在向量
上的投影向量等于向量
在向量
上的投影向量的和.為了說(shuō)明這一點(diǎn)，關(guān)鍵是證明
,利用這一等式學(xué)生能方便地證明結(jié)論.在這個(gè)過(guò)程中難點(diǎn)是構(gòu)造圖形，教師可以讓學(xué)生先自主動(dòng)手畫草圖，再借助幾何畫板畫板畫出不同情形的輔助圖形，幫助學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)投影向量的關(guān)系.對(duì)于結(jié)合律的驗(yàn)證，學(xué)生不難得出是不滿足的，此處更重要的是要提醒學(xué)生類比推理是一種很好發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，但一定要加以驗(yàn)證，類比得出的結(jié)論不一定正確.
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算律猜想數(shù)量積的運(yùn)算律，并借助數(shù)量積的定義和向量投影加以驗(yàn)證，幫助學(xué)生積累研究運(yùn)算律的經(jīng)驗(yàn)，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).
（三）典例分析
例1 我們知道，對(duì)于任意
,恒有
，
.
對(duì)任意向量
，是否也有下面類似的結(jié)論？
（1）
；
（2）
.
設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用向量數(shù)量積的分配律推導(dǎo)出以上結(jié)論，這些結(jié)論與實(shí)數(shù)中的結(jié)論類似.
例2 已知
，
，
與
的夾角為
，求
.
變式1 上述條件不變，求
.
變式2 上述條件不變，求向量
與
的夾角.
設(shè)計(jì)意圖：例2及其變式都是向量數(shù)量積及其運(yùn)算律的綜合應(yīng)用，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
例3 已知
，
，且
與
不共線，當(dāng)
為何值時(shí)，向量
與
互相垂直？
設(shè)計(jì)意圖：理解兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，能借助向量數(shù)量積解決向量垂直問(wèn)題.
（四）沉淀反思 課堂小結(jié)
（1）本節(jié)課研究了平面向量的哪些性質(zhì)和運(yùn)算律，是通過(guò)什么方式進(jìn)行研究的？
（2）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為可以解決哪些與向量有關(guān)的問(wèn)題。
設(shè)計(jì)意圖：以提綱的形式幫助學(xué)生回顧本節(jié)課的研究思路、基本知識(shí)和基本方法，讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合、類比推理等數(shù)學(xué)思想在研究數(shù)學(xué)中的作用，同時(shí)也幫助學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)反思的習(xí)慣。
（五）布置作業(yè)
教科書P22練習(xí) 1、2、3；習(xí)題6.2 18、20
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