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視頻標簽：指數函數圖象和性質

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：（省賽）北師大版必修第一冊第三章第3節《指數函數圖象和性質（一）》3.3.1指數函數第一課時夏凱月

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部編版高中新課程新教材優質課比賽（省賽）北師大版必修第一冊第三章第3節《指數函數圖象和性質（一）》3.3.1指數函數第一課時
第3課時  指數函數的概念及性質
                  
一、課時內容與內容解析
本節課選自普通高中課程標準實驗教科書北師大版必修第一冊第三章第三節第一課時指數函數的概念和性質。主要內容是指數函數的概念，以及底數時的圖象和性質，是一節探究課。
函數是刻畫客觀世界變量關系強有力的工具與模型，它貫穿整個高中課程，而指數函數作為基本初等函數之一，不僅提供了研究一類函數的思想方法，并且在實際生活中對于指數增長衰減模型的刻畫也有重要的作用。
本節課是在函數的概念性質及指數冪的擴充和運算之后學習的，學生已有初步的數形結合以及抽象的能力。在此基礎之上，利用指數冪的擴充及運算抽象出指數函數概念，然后探究了底數時的圖象與性質，從而體會一類函數的探究方法。本節課學完之后，也為下節時的圖象性質和后續函數的學習奠定基礎。因此本節課內容具有承前啟后的作用，至關重要。
二、學情分析
（一）已有的知識儲備
通過第二章的學習，學生已經掌握了函數的概念及性質，可以熟練地作出函數圖象，并且積累了用函數圖象和代數運算研究函數性質的經驗。通過前兩個課時的學習，學生已經對指數冪有了一定的了解，這些都為本節課提供了一定的知識基礎。
（二）存在的問題
但是針對高一學生，他們的思維習慣，數形結合能力以及觀察抽象歸納等能力都還不強，在本節課的學習上還是會遇到一些困難。一是雖然前面經歷了指數冪的學習，但直接從數學內部建立起與函數的聯系，從而抽象出指數函數概念對學生來說是個難點。二是即使前面冪函數能提供給大家研究的框架，但與指數函數不同的是，冪函數只研究了五個具體的函數，學生并沒有經歷從特殊到一般的抽象過程，因此作為一節具體函數探究課，學生并沒有太多的經驗。加上班級學生會有少許的分化，部分基礎不好的同學邏輯推理數學抽象等素養還較為欠缺，在性質的探究和歸納過程會產生一些困難。除此之外，在心理上，由于函數本身就具有較強的抽象性，加上高中與初中數學的差異性，所以處于高中起始階段的學生，容易對高中數學產生挫敗感，自我效能感降低，產生習得性無助等。
（三）解決辦法
為此，在教學中要建立在學生已有知識經驗的基礎之上，教師引導，從具體函數和幾何直觀入手為學生搭建腳手架。讓學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，同時利用信息技術，突破難點。在教學過程中善于引導，激發學生學習興趣，幫助學生樹立自信心。
所以在本節課的教學設計中，概念部分注重引導學生從已有的知識出發，將新舊知識之間建立聯系，抽象出指數函數概念。性質部分注重從具體的指數函數出發，結合圖象的觀察分析，動手操作，自主探究，通過信息技術GeoGebra輔助，獲得一般性結論，在這個過程中增強學生的自我效能感。

• 目標與目標解析

 1.目標
（1）通過指數冪的回顧，學生能建立起與函數之間的聯系，從而抽象出指數函數的概念，發展數學抽象的核心素養。
（2）通過對和圖象的對比，學生能找出其共同點和不同點，并能用數學語言準確刻畫。積累從幾何直觀和代數直觀研究函數性質的經驗，體會數形結合的思想，發展直觀想象、數學抽象的核心素養。
（3）通過GeoGebra演示，從具體到抽象，學生能總結出時指數函數的圖象和性質。經歷從特殊到一般的推理過程，發展邏輯推理的核心素養。
（4）學生能應用指數函數的相關性質解決比較大小、方程及不等式等有關問題，學會用函數眼光看待數學問題，體會函數思想，發展數學運算和數學抽象的核心素養。
2.目標解析
達成上述目標的標志是：

1. 學生能通過前兩節指數冪的學習經驗，解決問題1和問題2，并能從中發現函數關系，得出概念后，能自主完成例1，掌握指數函數的形式特點。
2. 學生能利用描點法準確作出和圖象，通過對比共同特征能得出函數相應的定義域、值域、單調性、定點等性質。能通過觀察不同點，發現底數對指數函數圖象的影響。
3. 學生能通過觀察信息技術演示，將由具體函數總結的圖像特征和函數性質推廣到一般，并能用符號語言準確刻畫。
4. 學生能利用指數函數的性質，自主完成例2、例3以及相關變式和鞏固練習，并能說出自己的思路以及理論依據。

 
四、教學重點與難點
教學重點：指數函數概念的理解，a>1時的圖象與性質的掌握
教學難點：a>1時指數函數性質的概括及應用
五、方法與策略
教學方法上，本節課采用探究式的教學方法，采用“提出問題一概念得出---動手操作--技術演示--總結歸納”層層遞進的方式來突破本節課的重難點。學法上，由一系列問題為主線，層層遞進，由淺入深，讓學生體會函數性質探究的一般思想方法。在教學手段上，采用多媒體課件以及Geogebra，它既便于學生直觀感知，提高課堂教學效率，又能輔助驗證結論，激發學生學習興趣。
六、資源與工具
本節課的目標之一是學生能總結并掌握底數時指數函數的性質，所以需要借助Geogebra軟件動態演示，幫助學生直觀感知，從而將由特殊函數得出的結論推廣到一般。另外，為了檢測教學目標是否達成，在例題部分需要用到投影展示學生的成果。
七、教學內容與過程
（一）創設問題 導入課題
問題1：通過前面的學習，你對指數冪中的底數和指數有哪些認識？
追問1：如果把記為，的值有什么特點？
問題2：對于，當底數一定時，任給一個實數，是否都有唯一確定的實數與之對應？
預設學生回答是的函數，引導一般用表示自變量表示函數，從而引出課題（板書）
【設計意圖】通過復習舊知引導學生自主思考，從學生熟悉的指數冪出發，讓學生將現有知識與函數之間建立起聯系，從而自然地抽象出指數函數的概念，并且為指數函數的定義域和函數值特點提供知識基礎。
（二）啟發引導 形成概念
指數函數的概念：
問題3：通過上述問題，你能得出指數函數的哪些簡單性質？
定義域：R     函數值大于零
追問：由前面的學習我們知道=1(≠0)，由此，在指數函數中我們還可以得到什么性質？
圖象過定點（0.1）
【設計意圖】初步建立從代數角度研究函數性質的經驗
 例1 判斷下列函數是否為指數函數？
          
【設計意圖】通過變式強調指數函數的形式特點
（三）逐步深入 提出問題
師生活動：回顧第二章函數的學習過程，類比思考研究完指數函數的定義之后，下一步該研究什么？讓學生進一步明確接下來的探究任務，即指數函數的性質。教師引導學生發現底數的范圍被分成了和兩部分，本節課先來探究時的性質。
思考：（1）我們一般研究函數的哪些性質？ 
           定義域，值域，單調性，奇偶性…
（2）通過什么方式去發現這些性質？       
   預設： 根據圖象特征數形結合
（3）底數的值未知，（）的圖象無從畫起，如何解決？
預設：賦予具體的數值，從具體的函數出發
追問：大家覺得在的條件下給賦予什么值，更簡單且有利于作出圖象？
【設計意圖】通過以上三個問題，逐步推進設問，讓學生自主建構探究函數性質的一般方法及思想。
（四）討論探究 發現性質
動手操作：在同一平面直角坐標系中作出和的圖象
師生活動：找學生上黑板作圖，其余學生在學案上作圖，教師巡視，并引導列表時要依據定義域選取有代表性的數值，可利用上面發現的兩條性質輔助作圖。
問題4：觀察它們的圖象特征有什么共同點，從中你能發現哪些共同性質？
師生活動：學生自主總結觀察出來的圖象共同特征后，教師引導學生將觀察出的圖象特征用符號語言表示出來，數形結合。
 追問：以上性質是由兩個特殊的函數總結出來的，是否只要底數大于1時，指數函數都具有這樣的性質呢？                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   


借助GeoGebra操作驗證，師生共同歸納總結：
【設計意圖】先通過動手操作將得出的圖象對比分析，學生初步感知和的圖象和性質，然后從特殊到一般，借由信息技術輔助，將性質推廣到一般，即（）的圖象性質。
問題5：觀察它們的圖象特征有什么不同點，你又能得到什么結論？
預設：，的圖象在的上方，，的圖象在的下方。
引導學生用數學語言表示：



追問：類似的，以上結論能否推廣到一般？
    GeoGebra操作演示，得出結論：對于和



【設計意圖】通過動手操作所得圖象的對比分析，找出不同點，體會底數對指數函數圖象的影響，從特殊到一般，提出猜想，最后借由信息技術geogebra輔助，將性質推廣到一般，突破本節難點。
（五）新知應用 鞏固深化
例2  比較下列各題中兩個數的大小：


【設計意圖】通過例1考察指數函數單調性的應用，并且滲透構建函數的方法及函數思想。變式意圖是考察底數大小對函數的影響這一性質的應用
例3  （1）求使不等式成立的實數的集合
（2）已知方程，求實數的值；
【設計意圖】讓學生體會函數在解不等式以及解方程中的應用
 
（六）鞏固練習 檢驗效果

（2）

（1）

1.比較下列各題中兩個數的大小：
 
 
2.求下列不等式成立的實數的集合：

	（1）
			（2）

 
 

（七）小結提高 回顧新知
（1）這節課我們學習了指數函數的哪些內容？
（2）我們是按照什么樣的路徑去研究指數函數的？在這個過程中，用了哪些數學思想和方法？
（八）分層作業
1.鞏固作業
必做題：教材84頁練習題1，3
選做題：嘗試給出單調性以及大小關系的證明
2.探究作業
作出指數函數的圖象，類比的情況，小組交流，討論時指數函數的圖象和性質，完成探究活動報告（附后）。
【設計意圖】進一步鞏固本節課的所學內容，根據學生層次的不同設置必做題和選做題，讓不同的學生在數學上得到不同的發展。其中的選做題是為了從代數角度進一步證明相關性質，體現數學的嚴謹性。探究作業一方面是對本節課思想方法的遷移應用，另一方面是為了下一節課的性質研究做準備。
 
板書設計

指數函數 概念    性質 定義域 值域 定點 單調性

和

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
 

 
探究活動：時指數函數的圖象和性質

小組成員
小組分工	組長：
	其他組員分工:
探究過程		探究結論
思考總結：（1）你是按照什么步驟進行探究的？
（2）探究過程中遇到的問題和解決方式：
檢測習題：    比較下列各組數的大小：        （1），；     （2）， （3） ,.

 

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