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視頻課題：部編版高中新教材優質課比賽（省賽）數學人教A版必修第一冊1.4充分條件與必要條件（第1課時）
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高中數學人教A版必修第一冊1.4充分條件與必要條件（第1課時）
1．4 充分條件與必要條件（2課時）
銅陵市第一中學 吳安琪
一、單元內容和內容解析
1、內容
充分條件、必要條件以及充要條件的意義；判定定理與充分條件的關系，性質定理與必要條件的關系，數學定義與充要條件的關系．
2、內容解析
(1) 知識產生的背景：命題由條件和結論兩部分組成，研究命題必然需要研究條件和結論之間的關系．就數學學習而言，學生需要在更一般的意義上更加清晰地認識數學定義、判定定理、性質定理中條件與結論的關系．
(2) 知識生長的過程和階段：本節課知識的形成過程經歷了四個階段：①感知條件和結論之間存在某種內在邏輯關系；②通過歸納、抽象、分析，得出條件與結論之間的四種關系（充分不必要、必要不充分、充要條件，即不充分也不必要）；③建構嚴謹的數學概念刻畫命題條件與結論之間的關系；④運用這些概念合理論證和準確表達數學結論．
(3) 知識構建的策略和方法：①歸納與抽象，即通過歸納與抽象發現條件與結論之間的推出關系；②邏輯分析，即通過邏輯分析獲得辨析充分條件、必要條件的方法；③集合思想與方法，即借助集合來思考與表達條件與結論之間的關系．
(4) 知識間的聯系與結構：從本單元知識的內部看，充分調條件、必要條件、充要條件刻畫的都是命題條件與結論的關系，是一個統一的整體；從本單元與前后單元的聯系看，集合的概念為深度理解命題條件與結論的關系提供了工具，全稱量詞、存在量詞有助于更準確、嚴謹的表達命題的條件與結論．
(5) 知識的要點與本質：充分條件、必要條件、充要條件的實質是對命題條件與結論關系的數學刻畫，是命題條件與命題結論所對應集合之間存在包含與被包含的關系．
(6) 知識的學科意義與教學價值：在數學知識體系中，數學定義、數學判定定理和性質定理是重要的組成部分，它們都可以用邏輯用語表達．每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件，每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．它們既是學生正確理解數學概念、合理論證數學結論、準確表達數學內容的基礎，也是培養學生數學抽象素養和邏輯推理素養的極好素材．
基于以上分析，確定本單元的教學重點：充分條件、必要條件、充要條件的概念．
二、單元目標和目標解析
1、目標
(1) 理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，理解充分條件與判定定理的關系、必要條件與性質定理的關系、充要條件與數學定義的關系；
(2) 理解推斷符號“ ” “ ”的含義，能判斷兩個簡單命題作為條件與結論是否具有充分性、必要性及等價性；
(3) 初步使用常用邏輯用語進行數學表達、論證和交流，提升邏輯推理素養．
2、目標解析
達成上述目標的標志是：
(1) 通過梳理典型的數學命題，知道“命題真假”、“條件和結論之間的關系”、“充分條件”三者之間的關系，能將判斷“p是q的充分條件”的問題轉化為判斷命題“若p，則q”的真假問題，能說明充分條件的意義；建立判定定理與充分條件的聯系，能舉例說明每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．
(2) 通過梳理典型的數學命題，知道“命題真假”、“條件和結論之間的關系”、“必要條件”三者之間的關系，能將判斷“p是q的必要條件”的問題轉化為判斷命題“若p，則q”的真假問題，能說明必要條件的意義；建立性質定理與必要條件的聯系，能舉例說明每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．
(3) 通過梳理典型的數學命題，知道“命題真假”、“條件和結論之間的關系”、“充要條件”三者之間的關系，能將判斷“p是q的充要條件”的問題轉化為判斷命題“若p，則q”及其逆命題的真假問題，能說明充要條件的意義；建立數學定義與充要條件的聯系，能舉例說明每一條數學定義都給出了相應數學結論成立的一個充要條件．
(4) 能例舉數學命題并說明p是q的充分（必要、充要）條件，能從條件與結論關系的視角理解數學命題的內在邏輯，對“言必有據”、“表達的嚴謹性與準確性”等有新的感悟．
三、教學問題診斷分析
學生在生產生活中對條件的充分性與必要性有一定的感性認識，對數學命題的構成、命題的真假判斷也有一定的認識，他們有通過充分條件給出判定定理、通過必要條件給出性質定理的經驗，但對其中蘊含的條件與結論之間的關系認識是模糊的．盡管學生容易從字面理解充分條件、必要條件的含義，但具體運用時還是容易混淆．考慮到數學意義上的充分條件、必要條件與日常生活中的“充分”“必要”意義相近，因此應該引導學生從字面理解和把握這兩種條件的特征．
學生往往難以理解“若 ，則q是p的必要條件”，因為他們覺得q是結論而不是條件．對此，應揭示條件與結論的相對性，使學生認識到：條件q是結論p成立的必不可少的條件；如果q不成立，則p也不可能成立．
本節課的教學難點是對必要條件的理解．
四、教學過程分析
1.4.1 充分條件與必要條件
(一) 概念引入
引例：若我生活在銅陵，則我生活在安徽．請思考以下問題：
(1) 這個命題的條件和結論分別是什么？
(2) 這個命題的真假？
(3) 請同學們再例舉幾個命題，并判斷其真假？
師生活動：學生獨立思考，討論交流．
教師梳理學生答案，講解并板書“ ”的含義．
【設計意圖】
通過一個嚴謹但不失生活常識的例子，讓學生熟悉命題的構成，并且會通過邏輯推理得出命題的真假，獲得命題“若p，則q”為真的等價說法“p q”；問題(3)的設置是為了解學生對初中已有知識的理解程度，以達到指導下面的教學流程的作用．
師生活動：教師展示地圖，引導學生初步感受條件與結論間蘊含的集合關系．
【設計意圖】
通過地圖展示，將命題的“條件”與“結論”視為集合，借助集合來思考與表達條件與結論之間的關系，讓學生直觀感知．
追問：(1) 生活在銅陵一定生活在安徽嗎？
(2) 不在安徽生活能不能在銅陵生活？
師生活動：學生獨立思考，討論交流．教師引導獲得上述命題的等價說法，引入“充分條件”“必要條件”概念．
【設計意圖】
問題(1)的追問意在讓學生了解真命題中條件足以保證結論成立，初步感受到“充分性”；問題(2)讓學生感知條件對結論的依賴，從而獲得“生活在安徽”是“生活在銅陵”必須具備的條件這一感悟，在數學上我們稱之為必要條件，有效突破教學難點，即學生對“必要條件”的理解．
概念教學必須重視生成過程，本節課引入環節預計10分鐘，確保學生多角度正確認知“充分條件”“必要條件”，為接下來順利抽象出概念打下堅實基礎．
(二) 概念生成
通過對引例的分析，抽象出“充分條件”“必要條件”的概念．大致流程如下：
師生活動：已有實例作為鋪墊，采用提問學生的方式進行．
【設計意圖】通過提問帶領學生回顧梳理引例中的思考過程，明確“命題‘若p，則q’為真”與“由p推出q”的關系，抽象并生成充分條件、必要條件的概念．用生活化且不失嚴謹性的語言概括知識點，便于學生理解記憶．
(三) 概念應用
例1：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？
(1) 若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；
(2) 若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；
(3) 若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
(4) 若 為無理數，則 為無理數；
(5) 若 ，則 ；
(6) 若 ，則 ．
師生活動：學生判斷，教師進行訂正給出解答示范．根據解答情況進行以下追問．
追問：(1) 通過命題(1)我們知道“四邊形的兩組對角分別相等”是“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件．這樣的充分條件是否唯一？若不唯一，你能再給出幾個不同的充分條件嗎？
(2) 這些充分條件都是初中學習的平行四邊形的什么定理？
師生活動：學生獨立思考，討論交流．
【設計意圖】(1)通過練習熟練掌握利用判定命題真假來判斷充分條件的方法；(2)通過典型的數學命題，說明充分條件并不唯一，并初步感受判定定理與充分條件的關系．
例2：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？
(1) 若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；
(2) 若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；
(3) 若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形為菱形；
(4) 若 為無理數，則 為無理數；
(5) 若 ，則 ；
(6) 若 ，則 ．
師生活動：同例1．
【設計意圖】(1)通過練習熟練掌握利用判定命題真假來判斷必要條件的方法；(2)通過典型的數學命題，說明必要條件并不唯一，并初步感受性質定理與必要條件的關系．
(四) 概念深化
對例題中部分命題再次研究，在例1中，教師梳理學生列舉的充分條件，點明要點：每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．學生自主從例2中討論發現，每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．
課堂練習：判斷下列命題的真假：
1) 兩個三角形全等是這兩個三角形的面積相等的充分條件；
2) 兩個角相等是兩個角是對頂角的充分條件；
3) 兩個角相等是兩個角是對頂角的必要條件．
【設計意圖】檢驗學生對概念的理解情況．
(五) 課堂小結
教師引導學生回顧本節課所學知識，并引導學生回答下面問題：
1) 初步理解充分條件、必要條件的含義；
2) 體會判定定理與充分條件，性質定理與必要條件的聯系；
3) 在新的語境下，梳理初中重要的數學知識，提升邏輯推理的學科素養.
【設計意圖】梳理、歸納本節課的核心內容和方法．
作業布置：
(1) 課本P20 練習1，2，3；P23綜合運用4；
(2) 思考：用“充分條件”或“必要條件”填空
“四邊形對角線互相垂直且平分”是“四邊形為菱形”的___________________．
【設計意圖】作業(1)加深學生對本節課知識的理解；作業(2)通過思考得出不同答案，讓學生初步體會p與q的雙向推導，為下節課的學習鋪墊．
（六）板書設計
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1.4.1 充分條件與必要條件 “若p，則q”為真命題，等價于 ， 并稱p是q的充分條件， q是p的必要條件． |
多媒體投影區域 |
例1、—————— —————— 每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件 例2、—————— —————— 每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件 |
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1.4.2 充要條件 如果“p q”，且“q p”， 則稱p與q互為充要條件 |
多媒體投影區域 |
學生板演區 |
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
