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視頻標簽：二分法

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教B版版必修一《求函數(shù)零點近似解的一種計算方法——二分法》福建師大附中

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高中數(shù)學(xué)人教B版版必修一《求函數(shù)零點近似解的一種計算方法——二分法》福建師大附中

 
                    
             
2.4.2求函數(shù)零點近似解的一種計算方法—二分法 

一、教學(xué)內(nèi)容分析   
本節(jié)選自《普通高中課程標準實驗教科書 •數(shù)學(xué)1》人教B版第二章第四節(jié)第二 小節(jié)，主要分析的是函數(shù)與方程的關(guān)系。用二分法求方程的近似解是新課程中的新增內(nèi)容，它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點存在定理”為確定方程解所在區(qū)間為依據(jù)，從求方程近似解這個側(cè)面來體現(xiàn)“方程與函數(shù)的關(guān)系”，求方程近似解其中隱含“逼近”的數(shù)學(xué)思想,并且運用“二分法”來逼近目標是一種普通而有效的方法，其關(guān)鍵是逼近的依據(jù)。而且在“用二分法求函數(shù)零點的步驟”中滲透了算法的思想為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法的內(nèi)容埋下伏筆。整節(jié)課充分體現(xiàn)新課程“滲透數(shù)學(xué)方法，關(guān)注數(shù)學(xué)文化以及重視信息技術(shù)應(yīng)用”的理念，有力培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng)等。 
二、學(xué)情分析  
同學(xué)們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對函數(shù)的零點具備基本的認識；而二分法來自生活，是由生活中抽象而來的，只要我們選材得當，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達到滲透數(shù)學(xué)思想關(guān)注數(shù)學(xué)文化的目的，學(xué)生也能夠很容易理解這種方法。 
三、設(shè)計理念  
 本節(jié)課倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，應(yīng)用從生活實際——理論——實際應(yīng)用的過程，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、圖表、信息技術(shù)，采用教師引導(dǎo)——學(xué)生探索相結(jié)合的教學(xué)方法，注重提高學(xué)生數(shù)學(xué)的提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀想象、觀察發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)建模、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等思維過程。 
四、教學(xué)目標 
1、知識目標：理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法，了解
這種方法是求方程近似解的常用方法。 
2、能力目標：利用直觀想象分析問題來培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，利用建立模型解決
問題來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，通過讓學(xué)生概括二分法思想和步驟培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；在二分法思想的探求中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析，邏輯推理的能力。 
3、情感目標：通過創(chuàng)設(shè)情境調(diào)動學(xué)生參與課堂的熱情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感；
在二分法步驟的探索、發(fā)現(xiàn)過程中，獲得成功的體驗，鍛煉了克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。 五、教學(xué)重點與難點 
重點：掌握二分法的原理，能夠借助計算器，會用二分法求相應(yīng)方程的近似解； 難點：方程近似解所在初始區(qū)間的確定及逼近的思想，二分法的原理，精確度的
理解。 
六、教學(xué)情境設(shè)計 
（1）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題 
情境一：16枚金幣中有一枚略輕,是假幣, 請你設(shè)計一個尋找這枚假幣的方案？ 教師提問：大家分組討論盡可能多的方案。 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：方案一：平均分成兩份，每份8個放上去稱，輕的8個拿下來再平均分                     
                             
成兩份放上去稱。。。。。。。直到最后剩兩個，稱一下輕的那個就是我們要找的假幣。方案二：平均分成4份，每份4個。方案三：分3份，2份5個，一份6個，把5個的兩份稱后如果天平稱是平的就說明假幣在6個中，再平均分2份。。。。。。方案4：。。。。。。（看學(xué)生具體情況）。 
教師提問：這么多方案中，哪一種是你第一時間想到的，最簡單，方便，易操作的？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：方案一。 
課堂活動：教師和學(xué)生一起感受方案一的模擬實驗過程。 
設(shè)計意圖：從簡單有趣的金幣問題開始，迅速調(diào)動學(xué)生的積極性，在學(xué)生分組討論
解決問題的過程中，讓學(xué)生迅速建立二分查找的思想與方法。并且通過不同方法的比較，例如三分，四分，甚至逐個稱來比較，讓學(xué)生感受二分法是一種簡單方便易操作的方法。感受數(shù)學(xué)來自生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；培養(yǎng)學(xué)生的歸納演繹的能力；學(xué)會將實際情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。 
情境二：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路的某一處 
發(fā)生了故障。這是一條10 km長的線路，你能否給維修線路的師傅設(shè)計一 個尋找故障點的方法？ 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不斷取線路的中點檢測。 
設(shè)計意圖：同學(xué)們有了金幣問題作鋪墊，教師可以引導(dǎo)同學(xué)們用類似的方法來解決
這個連續(xù)型的線路問題。體會用二分的思想來解決實際問題的過程。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來自生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納演繹的能力；學(xué)會將實際情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。 
教師提問：如果把這個故障點換成函數(shù)零點呢？ 
設(shè)計意圖：引出主題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，將學(xué)生的思路與前面已解決的問題聯(lián)系
起來，引導(dǎo)學(xué)生層層深入，抽絲撥繭，學(xué)習(xí)如何分析問題、如何利用新的知識解決問題；培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，以及運用知識、駕馭知識的能力。培養(yǎng)學(xué)生歸納類比能力和邏輯推理素養(yǎng)等。 
（2）合作探究，解決問題 
探究1：當確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個變號零點后，如何求出這個零點的近似值？ 教師提問：要求的函數(shù)零點就像線路問題中的故障點，初始區(qū)間類比到10km長的線
路，如何求這個零點的近似值呢？ 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：取區(qū)間中點。 
教師追問：線路問題中可以在中點通過檢測線路在判斷故障點的位置，現(xiàn)在我們?nèi)⊥?br /> 中點要如何判斷零點在哪一半?yún)^(qū)間呢？ 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：通過計算f(c)的值，看它和哪一端異號。 設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生作類比，，鼓勵學(xué)生大膽嘗試探求，感受二分法的定義。培
養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。 
探究2：嘗試歸納二分法的定義？ 課堂活動：學(xué)生討論，嘗試歸納。 
教師小結(jié)：對于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不
斷地把函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點或零點近似值的方法叫做二分法。（強調(diào)二分法的實質(zhì)：一分為二 + 逐步逼近）。 
 
                    
             
                    
                             
設(shè)計意圖：發(fā)展學(xué)生用文字語言、符號語言等數(shù)學(xué)語言表達世界的基本素養(yǎng)。通過
二分法的無限逼近，首次讓學(xué)生體會逐漸逼近的極限思想；將區(qū)間一分為二，通過確定零點的存在位置，重點培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。 
探究3：一定要二分嗎？有沒有別的方法？比如3分4分甚至十等分呢？ 課堂活動：分組討論 
 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：理論上可以，但是很麻煩。 
 教師小結(jié)：當然可以，但是就是比較麻煩，不方便，事實上，約在1247年南宋時代，
我國數(shù)學(xué)家秦九韶提出了一種解決高次函數(shù)零點近似解的一種方法，他將區(qū)間十等分，算出各分點的函數(shù)值，縮小零點所在區(qū)間，但這種方法計算冗長，不便于精確度較高的運算，如果精確度要求不高，例如要求到0.1，可以使用，另外這種方法在有的國家被稱為霍耐法（Horner），英國數(shù)學(xué)家霍耐1819年才發(fā)現(xiàn)，遲于我國500多年。 
設(shè)計意圖：通過對其他方法的比較，讓學(xué)生感受二分法的優(yōu)點：簡單方便易操作，
同時滲透對數(shù)學(xué)文化的關(guān)注，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。 探究4：用二分法求函數(shù)3()1fxxx的零點（精確度為0.1）。 教師提問：函數(shù)3()1fxxx有沒有零點？如果有，有幾個？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：該函數(shù)在R上單調(diào)遞增。 
教師追問：在R上單調(diào)遞增的函數(shù)一定有一個零點嗎？ 課堂活動：學(xué)生分組討論。 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不一定，比如反比例函數(shù)。 
教師追問：非常好，那什么情況下單調(diào)的函數(shù)有一個零點呢？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：要找到異號的兩端。 
教師追問：對于函數(shù)3()1fxxx，你能否找到異號的區(qū)間？ 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：[0，1]. 
設(shè)計意圖：教師通過追問的方式對同一函數(shù)從根的存在性問題深入到初始區(qū)間的求
法，思路自然，引起學(xué)生認知沖突，激起學(xué)生進一步探究的欲望。問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，是數(shù)學(xué)知識、能力發(fā)展的生長點和思維的動力，把問題作為教學(xué)出發(fā)點，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題，構(gòu)造認知沖突和懸念，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，直觀想象素養(yǎng)等。 
課堂活動：教師和學(xué)生一起完成表格，體會用二分法求解函數(shù)零點近似解的過程，
并在黑板畫上畫上數(shù)軸幫助學(xué)生理解。 
教師提問：數(shù)軸越畫越短，誰能告訴我，什么時候終止計算？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：題目有精確度的要求？ 教師追問：精確度為0.1要怎么用呢？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：算到區(qū)間長度小于0.1即可。 教師追問：為什么？ 
課堂活動：教師黑板上畫出數(shù)軸講解精確度的含義。 
 
x 
xo b 
x a 
 
                    
             
                    
                             
           
oxxba 
           精確度為0.1即指誤差不超過0.1，當區(qū)間長度小于0.1時，區(qū)間內(nèi)的
任意一個值都可以作為近似值，為了方便，我們一般取區(qū)間端點。 
設(shè)計意圖：利用多媒體輔助教學(xué)有利于完善學(xué)生認知，深刻體驗二分法思想的本質(zhì)，
為學(xué)生自身總結(jié)歸納步驟奠定基礎(chǔ)，并且提高教學(xué)效率。利用動態(tài)演示展現(xiàn)二分法的全過程，使學(xué)生的感官受到強烈的沖擊，加深對二分法的理解。利用數(shù)軸畫圖出簡圖來輔助說明，理解為求得方程更為精確的近似解，直觀上就是去探求零點所處的更小的范圍，即求方程近似解的問題可以轉(zhuǎn)化為不斷縮小零點所在范圍或區(qū)間的問題。培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)等。 
教師提問：如果精確度改為0.01呢？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：再算。 
教師提問：想不想算？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不想。 
教師提問：我們請個小幫手。注意到剛才求解的過程中，一直重復(fù)地完成一些步驟：
取中點，算中點函數(shù)值，定區(qū)間。像這種一直重復(fù)性的過程可以交給誰來完成？ 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：電腦。 
課堂活動：教師展示一個由高一同學(xué)編寫的用二分法求函數(shù)零點近似解的小程序。 設(shè)計意圖：借助程序，調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生感受二分法的一大優(yōu)點：易于編程，
讓計算機執(zhí)行。將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程相結(jié)合，鼓勵學(xué)生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)。實驗過程中，隨著實驗次數(shù)逐漸增加，零點存在區(qū)間逐漸逼近準確解，讓學(xué)生感受無限逼近的極限思想；讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，隨著實驗次數(shù)的逐漸增加，零點的近似解就越接近精確解，估計就越準確，感受精確與近似的對立統(tǒng)一；算法可以解決一類問題，節(jié)約了大量的時間，使學(xué)生對二分法的算法思想與計算原理有新的感受；樹立榜樣作用，激發(fā)學(xué)生的求知欲。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等。 
教師提問：如果終止計算的條件該為精確到呢？ 
課堂活動：教師和學(xué)生一起分析精確到到精確度的區(qū)別。 
設(shè)計意圖：幫助學(xué)生區(qū)分精確到與精確度，雖然兩者都是用來終止計算的，但是要求
不同。有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。 
（3）歸納總結(jié)，揭示新知 
教師提問：回顧剛才整個過程，給定精確度，嘗試歸納用二分法求函數(shù)零點近似解的
步驟？ 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：確定初始區(qū)間，取中點，算中點函數(shù)值，縮小區(qū)間，再取中點。。。。 教師提問：有沒有可能當你第一次縮小區(qū)間后發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)算完了？ 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：有可能。 
課堂活動：教師PPT上給出完整步驟。并給出用數(shù)學(xué)語言表示的步驟。 
用二分法求方程的近似解一般步驟 
1.確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε； 
 
                    
             
                    
                             
2.求區(qū)間(a,b)的中點c； 3.計算f(c)；  
(1)若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點； 
(2)若f(a)· f(c)<0，則令b=c（此時零點x0∈(a, c)  ); (3)若f(c)· f(b)<0，則令a=c（此時零點x0∈( c, b)  ). 
4.判斷是否達到精確度ε:即若|a-b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2—4． 
設(shè)計意圖：發(fā)展學(xué)生用文字語言、符號語言等數(shù)學(xué)語言表達世界的基本素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)
生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。 
（4）概念拓展，實踐鞏固 
課堂活動:用二分法求函數(shù)2()1fxxx的正零點（精確到0.1）。同桌兩人一組，一人用計算器算，一人填寫課前發(fā)好的表格。最快的一組上來投影展示。 設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生自行嘗試,讓學(xué)生體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的成就感。
讓學(xué)生體會用二分法來求方程近似解的完整過程,進一步鞏固二分法的思想方法。培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。 
課堂活動：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路的某一處
發(fā)生了故障，這是一條10km長的線路，請你用二分法算一算：要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50～100m左右，要檢查多少次？ 
設(shè)計意圖：首尾呼應(yīng)，學(xué)以致用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用與創(chuàng)新的能力，利用二分法的逼近思
想解決實際問題。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等。 
（5）課堂小結(jié)，作業(yè)創(chuàng)新 
教師提問：這節(jié)課我們都學(xué)了哪些知識？ 
學(xué)生發(fā)現(xiàn)：二分法的定義，用二分法求方程近似解的步驟。 
課堂活動：PPT展示二分法的口訣：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異
號算，零點落在異號間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷。對本節(jié)課體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng)進行總結(jié)。 
設(shè)計意圖：通過總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達的能力,養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣,并將
所學(xué)知識納入已有的認知結(jié)構(gòu)。同時讓學(xué)生知道理解二分法定義是關(guān)鍵,掌握二分法解題的步驟是前提,實際應(yīng)用是深化。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等。 
課堂活動：PPT展示今天作業(yè)：(1) P74/A1,2. (2)P81/閱讀與欣賞“數(shù)學(xué)文化”。 
(3) 研究性作業(yè)：利用Internet查找有關(guān)資料, 查閱牛頓法、華羅庚優(yōu)選法等其他求函數(shù)零點的方法，上交小報告。 
設(shè)計意圖：在作業(yè)中提出對“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求，讓學(xué)生通過自主查閱，閱讀自
學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀，實現(xiàn)教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”。在完成作業(yè)的過程中，有力培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。 
七、評價和說明 
1、這節(jié)課安排了創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；合作探究，解決問題；歸納總結(jié)，揭示新知； 概念拓展，實踐鞏固；課堂小結(jié)，作業(yè)創(chuàng)新等環(huán)節(jié)。整堂課圍繞等價轉(zhuǎn)化、函數(shù) 
 
                    
             
                    
                             
與方程、數(shù)形結(jié)合以及無限逼近的數(shù)學(xué)思想方法來展開，著重培養(yǎng)了學(xué)生的直觀 現(xiàn)象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)以及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等。  
2、本設(shè)計注意應(yīng)用建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，引導(dǎo)認知主體積極參與到探索、發(fā)現(xiàn)、 討論、交流的學(xué)習(xí)活動中去，使課堂教學(xué)成為學(xué)生親自參與的充滿豐富生動的數(shù)學(xué)思想場所。     
3、教學(xué)中注重數(shù)學(xué)課程和信息技術(shù)的整合，畫面豐富生動，使學(xué)生的多種感官獲得 外部刺激，有利于完善認知結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)效率。  
4、時間大致安排：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題約7分鐘，合作探究，解決問題約20分鐘， 歸納總結(jié)、揭示新知約5分鐘，概念拓展，實踐鞏固約10分鐘，課堂小結(jié)，作業(yè) 創(chuàng)新約3分鐘，依據(jù)上課的具體情況可進行適當?shù)恼{(diào)整。

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