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視頻標簽：部編版高中新教材
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：部編版高中新教材優質課比賽（省賽）5.2.1三角函數的概念第一課時_青陽
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5.2.1 三角函數的概念第一課時_青陽
5.2.1 三角函數的概念第一課時
（一）課時教學內容
三角函數的概念．
（二）課時教學目標
經歷三角函數概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，發展數學抽象素養．
（三）教學重點與難點
重點：三角函數的定義．難點：對三角函數概念的抽象過程及定義的理解．
（四）教學過程設計
1．創設情境，明確背景
引導語：我們知道，現實世界中存在著各種各樣的“周而復始”變化現象，比如鐘擺運動，日出日落，風景區內的水車，圓周運動，而圓周運動是這類現象的代表．從前面的知識知道函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型.那么勻速圓周運動的運動規律該用什么函數模型刻畫呢？
如圖5.2-1，⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向的勻速旋轉．在把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角
的大小變化刻畫點P的位置變化．又由于根據弧度制的定義，角的大小與⊙O的半徑無關，因此，不失一般性，我們可以先研究單位圓上點的運動．現在的任務是：
如圖5.2-1，單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉，建立一個函數模型，刻畫點P的位置變化情況．
2．分析具體事例，歸納共同特征
引導語：下面我們利用直角坐標系來研究上述問題．如圖5.2-2，以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為
軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標為
，點P的坐標為
．射線OA從軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉角，終止位置為OP．
問題1：若角終邊與單位圓交于點
，如何求點的坐標呢？
追問1：如何研究一般性問題？
當
時，點的坐標是什么？
當
或
時，點P的坐標又是什么？
追問2：任意給定一個角，點的坐標唯一確定嗎？
一般地，任意給定一個角a ，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標能唯一確定嗎？
師生活動：教師提出問題后，學生進行討論，如果學生能回答出使|OP|=1，教師在此給出單位圓的定義，若學生想不到，教師可引導學生分析表達式的比值形式，看怎樣能更簡潔．
追問：（1）求點P的坐標要用到什么知識？（直角三角形的性質）
（2）求點P的坐標的步驟是什么？點P的坐標唯一確定嗎（畫出
的終邊OP，過點P作軸的垂線交軸于點M，在
中，利用直角三角形的性質可得點P的坐標是
）.
（3）如何利用上述經驗求
時點P的坐標？（可以發現，
，而點P在第二象限，可得點P的坐標
）
（4）利用信息技術，任意畫一個角a，觀察它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，你有什么發現？你能用函數的語言刻畫這種對應關系嗎？（對于R中的任意一個角a，它的終邊OP與單位圓交點為
，無論是橫坐標還是縱坐標
，都是唯一確定的．這里有兩個對應關系：
：實數a（弧度）對應于點P的縱坐標，
：實數a（弧度）對應于點P的橫坐標．
根據上述分析，
和
都是從集合R到集合
的函數．）
設計意圖：以函數的對應關系為定向，從特殊到一般，使學生確認相應的對應關系滿足函數的定義，角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標都是圓心角a（弧度）的函數，為給出三角函數的定義做好準備．
3．任意角三角函數的定義與辨析
問題2：請同學們先閱讀教科書第177~178頁，再回答如下問題：
（1）正弦函數、余弦函數和正切函數的對應關系各是什么？
（2）符號
，
和
分別表示什么？在你以往的學習中有類似的引入特定符號表示一種量的經歷嗎？
（3）任意角三角函數的定義是否符合高中函數的定義？
師生活動：學生獨立閱讀課文，再舉手回答上述問題．
設計意圖：在問題引導下，通過閱讀教科書、辨析關鍵詞等，使學生明確三角函數的概念．
4．任意角三角函數與銳角三角函數的聯系
問題3：在初中我們學了銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數．設
，把按銳角三角函數定義求得的銳角的正弦記為
，并把按本節三角函數定義求得的的正弦記為
．與相等嗎？對于余弦、正切也有相同的結論嗎？
師生活動：教師引導學生作出
，其中
，再將它放入直角坐標系中，使點A與原點重合，AC在軸的正半軸上，得出
的結論．
設計意圖：建立銳角三角函數與任意角三角函數的聯系，使學生體會兩個定義的和諧性．
5．任意角三角函數概念的理解
例1利用三角函數的定義求
的正弦、余弦和正切值．
師生活動：先由學生發言，再總結出從定義出發求三角函數值的基本步驟，并得出答案．
設計意圖：通過概念的簡單應用，明確用定義求三角函數值的基本步驟，進一步理解定義的內涵．
解答：在直角坐標系中，作
．易知
的終邊與單位圓的交點坐標為
．
所以， 
，
，
.
例2設a 是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為，點P與原點的距離為
．求證：
, 
, 
．
師生活動：給出問題后，教師可以引導學生思考如下問題，再讓學生給出證明：
（1）你能根據三角函數的定義作圖表示出，嗎？圖5.2-4
（2）在你所作出的圖形中，
各表示什么，你能找到它們與任意角的三角函數的關系嗎？
設計意圖：通過問題引導，使學生找到
，
，并利用它們的相似關系，根據三角函數的定義得到證明．
追問：例2實際上給出了任意角三角函數的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價的．你能用嚴格的數學語言敘述一下這種定義嗎？
師生活動：可以由幾個學生分別給出定義的表述，在交流的基礎上得出準確的定義．
設計意圖：加深學生對三角函數定義的理解．
解答：
分析：觀察右圖，由∽，根據三角函數的定義可以得到證明．
證明：如圖，設角 a 的終邊與單位圓交于點
.分別過點，
作軸的垂線
，
，垂足分別為
，
，
則 
, 
，∽，
于是
，即
.
因為y0與y同號，所以
，即.
同理可得, .
6．目標檢測設計（一）
練習1：
（1）利用三角函數定義，求
，
的三個三角函數值．
（2）說出幾個使
的的值．
設計意圖：檢驗學生對定義的理解情況．
練習2：
（3）已知點P在半徑為2的圓上按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為1rad/s．求2 s時點P所在的位置．
設計意圖：三角函數是刻畫勻速圓周運動的數學模型，通過練習使學生從另一個角度理解三角函數的定義．
練習3：
（4）利用三角函數定義，求
的三個三角函數值．
（5）已知角
的終邊過點
，求角的三個三角函數值．
設計意圖：考查學生對三角函數定義的理解情況．
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
