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視頻標簽：高中數學必修第二冊
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.2.4平面向量數量積教學第1課時
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新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.2.4平面向量數量積教學設計第1課時
6.2.4 向量的數量積
一、內容和內容解析
1.內容
平面向量數量積的概念；投影向量的概念及其意義；平面向量數量積的性質及運算律.本小節計劃用2課時，第一課時：數量積的概念、投影的概念和投影向量的意義；第二課時：平面向量數量積的性質及運算律.
2.內容解析
本小節是2019年人教A版必修第二冊第六章第二單元的第四小節，是在學生已經學習了平面向量的概念和線性運算的基礎上再來探究平面向量數量積運算，向量的數量積運算是向量的核心運算.
第一課時以物理中力做功為背景，通過類比抽象得到平面向量夾角和數量積的概念，通過創設數學情境，類比力在位移方向上的分力，引出投影向量，通過幾何直觀讓學生探究投影向量的方向和長度，歸納出投影向量的代數表示，最后引導學生探究了投影向量和數量積的聯系，這也是投影向量的意義。
第二課時以問題為導向，引導學生將數量積公式中的向量特殊化、夾角特殊化得到向量數量積的有關性質，并類比數的乘法運算律，結合向量的線性運算律，讓學生猜想數量積的運算律，并加以驗證，得到數量積運算的交換律、與數乘的結合律、分配律.
綜上所述，確定本節課的教學重點：平面向量數量積的概念與投影向量.；平面向量數量積的性質及運算律.
二、教學目標
1.目標
（1）理解平面向量數量積的概念及其物理意義；會計算平面向量數量積；
（2）通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念和投影向量的意義.
（3）理解平面向量數量積的性質及運算律.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）學生能從物理中力做功的實例抽象出向量夾角和平面向量數量積的概念，體會數學概念的生成過程，感悟數學抽象、邏輯推理等數學思想的作用；會計算平面向量數量積，知道它的結果是數量；能描述平面向量的數量積、長度、夾角之間的關系.
（2）能結合具體例子畫圖解釋一個向量向另一個向量上的投影向量，知道兩個向量的夾角的大小對投影向量的影響；知道平面向量投影與平面向量數量積之間的關系，體會平面向量投影是構建高維空間與低維空間之間聯系的橋梁.
（3）能借助向量投影說明數量積的運算性質，區分平面向量數量積與實數的積的不同含義.
三、教學問題診斷分析
學生已經學習了平面向量的加法、減法、數乘運算，有了一些研究平面向量運算的經驗，積累了一些從簡單的物理背景抽象出數學概念的能力，另外學生已經具備了一定觀察問題、分析問題的能力，這些都是學習本節課的基礎。
但在概念課中，學生自主構建概念的意識還不強，自主探究的能力還不夠。向量的線性運算既是基礎也是思維定式，其運算過程和結果可能對學生理解數量積產生一定的干擾，因為數量積的運算結果是數量，不是向量，運算不封閉，學生是首次遇到，對于知識同化與心理順應可能有一定的障礙和困難.對投影和投影向量的理解也將是本節課的難點.
平面向量數量積是從物理中功的實例抽象出來的，并且借助了幾何直觀探究了向量投影概念和投影向量，所以學生原有的物理學習、幾何學習的差異也會直接影響他們對于平面向量數量積的學習。另外，在探究向量數量積的運算性質時，與實數的乘法運算性質進行了類比，學生容易聯想到向量的數量積運算有類似的性質，但也會出現“負遷移”，教師要盡可能引導學生舉出一些反例來澄清認識，讓學生體會向量數量積運算與數的乘法運算的差異.
基于以上分析，本節課的教學難點是：（1）向量數量積概念的形成過程；（2）向量投影的概念和投影向量的意義;（3）向量數量積運算的運算性質.
教學中，通過創設物理情境，以問題為引導，通過不斷的類比抽象得到數量積的概念，再創設特定的數學情境，引出投影向量，并讓學生通過兩個活動得到投影和投影向量的表示，讓學生體會投影向量和數量積的聯系，舉出反例，讓學生體會向量數量積運算與數的乘法運算的差異.這些都是突破難點的支撐條件.
四、教學支持條件分析
為加強學生對投影向量的幾何直觀了解，可以利用信息技術展示不同夾角對應的投影向量，幫助學生理解向量投影的概念和夾角的大小對投影向量的影響.
師生活動：學生回憶物理中有關矢量的運算，發現物理中的功是矢量與矢量相乘的結果.教師創設以下情境：
,
，
是平面上的任意一點，作
，
則
叫做向量與的夾角。
時，與同向，當
時，與反向，當
時，我們說與垂直，記作
.
牛刀小試：已知
為等邊三角形，則
與
的夾角為 ． 與
的夾角為 ． 與，它們的夾角為
，我們把數量
叫做向量與的數量積（或內積），記作
，即
.
根據下列條件，求
; （2）; （3）與的夾角為
.
，求
的夾角.
中，
，
為
的中點，
為線段
上一點，與
重合,求
;
,求;
，求;
為線段上任一點，結果又如何？
，再引導學生觀察發現，
與同向，故
.也就是說向量
與的數量積等于向量與的數量積.教師從物理背景出發，給出解釋：力對物體所做的功實際上是力在位移上分力所做的功.類比到數學中，我們可以說向量與的數量積等于向量在向量上的“分向量”與向量的數量積.這樣學生從
的幾何意義和物理背景兩個角度關注到了向量.在數學中我們稱向量為投影向量.這樣就順利地引入可投影向量的概念.在方向上的投影向量.
是兩個非零向量，我們考慮如下變換：過的起點
和終點
，分別做
所在直線的垂線，垂足分別為
，得到
，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.|
的 范圍 |
|
 |
|
 |
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| 作圖 |
 |
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 |
 |
 |
| 投影向量方向 | |||||
| 投影向量的長度 | |||||
| 投影向量 |
代數表示
，其中
是與同向的單位向量，剩余的四種情形讓學生進行小組交流，然后教師展示部分學生成果，并用幾何畫板演示向量夾角變化時，在
方向上的投影向量及夾角大小對投影向量的影響，最后師生一起歸納得到投影向量向量的表達式
.有了投影向量，
,這樣我們就將兩個不共線的向量的數量積轉化為了兩個共線向量的數量積，實現了“降維”的目的，這也是投影向量的意義所在.
.
；這里教師提出問題：此結論反之成立嗎？引導學生探究得出當
時，有
或
或
，故反之不一定成立，但當為非零向量時，有
.（3）當
與
同向時，
；當
與反向時，
，特別地
，或
.這里教師需要指出
是計算向量模長的重要公式，即模方公式.為非零向量，
與
有怎樣的大小關系？
.
師生活動：先讓學生類比數的乘法運算律，結合向量的線性運算律猜想數量積的運算律，然后讓學生自主思考，如何驗證.對于交換律和與數乘的結合律，學生不難證明，但對于分配律的證明，學生有一定的困難，這里教師要引導學生運用向量投影來證明，關鍵是要引導學生得出向量
在向量
上的投影向量等于向量在向量上的投影向量的和.為了說明這一點，關鍵是證明
,利用這一等式學生能方便地證明結論.在這個過程中難點是構造圖形，教師可以讓學生先自主動手畫草圖，再借助幾何畫板畫板畫出不同情形的輔助圖形，幫助學生直觀認識投影向量的關系.對于結合律的驗證，學生不難得出是不滿足的，此處更重要的是要提醒學生類比推理是一種很好發現規律的方法，但一定要加以驗證，類比得出的結論不一定正確.
,恒有
，
.，是否也有下面類似的結論？
；
.
，
，與的夾角為
，求
.
.
與的夾角.
，
，且與不共線，當
為何值時，向量
與
互相垂直？視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
