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視頻標(biāo)簽：部編版高中新教材

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：部編版高中新教材優(yōu)質(zhì)課比賽（省賽）人教版必修第一冊(cè)5.1.2弧度制 第二課時(shí)_池州

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部編版高中新教材優(yōu)質(zhì)課比賽（省賽）人教版必修第一冊(cè)5.1.2弧度制 第二課時(shí)_池州

5.1.2 弧度制
教學(xué)設(shè)計(jì)
1.課時(shí)教學(xué)內(nèi)容
   5.1.2 弧度制
2.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)
（1）能理解弧度的意義；能掌握角度與弧度的換算；了解角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式。
（2）在教學(xué)過程中通過設(shè)置問題情境，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究問題的能力，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；領(lǐng)悟概念學(xué)習(xí)的一般方法和路徑。
（3）通過自行車鏈條的傳動(dòng)和扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)，親身感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系；通過合作探究，經(jīng)歷推理獲得圓心角與弧長、半徑之間的關(guān)系的過程，感受弧度制的實(shí)質(zhì)是用弧長與半徑的比值來度量角的大小，體會(huì)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡(jiǎn)潔美。
（4）認(rèn)識(shí)角度制與弧度制都是度量角的方法，二者是辯證統(tǒng)一的；總結(jié)概念學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化、吸收和遷移。3.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):弧度制的定義;弧度制與角度制的換算。
教學(xué)難點(diǎn)：理解弧度制的定義。
4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)
4.1創(chuàng)設(shè)情境，抽象問題
     教師：圖中的測(cè)量用具大家都認(rèn)識(shí)吧？
     眾學(xué)生：長尺、卷尺、游標(biāo)卡尺、螺旋測(cè)微器，都是測(cè)量長度用具
     教師：對(duì)，我們還知道隨著精度要求的不同，選用不同工具，獲得不同度量單位制，并且不同長度單位之間可以換算，如：1m=10dm=100cm=1000mm，那么，在角度的度量里，除了已經(jīng)知道的角度制，是否存在著其他的度量制呢？這就是我們今天研究的課題：角的度量制。
設(shè)計(jì)意圖：通過回顧義務(wù)教育階段所學(xué)的長度測(cè)量和不同長度單位換算的類比引出不同的單位制度量角的問題。
教師：請(qǐng)騎過自行車的同學(xué)舉手！
大家都騎過自行車，請(qǐng)你觀察過自行車前后齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)（多媒體播放動(dòng)圖），它們是通過鏈條傳動(dòng)的，鏈條移動(dòng)某一確定的長度時(shí),大齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角和小齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角，哪個(gè)大？哪個(gè)小？為什么？
學(xué)生1：大齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角小，因?yàn)榻撬俣嚷��?br /> 教師：很好！從圖中看，因?yàn)榇簖X輪的半徑大，小齒輪的半徑小， 所以在鏈條移動(dòng)某一確定的長度時(shí)，大齒輪轉(zhuǎn)過的角度小，小齒輪轉(zhuǎn)過的角度大。這說明圓心角、半徑、弧長之間存在一定的關(guān)系.
教師:再如，用扳手轉(zhuǎn)動(dòng)螺帽的過程中,在扳手任取兩點(diǎn)，隨著扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)形成圓弧，，你能發(fā)現(xiàn)圖中幾何量（半徑、弧長、圓心角）之間，具有哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系？
學(xué)生2：半徑不同，弧長也不相等，但轉(zhuǎn)過的角度相同.
教師：很好！這再次說明圓心角、半徑、弧長之間存在著關(guān)系，是怎樣的關(guān)系呢？
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)學(xué)生來說，弧度制是一種新的度量角的單位制。在教學(xué)中，有教師釆用規(guī)定說，學(xué)生對(duì)其數(shù)學(xué)含義和價(jià)值不理解，心理不愿接受，學(xué)習(xí)缺少動(dòng)力。本設(shè)計(jì)從學(xué)生熟知的兩個(gè)生活情境入手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，可以提高學(xué)習(xí)興趣。從齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的例子,學(xué)生感知到同樣的弧長在不同半徑 的圓中所對(duì)的圓心角不相等；從扳手轉(zhuǎn)動(dòng)螺帽的例子，學(xué)生感知到扳手長度改變，相應(yīng)的弧長也改變，隱含著“弧長與半徑的比值為定值”，兩個(gè)例子都為理解弧度制做好了鋪墊。
 
4.2問題引領(lǐng)，逐步探究
問題1：如圖，在圓中，設(shè),圓弧的長為, 則之間有怎樣的關(guān)系？
學(xué)生3：由弧長公式可知
問題2：這個(gè)公式反映了孤長與圓心角、半徑之間的關(guān)系。那么圓心角的大小與哪些量有關(guān)？
學(xué)生4：角的大小與這四個(gè)量有關(guān)。其中和180是常數(shù)，和是變量。
問題3：你能用式子表示圓心角與這些量的關(guān)系嗎？
學(xué)生4：
問題5：如果圓心角變化，比值是否發(fā)生變化？
眾學(xué)生：發(fā)生變化
問題5：現(xiàn)把圓心角固定，如果圓的半徑變大，弧長也會(huì)變大，比值是否發(fā)生改變？為什么？
眾學(xué)生；不變，因?yàn)閳A心角固定，也就是角度不變， 所以比值不變。
 
教師:很好！我們用“幾何畫板”驗(yàn)證。改變圓心角的大小時(shí)，比值隨之改變；固定圓心角時(shí),改變點(diǎn)P的位置，弧長和半徑都變化，但比值不變。
教師：因此，我們得到結(jié)論：圓心角所對(duì)的弧長與半徑的比值，只與的大小有關(guān)；比值隨著的確定而唯一確定。
設(shè)計(jì)意圖：通過問題引導(dǎo)，學(xué)生回憶了在角度制下的弧長與圓心角、半徑之間的關(guān)系，分析了三個(gè)量之間的關(guān)聯(lián)，變形得到了圓心角與弧長、半徑的聯(lián)系， 發(fā)現(xiàn)了圓心角與比值（弧長與半徑的比值）之間存在著的正比例關(guān)系，完成了理論推導(dǎo)。利用“幾何畫板” 軟件,動(dòng)態(tài)演示了圓心角的大小與這個(gè)比值之間的直觀變化情況。因此,獲得了圓心角與比值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而為接下來弧度制的定義提供了合理性。
 
4.3借力史實(shí)，建構(gòu)概念
教師:在圓心角與比值的對(duì)應(yīng)關(guān)系下，這就啟發(fā)我們可以用什么來度量圓心角的大小呢？
眾學(xué)生：用弧長與半徑的比值來度量圓心角的大小。
教師：很好！既然可以用的值來度量角，那么你覺1弧度角可以怎樣簡(jiǎn)單合理的規(guī)定呢？
學(xué)生5：當(dāng)時(shí)，，這時(shí)的圓弧所對(duì)的圓心角可以規(guī)定為1弧度的角。
教師:很好！大數(shù)學(xué)家歐拉也是這么想的！ 早在1748年，數(shù)學(xué)家歐拉就直接用的值來度量角的大小，并稱之為弧度制。
我們規(guī)定：長度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度（radian）的角，弧度單位用符號(hào)rad 表示，讀作弧度。
教師：我們知道了1弧度角的定義，那1弧度角有多大呢？請(qǐng)同學(xué)們嘗試著畫出來。
用“幾何畫板”作圖，并體會(huì)1弧度角與角的大小關(guān)系。當(dāng)時(shí)，圓心角分別為。（演示不同方向的旋轉(zhuǎn)，得到圓心角為）從而將圓中獲取的，推廣到所有角滿足的。
教師：大數(shù)學(xué)家歐拉在研究弧度制時(shí)，選取的圓是半徑為1的圓，叫單位圓。這樣做的優(yōu)點(diǎn)是什么？
    在單位圓中，當(dāng)弧長為時(shí)，圓心角也為。在弧度制下，角與弧長的度量統(tǒng)一起來，這樣定義角也非常自然，同時(shí)也簡(jiǎn)化了與角有關(guān)的公式。
設(shè)計(jì)意圖：通過前期的鋪墊，學(xué)生自主構(gòu)建了1弧度角的概念，通過與60°角的大小比較，學(xué)生能直觀地感知1弧度角的大小，也為弧度制與角度制的換算做好準(zhǔn)備。在此過程中，穿插引入弧度制的有關(guān)歷史,讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣地思考和解決問題。取半徑為單位長度,使角與弧長的度量統(tǒng)一起來，學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美。同時(shí)也為學(xué)生能用單位圓作為工具去研究任意角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。
4.4激活聯(lián)系，完善認(rèn)知
教師:角度制、弧度制都是角的度量制，同一個(gè)角 既可以用角度來度量，也可以用弧度來度量，它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系，那兩者之間有著怎樣的關(guān)系呢？
學(xué)生6：我想到利用單位圓尋找，如一個(gè)圓周角，在角度制下它是360°,在弧度制下它是rad,所以360°=rad。
教師:很好！這位同學(xué)把圓周角分別用角度和弧度來度量，從而解決了換算問題。如果兩邊同時(shí)除以2,可以得到平角的兩種度量：180°=rad。那么，1°的角是多少弧度的角？ 1弧度的角又是多少度的角？
     學(xué)生7：由180°= rad兩邊同時(shí)除以180,可得 1° =rad；若兩邊同時(shí)除以,可得 1 rad=
     教師：以后我們只要抓住180°=rad這個(gè)關(guān)系進(jìn)行角度與弧度的換算。同時(shí)弧度的單位rad通常略去不寫。

 
 
 
教師:角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的角和它對(duì)應(yīng)。
設(shè)計(jì)意圖：同一個(gè)量用不同的單位度量，兩個(gè)單位制之間必定存在聯(lián)系。角度制與弧度制也是如此, 至此學(xué)生能體會(huì)角的兩個(gè)度量系統(tǒng)的相容性,掌握兩種度量的直接互換。表格中所填數(shù)值的對(duì)應(yīng)性，就像設(shè)置在數(shù)軸上一樣，便于學(xué)生直觀感受到弧度制下角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
4.5表達(dá)優(yōu)化，類比識(shí)記
教師：弧度制的優(yōu)點(diǎn)還能體現(xiàn)在其他地方.如，你能對(duì)比初中所學(xué)的扇形弧長和面積公式，說說弧度制下的扇形弧長與面積公式的優(yōu)點(diǎn)嗎？
學(xué)生板演1：角度制下：弧長，面積。
學(xué)生板演2：由得弧長公式，而面積，得到面積公式.
教師:很好！我們看到，采用弧度制，扇形的弧長和面積公式都簡(jiǎn)潔了，這正是引入弧度制的原因之一。
教師：扇形面積公式和學(xué)過的哪個(gè)面積公式類似？
眾學(xué)生：和三角形的面積公式類似。
教師（追問）：這是偶然的嗎？它們之間是否有著內(nèi)在聯(lián)系呢？（作為課后思考題）
設(shè)計(jì)意圖：弧度制的優(yōu)越性不僅在于用實(shí)數(shù)表示角，還表現(xiàn)在一些公式因?yàn)楣露戎频囊�入得到形式上的�?jiǎn)化。學(xué)生親身經(jīng)歷簡(jiǎn)化過程，更容易理解扇形的幾個(gè)量之間的關(guān)系，也能體會(huì)弧度制給解決問題帶來的方便,這也是引入弧度制的原因。再由扇形的面積公式啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到三角形的面積公式，并留白讓學(xué)生課后思考兩者之間的關(guān)系（通過極限分割思想來聯(lián)系兩者）了解這些,讓學(xué)生對(duì)弧度的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度。
4.6課堂小結(jié)，凝練升華
小結(jié)1:本節(jié)課我們是按照怎樣的研究路徑來學(xué)習(xí)弧度制的？
學(xué)生15：我們先感受生活中的實(shí)例，分析角度制下的弧長公式，再給出1弧度角的定義以及在弧度制下角的代數(shù)表示，弧度制和角度制之間的換算關(guān)系，最后簡(jiǎn)化了弧長和扇形的面積公式。即研究途徑為：背景--定義--表示--運(yùn)算--性質(zhì).
小結(jié)2：談?wù)劷嵌戎坪突《戎频膮^(qū)別與聯(lián)系。
眾學(xué)生：角度制與孤度制的區(qū)別是度量單位不同（單位分別是角度和弧度），進(jìn)位制不同（角度是六十進(jìn)位和十進(jìn)位，弧度是十進(jìn)位），弧長公式不同（在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式都變得簡(jiǎn)潔了）； 他們的聯(lián)系是兩種度量角的單位制都與圓的半徑大小無關(guān)，他們之間的換算關(guān)系是180°=rad。
教師:大家總結(jié)得很好！其實(shí)角的度量制還有很多，比如軍事上的密位制，有興趣的同學(xué)課后可以査找相關(guān)資料。并布置課后作業(yè)：課本176頁第4,5,6題
設(shè)計(jì)意圖：反思總結(jié)，形成知識(shí)體系。將角度制與弧度制進(jìn)行對(duì)比，找到區(qū)別和聯(lián)系，為今后理解和正確使用弧度制帶來方便�；仡櫿�節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，即經(jīng)歷了一個(gè)概念學(xué)習(xí)的科學(xué)探究過程，這對(duì)學(xué)生以后的概念學(xué)習(xí)會(huì)起到積極的作用。并通過作業(yè)習(xí)題鞏固概念，使學(xué)生知識(shí)技能、綜合能力得到提升。
 
5. 目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
題1：
 
 
 
 
（設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生熟悉掌握角度制與弧度制之間的相互轉(zhuǎn)化）
題2：對(duì)比初中所學(xué)的扇形弧長和面積公式，說說弧度制下的扇形弧長與面積公式的優(yōu)點(diǎn)嗎？
（設(shè)計(jì)意圖：除要求學(xué)生熟練掌握角度制與弧度制的換算、提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)外，還展示出弧度制下的弧長公式、扇形面積公式的形式簡(jiǎn)潔美，讓學(xué)生感受弧度制帶來的便利）
題3：扇形面積公式和學(xué)過的三角形的面積公式類似，這是偶然的嗎？它們之間是否有著內(nèi)在聯(lián)系呢？
（設(shè)計(jì)意圖：作為課后思考題留給學(xué)生交流討論兩者之間的關(guān)系（通過極限分割思想來聯(lián)系兩者），了解這些能讓學(xué)生對(duì)弧度的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度）
 
 

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