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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《超幾何分布》福建
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《超幾何分布》福建
《超幾何分布》教學設計
福州三中 鄭文祺
一、單元內容及其解析
1．內容：
超幾何分布；超幾何分布的均值；超幾何分布與二項分布的區別和聯系
7.4單元教學約需2課時，第1課時，二項分布，第2課時超幾何分布
2．內容解析：
超幾何分布和二項分布是兩類重要的概率模型，研究它們可以幫助學生進一步了解隨機變量在描述隨機現象中的作用，也能更深入理解隨機思想在解決實際問題中的作用。課本通過比較放回和不放回的簡單隨機抽樣，歸納出超幾何分布的模型特征，由特殊到一般地求得超幾何分布的分布列。
我們可以用產品抽樣和摸球等具體的隨機抽樣問題，歸納并描述出超幾何分布的特征：總體有兩種不同類型、不放回、關注的隨機變量是樣本中一類的個數。
超幾何分布模型是古典概型，引例可直觀分析，逐個不放回抽取和一次性抽取，隨機變量的分布列應該是相同的，這里利用古典概型分子分母的同序原則，可引導學生用無序的組合數和有序的排列數算出比值相同，進而給與簡單證明。關于隨機變量的取值收到限制的問題，我們可以通過引例中正品和次品、抽取樣本數量的改變，讓學生發現上下界的限制，并特殊到一般的進行歸納，抽象出概念性的嚴格數學表達。
超幾何分布均值的證明要用到組合恒等式，有一定的難度，我們用先猜后證進行活動探究。超幾何分布的方差計算比較復雜，可不作要求，但證明原理、計算技巧和均值是大同小異的，程度好的同學可課后思考。
通過例6引導學生思考二項分布和超幾何分布的區別和聯系。相同背景下，均值相同，超幾何分布的方差較小，反映在頻率分布直方圖中就是超幾何分布取值更集中于均值附近，這是數形結合思想在本課中對抽象結論理解的重要體現。抽樣數遠小于總數時，超幾何分布可以用二項分布近似，這可以用樸素的概率思想理解，也能從數學嚴格的角度予以證明，從而引導學生認識簡單的實際問題蘊含著深刻的數理。另外，超幾何分布需要總體中兩類的具體數目，二項分布只需要一類占總體的比例即可。
無論是二項分布還是超幾何分布，數值較大時都需要借助計算機軟件完成計算。
本節課是從實際出發，通過抽象思維，建立數學模型，進而認知數學理論，應用于實際的過程。
二、目標及其解析
1.目標
通過具體實例，了解超幾何分布及其均值,能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布，并能解決簡單的實際問題。
2.目標解析：
達成上述目標的標志是：
（1）學生能從引例中算出分布列，并通過數值的一般化抽象出超幾何分布的概念。
（2）學生能判斷何時適用超幾何分布模型計算概率。
（3）學生能在教師引導下，猜想并利用組合恒等式推導證明超幾何分布的均值公式。
（4）學生能在學習例6的過程中，通過計算機軟件比較二項分布和超幾何分布的異同，而不是盲目生搬硬套某種概率模型。
（5）學生能通過超幾何分布的學習掌握對于一種新的分布先研究分布列再探究數字特征的一般方法。
三、單元教學問題診斷分析
這節課學生是在已經學習了隨機事件、等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互獨立事件概率的求法、也學習了隨機變量分布列和二項分布的基礎上，研究另一個常見的分布列。引例中放回和不放回條件的改變會引發學生將超幾何分布和二項分布進行類比學習，但超幾何分布概念的抽象過程，尤其是隨機變量的可能取值范圍的上下界確定會是一個難點。均值的推導中數學運算和組合恒等式的適時使用會是第二個難點。超幾何分布與二項分布的區別聯系的發現過程中的數學探究思維過程也可能是主要的認知障礙。
基于上述教學中的問題診斷分析，本章節的難點是：超幾何分布概念的形成；超幾何分
布均值的推導；超幾何分布和二項分布的區別和聯系；如何研究下一種新的分布模型。
在教學中，一方面要從引例和應用例題的數據中尋找一般規律；從特殊到一般的鋪墊均
值證明所需要用到的排列組合運算性質和構造證明的思想；借助計算機軟件繪出圖表，應用數形結合思想認識到兩種分布的異同；繼續滲透研究數學對象的基本框架和基本方法，突破本節課的難點。
四、教學支持條件分析
為了加強學生對超幾何分布的理解，可借助實物摸球試驗等直觀化的方法幫助分析問題，
也可以運用信息技術平臺，例如excel制作圖表，在課堂上讓學生直觀感受超幾何分布和二項分布的區別和聯系．
五、教學過程設計
第2課時 超幾何分布
（一）教學內容
超幾何分布；超幾何分布的均值；超幾何分布與二項分布的區別和聯系
（二）教學目標
了解超幾何分布，能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布；會求服從超幾何分布的隨機變量的均值，能夠利用超幾何分布模型解決簡單的實際問題.
（三）教學重點與難點
重點：通過具體實例，了解超幾何分布的概念并應用超幾何分布解決實際問題.
難點：超幾何分布均值的推導；超幾何分布和二項分布的區別和聯系
（四）教學過程設計
1.超幾何分布的概念形成
引例：已知100件產品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設抽取的4件產品中次品數為X，求隨機變量X的分布列.
如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結果相互獨立，此時X服從二項分布，即 .
問題1：如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產品中次品數X是否也服從二項分布？
學生：采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個試驗，而且各次抽取的結果也不獨立，不符合n重伯努利試驗的特征，因此X不服從二項分布.
問題2：那么X的分布列是什么？
追問：1. X的可能取值有哪些；
2. X=2的含義是什么，如何計算X=2發生的概率；
3.如何求P（X=k）
可以根據古典概型求X的分布列.由題意可知，X可能的取值為0，1，2，3，4.從100件產品中任取4件，樣本空間包含 個樣本點，且每個樣本點都是等可能發生的.其中4件產品中恰有k件次品的結果數為 .由古典概型的知識，得X的分布列為 .計算的具體結果（精確到0.00001）如表所示.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.71257 | 0.25621 | 0.02989 | 0.00131 | 0.00002 |
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
